九年级数学寒假专题练 第06讲 四边形（全国通用）

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第6讲 四边形中考分析解读四边形包含平行四边形、特殊平行四边形的边角的计算或证明，解题过程中涉及到了四边形的性质和判定，四边形的考查通常综合性强，常与三角形及全等、相似结合，考查形式多样，中考中分值约为14~18分. 模块一 平行四边形一、知识导图二、知识清单1、平行四边形（1）概念两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形.（2）性质①边：两组对边分别平行且相等；②角：两组对角分别相等 ；③对角线：对角线互相平分；④对称性：中心对称图形，对角线交点是对称中心；（3）判定①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④两条对角线互相平分的四边形是平行四边形.⑤两组对角分别相等的四边形是平行四边形；  基础演练一、选择题1．（2020•河南模拟）如图，在四边形中，对角线，相交于点，添加下列条件后仍不能判定四边形是平行四边形的是　　A．， B．， C．， D．2．（2020•河南模拟）如图所示，已知为平行四边形，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边、于点、；②分别以点、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；③作射线，交边于点，若，，则平行四边形的周长为　　A．20 B．32 C．28 D．243．（2020•潍坊）如图，点是的边上的一点，且，连接并延长交的延长线于点，若，，则的周长为　　A．21 B．28 C．34 D．42二、填空题4．（2020•鞍山）如图，在平行四边形中，点是的中点，，的延长线交于点．若的面积为1，则四边形的面积为　   　．三、解答题5．（2020•黄冈）已知：如图，在中，点是的中点，连接并延长，交的延长线于点，求证：．  6．（2020•重庆）如图，在平行四边形中，，分别平分和，交对角线于点，．（1）若，求的度数；（2）求证：．     7．（2020•陕西）如图，在四边形中，，．是边上一点，且．求证：．  8．（2020•广西）如图，点，，，在一条直线上，，，．（1）求证：；（2）连接，求证：四边形是平行四边形．  9．（2020•新疆模拟）如图，、是对角线上两点，．（1）求证：；（2）连结，，求证：四边形是平行四边形． 
能力提升一、选择题1．（2020•陕西）如图，在中，，．是边的中点，是内一点，且．连接并延长，交于点．若，则的长为　　A． B． C．3 D．22．（2020•泰安）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为　　A． B． C． D．3．（2020•临沂）如图，是面积为的内任意一点，的面积为，的面积为，则　　A． B． C． D．的大小与点位置有关4．（2020•云南）如图，平行四边形的对角线，相交于点，是的中点．则与的面积的比等于　　A． B． C． D．5．（2020•遂宁）如图，在平行四边形中，的平分线交于点，交于点，交的延长线于点，若，则的值为　　A． B． C． D．二、填空题6．（2020•武汉）在探索数学名题“尺规三等分角”的过程中，有下面的问题：如图，是的对角线，点在上，，，则的大小是　　  ．7．（2020•德阳）如图，在平行四边形中，平分，，连接，是的中点，连接，若，则　  　．三、解答题8．（2020•重庆）如图，在平行四边形中，对角线，相交于点，分别过点，作，，垂足分别为，．平分．（1）若，求的度数；（2）求证：．9．（2020•乐山）点是平行四边形的对角线所在直线上的一个动点（点不与点、重合），分别过点、向直线作垂线，垂足分别为点、．点为的中点．（1）如图1，当点与点重合时，线段和的关系是　　   ；（2）当点运动到如图2所示的位置时，请在图中补全图形并通过证明判断（1）中的结论是否仍然成立？（3）如图3，点在线段的延长线上运动，当时，试探究线段、、之间的关系．    
模块二 特殊的平行四边形一、知识导图二、知识清单1、矩形（1）概念有一个角是直角的平行四边形是矩形.（2） 性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等且互相平分；③矩形是轴对称图形，也是中心对称图形；④矩形具有平行四边形的所有性质.（3）判定①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2、菱形（1）概念有一组邻边相等的平行四边形是菱形.（2）性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角；③菱形是轴对称图形，也是中心对称图形；④菱形具有平行四边形的所有性质；⑤面积：面积等于对角线的乘积的一半.（3）判定①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等的四边形是菱形.（4）面积①菱形面积可以表示为：底×高；②面积还可以表示为：对角线乘积的一半.3、正方形（1）概念有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形.（2）性质①边：两组对边分别平行，四条边相等，相邻两边互相垂直 ；②角：四个角都是直角；③对角线：对角线互相垂直，对角线相等且互相平分；④正方形是轴对称图形，也是中心对称图形.（3）判定①一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形；④四条边都相等且四个角都是直角的四边形是正方形. 基础演练一、选择题1．（2020•十堰）已知平行四边形中，下列条件：①；②；③；④平分，其中能说明平行四边形是矩形的是　　A．① B．② C．③ D．④2．（2020•陕西模拟）在矩形中，对角线，交于点，交于，若，，则矩形的周长　　A．10 B．15 C．20 D．223．（2020•枣庄）如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是　　A． B．4 C．5 D．64．（2020•河北区模拟）如图，在矩形中，，，过对角线交点作交于点，交于点，则的长是　　A．1 B． C．2 D．5．（2020•新疆模拟）已知菱形的边长为6，一个内角为，则菱形较长的对角线长是　　A． B． C．3 D．66．（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为　　A． B． C． D．7．（2020•乐山）如图，在菱形中，，，是对角线的中点，过点作于点，连结．则四边形的周长为　　A． B． C． D．88．（2020•邯山区校级二模）如图，菱形中，过顶点作交对角线于点，已知，则的大小为　　A． B． C． D．9．（2020•新华区校级二模）如图，在菱形中，是的中点，点是的中点，连接．如果，那么菱形的周长为　　A．9 B．12 C．24 D．32二、填空题10．（2020•大连）如图，菱形中，，则　   　．11．（2020•广东）如图，在菱形中，，取大于的长为半径，分别以点，为圆心作弧相交于两点，过此两点的直线交边于点（作图痕迹如图所示），连接，．则的度数为　　．12．（2020•哈尔滨）如图，在菱形中，对角线、相交于点，点在线段上，连接，若，，，则线段的长为　  　．13．（2020•浦口区模拟）如图，已知点在正方形的边上，以为边向正方形外部作正方形，连接，、分别是、的中点，连接，若，，则的长为　　    ．   三、解答题14．（2020•聊城）如图，在中，为的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，，若，求证：四边形是矩形．  15．（2020•遂宁）如图，在中，，点、分别是线段、的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．（1）求证：；（2）求证：四边形为矩形．  16．（2020•福建）如图，点，分别在菱形的边，上，且．求证：．    17．（2019•聊城）在菱形中，点是边上一点，连接，点，是上的两点，连接，，使得，．求证：（1）；（2）．    18．（2020•新疆）如图，四边形是平行四边形，，且分别交对角线于点，，连接，．（1）求证：；（2）若，求证：四边形为菱形． 
能力提升一、选择题1．（2020•广州）如图，矩形的对角线，交于点，，，过点作，交于点，过点作，垂足为，则的值为　　A． B． C． D．2．（2020•烟台）如图，在矩形中，点在上，将矩形沿折叠，使点落在边上的点处．若，，则的值为　　A． B． C． D．3．（2020•滨州）如图，对折矩形纸片，使与重合，得到折痕，把纸片展平后再次折叠，使点落在上的点处，得到折痕，与相交于点．若直线交直线于点，，，则的长为　　A． B． C． D．4．（2020•遵义）如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为　　A． B． C．4 D．5．（2020•南充）如图，面积为的菱形中，点为对角线的交点，点是线段的中点，过点作于，于，则四边形的面积为　　A． B． C． D．6．（2020•宁夏）如图，菱形的边长为13，对角线，点、分别是边、的中点，连接并延长与的延长线相交于点，则　　A．13 B．10 C．12 D．57．（2020•遂宁）如图，在正方形中，点是边的中点，连接、，分别交、于点、，过点作交的延长线于，下列结论：①，②，③，④若四边形的面积为4，则该正方形的面积为36，⑤．其中正确的结论有　　A．5个 B．4个 C．3个 D．2个二、填空题8．（2020•遵义）如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．是上一点，将沿折叠，使点的对应点落在上．若，则的长是　　   ．9．（2020•江西）矩形纸片，长，宽，折叠纸片，使折痕经过点，交边于点，点落在点处，展平后得到折痕，同时得到线段，，不再添加其它线段．当图中存在角时，的长为　　    厘米．10．（2020•陕西）如图，在菱形中，，，点在边上，且．若直线经过点，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点，则线段的长为　　   ．11．（2020•盘锦）如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，直线交于点，连接，则的长为　　    ．12．（2020•枣庄）如图，，是正方形的对角线上的两点，，，则四边形的周长是　　    ．13．（2020•云南）已知四边形是矩形，点是矩形的边上的点，且．若，，则的长是　       ．14．（2020•滨州）如图，点是正方形内一点，且点到点、、的距离分别为、、4，则正方形的面积为　　      ．15．（2020•广州一模）如图，在正方形中，边长为2的等边三角形的顶点、分别在和上，下列结论：①；②；③；④，其中正确的序号是　   　．16．（2019•成都）如图，在边长为1的菱形中，，将沿射线的方向平移得到△，分别连接，，，则的最小值为　　．三、解答题17．（2020•北京）如图，菱形的对角线，相交于点，是的中点，点，在上，，．（1）求证：四边形是矩形；（2）若，，求和的长．          18．（2020•崇川区校级一模）如图，边长为1的正方形中，点、分别在边、上，连接、、，且有．（1）求的值；（2）探究的度数是否为定值，并说明理由．