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九年级数学寒假专题练 第05讲 三角形(全国通用)
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这是一份九年级数学寒假专题练 第05讲 三角形(全国通用),共21页。试卷主要包含了三角形及全等三角形,特殊三角形等内容,欢迎下载使用。
第5讲 三角形中考分析解读三角形及全等三角形,三角形主要考查特殊三角形,涉及等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形等这些基本图形的性质与判定;全等三角形主要考查全等的性质、判定、常见全等模型;这部分内容在中考中都有直接考查,主要为容易题和中档题,同时更加重视相关定理的描述.中考中分值约为11~15分. 模块一 三角形及全等三角形一、知识导图二、知识清单1、三角形相关概念与性质(1)三角形的定义由不在同一直线上的三条直线首尾顺次相接所得到的图形叫三角形.(2)三角形的分类按角分类:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形按边分类:不等边三角形、等腰三角形;等腰三角形分为两边相等的等腰三角形和等边三角形.(3)三角形三边关系三角形两边之和大于第三边;三角形两边之差小于第三边.(4)三角形内角和、外角与内角的关系三角形内角和等于180;一个外角等于与它不相邻的两个内角的和;一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.(5)三角形中位线定义:连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线.性质:三角形的中位线平行于第三边,并且等于第三边的一半.2、全等三角形的性质(1)全等三角形的对应边相等,对应角相等.(2)全等三角形周长相等,面积相等,对应边上的中线、高线、角分线相等.3、全等三角形的判定(1)三条边分别相等的两个三角形全等,简写成“SSS”.(2)两条边及其夹角分别相等的两个三角形全等,简写成“SAS”.(3)两个角及其夹边分别相等的两个三角形全等,简写成“ASA”.(4)两个角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等,简写成“AAS”.(5)斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等,简写成“HL”. 基础演练一、选择题1.(2019•金华)若长度分别为,3,5的三条线段能组成一个三角形,则的值可以是 A.1 B.2 C.3 D.82.(2020•乌兰浩特市一模)如图,在已知的中,按以下步骤作图:①分别以、为圆心,以大于的长为半径作弧,两弧相交于点、;②作直线交于点,连接,若,,则下列结论中错误的是 A. B. C.点为的外心 D.3.(2020•河南模拟)如图,在中,,分别以点、为圆心,以大于的长为半径画弧,两弧相交于点和,作直线交于点,交于点,连接,以点为圆心,以的长为半径画弧,交于点.若,,则的长是 A. B.2 C. D.4.(2020•河北模拟)已知,在中,,根据图中的作图痕迹及作法,下列结论一定成立的是 A. B. C. D.5.(2020•广州)中,点,分别是的边,的中点,连接.若,则 A. B. C. D.6.(2020•广东)已知的周长为16,点,,分别为三条边的中点,则的周长为 A.8 B. C.16 D.47.(2020•天津)如图,在中,,将绕点顺时针旋转得到,使点的对应点恰好落在边上,点的对应点为,延长交于点,则下列结论一定正确的是 A. B. C. D.8.(2020•大连)如图,中,,.将绕点逆时针旋转得到△,使点的对应点恰好落在边上,则的度数是 A. B. C. D.9.(2020•淄博)如图,若,则下列结论中一定成立的是 A. B. C. D. 二、填空题10.(2020•济宁)已知三角形的两边长分别为3和6,则这个三角形的第三边长可以是 (写出一个即可).11.(2020•晋安区一模)如图,将绕点逆时针旋转一定的角度后,得到,且点的对应点恰好落在边上,若,则的度数是 度.12.(2020•大庆)将两个三角尺的直角顶点重合为如图所示的位置,若,则 .三、解答题13.(2020•天河区校级模拟)如图,中,,.(1)利用尺规作图:作线段的垂直平分线(保留作图痕迹,不写作法)(2),设与交于点.连结,求的周长.14.(2020•福清市模拟)如图,中,点,分别在边及其延长线上,且,,且,连接,求证:.15.(2020•广州)如图,,,.求的度数.能力提升一、选择题1.(2020•石家庄模拟)如图,,平分,若,则的度数为 A. B. C. D.2.(2020•哈尔滨)如图,在中,,,,垂足为,与关于直线对称,点的对称点是点,则的度数为 A. B. C. D.3.(2020•宁夏)如图摆放的一副学生用直角三角板,,,与相交于点,当时,的度数是 A. B. C. D.4.(2020•烟台)如图,点为的重心,连接,并延长分别交,于点,,连接,若,,,则的长度为 A.1.7 B.1.8 C.2.2 D.2.45.(2020•新疆)如图,在中,,是的中点,过点作的平行线交于点,作的垂线交于点,若,且的面积为1,则的长为 A. B.5 C. D.106.(2020•重庆)如图,三角形纸片,点是边上一点,连接,把沿着翻折,得到,与交于点,连接交于点.若,,,的面积为2,则点到的距离为 A. B. C. D.7.(2020•重庆)如图,在中,,,,将沿直线翻折至所在的平面内,得.过点作,使,与的延长线交于点,连接,则线段的长为 A. B.3 C. D.4二、填空题8.(2020•崇川区校级一模)如图,在中,以点为圆心,任意长为半径作弧,交射线于点,交射线于点,再分别以、为圆心,的长为半径作弧,两弧在的内部交于点,作射线,若,,则点到的距离为 .9.(2020•江西)如图,平分,,的延长线交于点,若,则的度数为 .10.(2020•淄博)如图,将沿方向平移至处.若,则的长为 .三、解答题11.(2020•石家庄模拟)已知:如图,,垂足为,,点在上,,(1)请写出图中相等的线段: .(不包括已知条件中的相等线段)(2)猜想与的位置关系,并说明理由. 12.(2020•丰台区一模)已知,点为射线上一动点(不与点重合),点为内部一点,连接,将线段绕点顺时针旋转得到线段,且点恰好落在射线上,不与点重合.(1)依据题意补全图1;(2)用等式表示与的数量关系,并证明;(3)连接,写出一个的值,使得对于任意点,总有,并证明.
模块二 特殊三角形一、知识导图 二、知识清单1、等腰三角形(1)概念有两条边相等的三角形是等腰三角形.(2)性质①等腰三角形是轴对称图形,一般有一条对称轴.②性质1:等腰三角形的两底角相等(简称“等边对等角”).③性质2:等腰三角形的顶角的角平分线、底边上的高线、底边上的中线相互重合(简称“三线合一”).(3)判定①两边相等的三角形是等腰三角形.②等角对等边.2、等边三角形(1)概念有三条边相等的三角形是等边三角形.(2)性质①等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴 .②等边三角形三边相等,三角相等,且每个角都等于60°.(3)判定①三条边都相等的三角形是等边三角形.②三个角都相等的三角形是等边三角形.③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.3、直角三角形(1)概念有一个角是90°的三角形叫做直角三角形.(2)性质①直角三角形的两个锐角互余 .②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.③在直角三角形中,如果有一个锐角等于,那么它所对的直角边等于斜边的一半.④勾股定理:在直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,即.(3)判定①有一个角是90°的三角形是直角三角形.②如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形.③勾股定理的逆定理:如果三角形的两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.基础演练一、选择题1.(2020•福建)如图,是等腰三角形的顶角平分线,,则等于 A.10 B.5 C.4 D.32.(2020•河北模拟)如图,在中,,,,则的中线的长为 A.5 B.6 C.8 D.103.(2020•宁波)如图,在中,,为中线,延长至点,使,连结,为中点,连结.若,,则的长为 A.2 B.2.5 C.3 D.44.(2020•济宁)如图,在中,点为的内心,,,.则的面积是 A. B. C.2 D.45.(2020•衡水模拟)在证明等腰三角形的判定定理“等角对等边”,即“如图,已知:,求证:”时,小明作了如下的辅助线,下列对辅助线的描述正确的有 ①作的平分线交于点②取边的中点,连接③过点作,垂足为点④作边的垂直平分线,交于点A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.(2020•新华区校级二模)如图,已知及其边上一点.以点为圆心,长为半径画弧,分别交,于点和.再以点为圆心,长为半径画弧,恰好经过点.错误的结论是 A. B. C. D.二、填空题7.(2020•北京)如图,在中,,点在上(不与点,重合).只需添加一个条件即可证明,这个条件可以是 (写出一个即可).8.(2020•黄冈)已知:如图,在中,点在边上,,,则 度.9.(2020•阜新)如图,在中,,.将绕点逆时针旋转,得到△,则边的中点与其对应点的距离是 .三、解答题10.(2020•广东)如图,在中,点,分别是、边上的点,,,与相交于点.求证:是等腰三角形.11.(2020•大连)如图,中,,点,在边上,.求证:.12.(2020•海淀区一模)如图,在中,,的平分线交于点,交的延长线于点,连接.(1)求证:是等边三角形;(2)若,,求的长度. 13.(2020•哈尔滨)已知:在中,,点、点在边上,,连接、.(1)如图1,求证:;(2)如图2,当时,过点作交的延长线于点,在不添加任何辅助线的情况下,请直接写出图2中的四个等腰三角形,使写出的每个等腰三角形的顶角都等于. 14.(2020•唐山二模)已知,在中,,,点为的中点.(1)如图①,若点、分别为、上的点,且,试探和的数量关系;并说明四边的面积是定值吗?若是,请求出;若不是,请说明理由.(2)若、分别、延长线上的点,,那吗?请利用图②说明理由. 能力提升一、选择题1.(2020•鼓楼区一模)如图,在中,,平分交于,交延长线于点,若,则的度数为 A. B. C. D.2.(2020•福清市模拟)如图,将绕点逆时针旋转得到,若,,则下列结论不一定正确的是 A. B. C. D.3.(2020•德阳)如图,中,,.将绕点逆时针方向旋转得到△.此时恰好点在上,交于点,则与的面积之比为 A. B. C. D.4.(2020•九龙坡区校级模拟)如图,在中,,,,将绕点逆时针旋转得到△,且恰好落在上,是的中点,是的中点,连接,则到的距离是 A. B. C. D.5.(2020•雁塔区校级二模)如图,在中,,,为边上的中线,平分,交边于点,过点作,垂足为,则的度数为 A. B. C. D.6.(2020•河北模拟)如图,中,,,的平分线交于点,过点作,垂足为,连接交于点,则以下结论:①; ②;③; ④与的面积比是:其中正确结论是 A.①② B.②③ C.③④ D.①④二、填空题7.(2020•新疆)如图,在中,,,,若是边上的动点,则的最小值为 .8.(2020•安顺)如图,中,点在边上,,,垂直于的延长线于点,,,则边的长为 .9.(2019•河南模拟)如图在等边中,,点在边上,且,点是边上一动点将沿折叠,当点的对应点落在的边上时,的长为 .10.(2020•葫芦岛三模)如图,在中,,,点为中点,点在边上,连接,过点作交于点.连接.下列结论:①;②;③;④,其中正确的是 (填写所有正确结论的序号).11.(2020•铁东区一模)如图,在等腰直角三角形中,,,把绕点顺时针旋转得到△,边、分别交于、,则的长为 .12.(2020•大庆)如图,等边中,,点,点分别是边,上的动点,且,连接、交于点,当点从点运动到点时,则点的运动路径的长度为 . 三、解答题13.(2020•北京)在中,,,是的中点.为直线上一动点,连接.过点作,交直线于点,连接.(1)如图1,当是线段的中点时,设,,求的长(用含,的式子表示);(2)当点在线段的延长线上时,依题意补全图2,用等式表示线段,,之间的数量关系,并证明. 14.(2020•烟台)如图,在等边三角形中,点是边上一定点,点是直线上一动点,以为一边作等边三角形,连接.【问题解决】如图1,若点在边上,求证:;【类比探究】如图2,若点在边的延长线上,请探究线段,与之间存在怎样的数量关系?并说明理由. 15.(2020•潍坊)如图1,在中,,,点,分别在边,上,且,连接.现将绕点顺时针方向旋转,旋转角为,如图2,连接,,.(1)当时,求证:;(2)如图3,当时,延长交于点,求证:垂直平分;(3)在旋转过程中,求的面积的最大值,并写出此时旋转角的度数.
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