初三数学寒假讲义 第6讲.中考第一轮复习二次函数 教师版教案

这是一份初三数学寒假讲义 第6讲.中考第一轮复习二次函数 教师版教案，共22页。教案主要包含了编写思路，例题精讲，探究对象，探究方式等内容，欢迎下载使用。

6
中考第一轮复习
二次函数

中考大纲剖析


考试内容
考试要求层次
A
B
C
二次函数
能结合实际问题情境了解二次函数的意义；会用描点法画出二次函数的图象
能通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式；能从图象上认识二次函数的性质；会确定图象的顶点、开口方向和对称轴；会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解
能用二次函数解决简单的实际问题；能解决二次函数与其它知识结合的有关问题

本讲结构



知识导航

1. 的作用：
①决定开口方向及开口大小. ,开口向上；，开口向下；越小开口越大；越大开口越小；相等, 开口大小相同.
②共同决定对称轴的位置：对称轴在轴左侧，则同号；对称轴在轴右侧，则
异号，简称“左同右异”
③ 决定与轴交点.
2. 二次函数解析式的三种表示形式：
① 一般式：；
② 顶点式：或；
③ 交点式：，其中是方程的两实根．
3. ① 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大．
② 当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小．
4. 二次函数与一元二次方程的联系：
① 当时，抛物线与轴有2个交点，并且关于对称，两交点之间的距离为；
② 当时，抛物线与轴有1个交点，即为抛物线的顶点；
③ 当时，抛物线与轴没有交点．
5. 抛物线平移的规律：按照八字原则“左加右减，上加下减”进行．或化成顶点式平移顶点.
6. 抛物线关于轴对称的抛物线解析式为；关于轴对称的抛物线解析式为；关于原点对称的抛物线解析式为；关于顶点对称的抛物线解析式为.
7. 抛物线常见基本型的性质：

开口方向
对称轴
最值
顶点坐标
单调性

①时开口向上;
②时开口向下.
轴（即直
线）
时

时


①当时，对称轴左侧，随的增大而减小；对称轴右侧，随的增大而增大.
②当时，对称轴左侧，随的增大而增大；对称轴右侧，随的增大而减小.

轴（即直
线）
时

时



直线

时

时



直线


时

时


或

直线
或直线

时

时

或

或

直线
或直线

时
或

时
或

或

【编写思路】 本讲同样不设模块，按板块划分；第一个板块：夯实基础主要用来帮助串起二次函数的图像和性质等基础知识（例1）
第二个板块：能力提升主要复习二次函数的基本应用；如图像变换（例2），最值问题（例3），简单的代几综合：将军饮马（例4）；
第三个板块：探索创新用来回顾二次函数同一元二次方程的结合，这是本讲次的重难点所在，这是北京中考23题常考类型，常见题型主要有三种类型：一是同方程、代数式变形结合（例5）；二是根的分布问题（例6）；三是数形结合（例7），数形结合常见类型如下：

Ⅰ、a＞0；
①、不等式ax2 + bx + c
恒大于0； Ⅱ、b2 - 4ac＜0；
1、二次函数y = ax2 + bx + c
与x轴无交点 Ⅰ、a＜0；
②、不等式ax2 + bx + c
恒小于0； Ⅱ、b2 - 4ac＜0



f (m) = am2 + bm + c ＜ 0；
2、二次函数y = ax2 + bx + c有根
m ＜ x1 ＜ n ( a ＞ 0， ) f (n) = an2 + bn + c ＞ 0。



3、二次函数y = ax2 + bx + c与反比例函数 am2 + bm + c ＜ ；
满足m ＜x1＜n ( a＞0， ，k＞0) an2 + bn + c ＞ 。

Ⅰ、转化为(a - m)x2 + (b - n)x + (c - p) ≤ 0恒成立；
4、二次函数y1 = ax2 + bx + c
恒小于y2 = mx2 + nx + p
Ⅱ、a - m ＜ 0，(b - n)2 - 4(a - m) (c - p) ＜ 0。


二次函数的基础知识点：解析式的确定、顶点坐标公式等在大题中均有渗透，故不在夯实基础中单独复习；二次函数的难点问题：点的存在性问题，因为综合性太强、春季会重点讲解、近年北京中考考核较少等原因，所以本讲次中不予讲解。

夯实基础


【例1】 ⑴ 二次函数的图象如右图所示，则反比例函数
与一次函数在同一坐标系中的大致图象是
（ ）.









（安徽芜湖中考）

⑵ 根据下表中的二次函数的自变量与函数的对应值，可判断二次函
数的图象与轴（ ）

…




…

…




…
A.只有一个交点
B.有两个交点，且它们分别在轴两侧
C.有两个交点，且它们均在轴同侧
D.无交点
（陕西省中考）




⑶ 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图,以水平地面为
轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中
划出的曲线是抛物线（单位：米）的一部分，
则水喷出的最大高度是( )
A．4米 B．3米
C．2米 D．1米

（株洲中考）

⑷ 已知二次函数，点，在二次函数图象上，则、满足（ ）
A. B. C. D. 不确定

【解析】 ⑴D．⑵B． ⑶A. ⑷A.

能力提升


【例2】 已知：抛物线经过点、、。
⑴求抛物线的解析式；
⑵将抛物线向左平移几个单位长度，可使所得的抛物线经过坐标原点，并写出 的解析式；
⑶把抛物线绕点旋转，写出所得抛物线顶点的坐标。
【解析】 ⑴∵经过点、、．
∴ ，解得
∴ 所求抛物线的解析式为：．
⑵抛物线向左平移个单位长度，可使得到的抛物线经过坐标原点
所求抛物线的解析式为：．
⑶点的坐标为

【例3】 如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在轴上．已知某二次函数的图象经过、、三点，且它的对称轴为直线，点为直线下方的二次函数图象上的一个动点（点与、不重合），过点作轴的平行线交于点．
⑴求该二次函数的解析式；
⑵若设点的横坐标为，用含的代数式表示线段的长．
⑶求面积的最大值，并求此时点的坐标．
【解析】 ⑴ 设二次函数的解析式为（，、、为常数），
由抛物线的对称性知点坐标为，
x
y
B
F
O
A
C
P
x=1

依题意得：
解得：
∴所求二次函数的解析式为
⑵ ∵点的横坐标为，
∴点的纵坐标为
设直线的解析式为（，、是常数），
依题意，得
∴
故直线的解析式为，
∴点的坐标为
∴
⑶ ∵的面积


∴当时，的最大面积为．


【例4】 在直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点B，顶点为P．
⑴ 若点P的坐标为，求此时抛物线的解析式；
⑵ 若点P的坐标为，，点Q是y轴上一个动点，当k为何值时，取得最小值为5；
⑶ 试求满足⑵时动点Q的坐标．
（2012雅安）
【解析】 ⑴由题可设抛物线解析式为
将A点坐标代入，得
∴抛物线解析式为，
即．
⑵ 作P关于y轴对称点，
∴．
由题意知，
若最小，即最小，则B、Q、三点共线，即．
又．
连结，得是直角三角形，
则．
∴．
⑶ 由⑵知，，
∴，即．
∴
∴Q点的坐标为．

探索创新

【例5】 已知关于的一元二次方程．
⑴ 求证：无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根；
⑵ 抛物线与轴的一个交点的横坐标为，其中，将抛物线向右平移个单位，再向上平移个单位，得到抛物线．求抛物线的解析式；
⑶ 点A(m,n)和B(n,m)都在(2)中抛物线C2上，且A、B两点不重合，求代数式
的值．
(2013西城一模)
【解析】⑴ 证明：∵，
而，
∴，即.
∴无论为任何实数，此方程总有两个不相等的实数根.
⑵ 解：∵当时，，
∴.
∴，即.
∵，
∴.
∴抛物线的解析式为.
∴抛物线的顶点为.
∴抛物线的顶点为.
∴抛物线的解析式为.
⑶ 解：∵点A（，）和B（，）都在抛物线上，
∴，且.
∴.
∴.
∴.
∵A、B两点不重合，即，
∴.
∴.
∵，，
∴



.

【例6】 已知二次函数．
⑴ 求证：不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点；
⑵ 若该二次函数的图象与x轴的两个交点在点A（1,0）的两侧，且关于x的一元二次 方程有两个不相等的实数根，求k的整数值；
⑶ 在⑵的条件下，关于x的另一方程有大于0 且小于3的实数根，求a的整数值．
(2013房山二模)
【解析】⑴ 证明：△1=
＞0
∴不论k为任何实数，该函数的图象与x轴必有两个交点
⑵ ∵二次函数的图象与x轴的两个交点在点（1，0）的两侧，
且二次函数开口向上
∴当x=1时，函数值y＜0,
即＜0，解得k＜
∵关于x的一元二次方程k2x2＋(2k＋3)x＋1=0有两个不相等的实数根
∴k≠0且△2=＞0
∴k＞且k≠0
∴＜k＜且k≠0
∴k=1
⑶ 由⑵可知，k=1
∴x2＋2(a＋1)x＋2a＋1=0
解得x1=-1，x2=-2a-1
根据题意，0＜-2a-1＜3
∴
∴a的整数值为.

【例7】 己知二次函数 (t >1)的图象为抛物线．
⑴求证：无论t取何值，抛物线与轴总有两个交点；
⑵已知抛物线与x轴交于A、B两点(A在B的左侧)，将抛物线作适当的平移，得 抛物线：，平移后A、B的对应点分别为D(m，n)，E(m＋2，n)，求 n的值．
⑶在⑵的条件下，将抛物线位于直线DE下方的部分沿直线DE向上翻折后，连同 在DE上方的部分组成一个新图形，记为图形，若直线(b<3)与图形 有且只有两个公共点，请结合图象求的取值范围．
（2013燕山一模）
【解析】⑴ 令，得△＝，
∵t >1，∴△＝>0，
∴无论t取何值，方程总有两个不相等的实数根，
∴无论t取何值，抛物线与轴总有两个交点．
⑵解法一：解方程得，
，，
∵t >1，∴．得A(1，0)，B(，0)，
∵D(m，n)，E(m＋2，n)， ∴DE＝AB＝2，
即，解得．
∴二次函数为，
显然将抛物线向上平移1个单位可得抛物线：，
故．
解法二：∵D(m，n)在抛物线：上，
∴，解得，
∴D(，n)，E(，n)，
∵DE＝2，∴－()＝＝2，解得 ．
⑶由⑵得抛物线：，D(1，1)，E(3，1)，
翻折后，顶点F(2，0)的对应点为F＇(2，2)，
如图，当直线经过点D(1，1)时，记为，
此时，图形与只有一个公共点；
直线经过点E(3，1)时，记为，此时，图形与有三个公共点；
当时，由图象可知，只有当直线:位于与之间时，图形与直 线，有且只有两个公共点，
∴符合题意的的取值范围是．
【例题精讲】针对例7例题精讲
【探究对象】二次函数中的“数形结合”.

【探究方式】通过抓住直线同三角形、四边形相交→直线同抛物线相交→直线同圆相交等情形的深入变化，来促使题目难度和层次差异化，引导学生运用类比、联想、归纳等发散性思维，将问题的结论向横向、纵向拓展与深入，从而帮助学生发现函数中的数形结合题型的本质属性，以达到深入浅出、以点串线的学习目的.

【探究1】若点是四边形边上的点，且P点坐标满足，试
求z的最小值.

分析：很显然与函数平行，画出函数的图象，若直线
平行移动时，可以发现当直线经过点时符合题意，此时最小的值等于





【探究2】设二次函数的图象与 轴交于两点，将此图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象．请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象恰好有三个公共点时，求出的值.

分析：设点C坐标为(0，3)，注意数形结合，观察图象可知符合题意
的直线共有三条：
分别是经过点A、C的直线l1：；
经过点B、C的直线l2：；
经过C点与抛物线相切的直线l3：.





【探究3】设抛物线与y轴的交点为A，过点A作直线l∥x轴，将抛物线在y轴左侧的部分沿直线 l翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新图象. 请你结合新图象回答：当直线与新图象只有一个公共点P(x0，y0)且时，求b的取值范围.



分析：点A的坐标为(0，)；数形结合可知，如图所示B点
为纵坐标最大时的点，最大值为7；
则B点坐标为(6，7)；
直线l1：经过B点时，可得；
直线l2：经过A点时，可得；
直线l3：与抛物线相切时，得；
结合图象可知，符合题意的b的取值范围为
或


【探究4】二次函数的图象与轴交于点(点在点的左侧)，将二次函数的图象在点间的部分(含点和点)向左平移个单位后得到的图象记为，同时将直线向上平移个单位. 请结合图象回答：当平移后的直线与图象G有公共点时，的取值范围.

分析：向左平移后得到的图象G的解析式为，；
此时平移后的解析式为；
由图象可知，平移后的直线与图象G有公共点，则两个临界的交点为B’与C’；
直线l1：经过B’点时，可得；
直线l2：经过C’点时，可得；
结合图象可知，符合题意的n的取值范围为.
(本题需注意的是要排除平移后的直线与图象G相切的情况，可以联立方程组后，利用判别式等于0，解得n=0，与题意矛盾，故舍去)








【探究5】二次函数与x轴有两个交点O、A，连接这两点间的线段，并以线段OA为直径在x轴上方作半圆P，设直线l的解析式为，若直线l与半圆P只有两个交点时，求出b的取值范围.

分析：如图所示：
①当直线l1经过原点O时与半圆P有两个交点，即b=0；
②当直线l2与半圆P相切于B点时有一个交点，如图由题意可得Rt△BPC与Rt△COD都是等腰直角三角形，可得CP=，∴OD=OC=；
直线l1：经过O点时，可得b=0；
直线l2：与圆相切时，可得；
结合图象可知，符合题意的b的取值范围为


【总结】解答二次函数中的数形结合的题目大概步骤：
(1)要对一次函数、二次函数解析式的各项参数所代表的几何意义非常熟悉，根据给出的含参解析式尽最大可能确定出函数图像的大概位置，例如，知道了一次函数的k，就应该能够确定出直线的倾斜程度；

(2)在平面直角坐标系中尽可能地精确地画出函数图像；

(3)明确导致函数图像不确定的关键因素；分析随着关键因素的变化，函数图象的变化趋势，例如：给定一条直线解析式为：，则影响该图像的关键因素就是常数项c，二次函数的图像随着c的变化在上下平移.

(4)根据函数图像的变化趋势，结合图形，分析满足题目要求的临界图形；

(5)根据临界图形的函数解析式求出参数的取值范围。
临界情形中经常出现直线与图形相切的情形，相切时解析式的求法：
①求过一点与圆相切的直线解析式，需连接圆心和切点，利用相似、三角函数等几何知识求解；
②求过一点与抛物线相切的直线解析式，需将两个函数解析式联立方程中，利用消元后产生的一元二次方程的判别式等于0来求解；
③过一点(x0，y0)且与抛物线相切的直线的斜率k=2ax0+b，(涉及到高中 求导的知识，不用细讲，可以直接提供公式给学生)思维拓展训练（选讲）

训练1. 已知函数（其中）的图象如右图所
示，则函数的图象可能正确的是（ ）






（山东德州中考）
【解析】 D

训练2. 二次函数的图象如图所示．当时，自变量的
取值范围是（ ）．
A． B．
C． D． 或

（山东威海中考）
【解析】 A

训练3. ⑴ 如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）
离水面2m，水面宽4m．如图建立平面直角坐标系，则抛物线的关系式是（　　）
A． B． C． D．








（甘肃庆阳中考）

⑵ 把抛物线的图象先向右平移3个单位，再向下平移2个单位，所得
的图象的解析式是，则___________
（鄂州中考）
【解析】 ⑴ C．⑵ 11．

训练4. 已知：抛物线经过点．
⑴ 求的值；
⑵ 若，求这条抛物线的顶点坐标；
⑶ 若，过点作直线轴，交轴于点，交抛物线于
另一点，且BP=2PA，求这条抛物线所对应的二次函数关系式．
【解析】 ⑴ 依题意得：，
∴．
⑵ 当时，，∴，
∴抛物线的顶点坐标是．
⑶ 解法一：当时，抛物线对称轴，
∴对称轴在点的左侧．
因为抛物线是轴对称图形，且．
∴，∴，∴．
又，∴．
∴抛物线所对应的二次函数关系式．
解法二：当时，，
∴对称轴在点的左侧．
因为抛物线是轴对称图形，，且，∴
∴，又，解得：
∴这条抛物线对应的二次函数关系式是．
解法三：∵，∴，∴
∵轴，∴，即，
解得：，即．
由，则，∴
∴这条抛物线对应的二次函数关系式．
实战演练

【演练1】 如图为抛物线的图象，、、 为抛物线
与坐标轴的交点，且，则下列关系中正确的是（ ）
A． 　 B．
C．　　　　 D．

（山东菏泽中考）
【解析】 B

【演练2】 由二次函数，可知（ ）
A．其图象的开口向下 B．其图象的对称轴为直线
C．其最小值为1 D．当时，随的增大而增大
（湖南永州中考）
【解析】 C．

【演练3】 已知二次函数．
⑴ 二次函数的顶点在轴上，求的值；
⑵ 若二次函数与轴的两个交点、均为整数点（坐标为整数的点），当为整数时，求、两点的坐标.
（昌平一模）
【解析】 ⑴ ∵二次函数顶点在轴上，
∴，且
即，且
∴
⑵ ∵二次函数与轴有两个交点，
∴，且．　　　　　　　　　　　　
即，且．
当且时，即可．
∵、两点均为整数点，且为整数
∴

∴当为整数时，；当为整数时，
∴综上，当时，可使，均为整数，
∴当时，、两点坐标为和

【演练4】 已知二次函数的图象与轴有且只有一个公共点．
⑴ 求的顶点坐标；
⑵ 将向下平移若干个单位后，得抛物线，如果与轴的一个交点为，求 的函数关系式，并求与轴的另一个交点坐标；
⑶ 若，是上的两点，且，求实数的取值范围．

【解析】 ⑴ 对称轴为
∵与轴有且只有一个公共点，∴顶点的纵坐标为0．
∴的顶点坐标为
⑵ 设的函数关系式为
把代入上式得
∴的函数关系式为
∵抛物线的对称轴为，与轴的一个交点为，由对称性可知，它与轴的另一个交点坐标为．
⑶ 当，随的增大而增大，
当时，点关于对称轴对称的点的横坐标为，
∴当时，对应的函数值都要大于∴

【演练5】 已知：二次函数．
⑴ 求证：此二次函数与轴有交点；
⑵ 若,求证方程有一个实数根为1；
⑶ 在⑵的条件下，设方程的另一根为,当时，关于的函数与的图象交于点、（点在点的左侧），平行于轴的直线与、的图象分别交于点、，若，求点、的坐标.
（海淀一模）
【解析】 ⑴ 证明：令，则有

∵
∴
∴二次函数与轴有交点
⑵ 解法一：由，方程可化为
解得：
∴方程有一个实数根为1
解法二：由，方程可化为

当时，方程左边
方程右边=0
∴左边=右边
∴方程有一个实数根为1
⑶ 方程的根是：
∵,∴∴
当时，，
设点则点
∵，
∴
∴
∴、两点的坐标分别为，
或，　









坚持就有希望

两个探险者迷失在茫茫的大戈壁滩上，他们因长时间缺水，嘴唇裂开了一道道的血口，如果继续下去，两个人只能活活渴死！
一个年长一些的探险者从同伴手中拿过空水壶，郑重地说：“我去找水，你在这里等着我吧！”接着，他又从行囊中拿出一只手枪递给同伴说：“这里有6颗子弹，每隔一个时辰你就放一枪，这样当我找到水后就不会迷失方向，就可以循着枪声找到你。千万要记住！”看着同伴点了点头，他才信心十足地蹒跚离去……
时间在悄悄地流逝，枪膛里仅仅剩下最后一颗子弹了，找水的同伴还没有回来。“他一定被风沙湮没了或者找到水后撇下我一个人走了。”年纪小一些的探险者数着分数着秒，焦灼地等待着。饥渴和恐惧伴随着绝望如潮水般地充盈了他的脑海，他仿佛嗅到了死亡的味道，感到死神正面目狰狞地向他紧逼过来……他扣动扳机，将最后一粒子弹射进了自己的脑袋。就在他的尸体轰然倒下的时候，同伴带着满满的两大壶水赶到了他的身边……


今天我学到了


第十八种品格：坚持