专题08 直线与圆的方程-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

专题08 直线与圆的方程

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一、单选题

1．以点(2，－1)为圆心，以为半径的圆的标准方程是（    ）

A．(x＋2)2＋(y－1)2＝ B．(x＋2)2＋(y－1)2＝2

C．(x－2)2＋(y＋1)2＝2 D．(x－2)2＋(y＋1)2＝

【答案】C

【解析】由题意圆标准方程是．

2．设直线，，若，则（    ）

A．-1 B．1 C．±1 D．0

【答案】D

【解析】 ，

当时，，矛盾，

  当时，符合题意

3．圆截直线所得的弦长为，则（    ）

A． B． C． D．2

【答案】A

【解析】圆，即

则由垂径定理可得点到直线距离为

根据点到直线距离公式可知，

化简可得

解得

4．直线的倾斜角为   （     ）

A． B． C． D．与a取值有关

【答案】B

【解析】直线x+y﹣a=0的斜率为﹣，设倾斜角为θ，则tanθ=﹣． 又 0°≤θ＜180°，

∴θ=150°，

5．斜率为4的直线经过点A(3,5)，B(a,7)，C(－1，b)三点，则a，b的值为(　　)

A．a＝ ，b＝0 B．a＝－，b＝－11

C．a＝，b＝－11 D．a＝－，b＝11

【答案】C

【解析】因为，所以，则，故选C．

6．若方程表示圆，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】方程表示圆

，

解得：

7．已知,,直线过定点,且与线段相交,则直线的斜率的取值范围是(    )

A． B． C． D．或

【答案】D

【解析】画出图像,如图:

结合图像可知,要保证线段与直线相交

需满足斜率的取值范围: 或

8．若实数满足，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】实数满足，即

故动点是以为圆心，以为半径的圆上的点，则表示点与连线的斜率k，如图所示，直线与圆有交点，相切时是临界状态，当直线与圆相切时有：解得或，故，即.

二、多选题

9．（多选）若直线的倾斜角为，且，则直线的倾斜角可能为（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】（1）当时，的倾斜角为（如图1）；

（2）当时，的倾斜角为（如图2）；

（3）当时，的倾斜角为（如图3）；

（4）当时，的倾斜角为（如图4）．

故直线的倾斜角可能为，但不可能为．

10．若直线与圆相切，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】因为直线与圆相切，

所以，

解得.

11．直线与曲线恰有一个交点，则实数b可取下列哪些值（    ）

A． B． C．1 D．

【答案】AC

【解析】解：曲线，整理得，，

画出直线与曲线的图象，如图，

直线与曲线恰有一个交点，

则

12．古希腊数学家阿波罗尼奧斯(约公元前262~公元前190年)的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数(且)的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知，，圆：上有且仅有一个点满足，则的取值可以为（    ）

A．1 B．2 C．3 D．5

【答案】AD

【解析】设，由，得，整理得，

又点是圆：上有且仅有的一点，所以两圆相切.

圆的圆心坐标为（﹣1，0），半径为2，

圆C：的圆心坐标为（2，0），半径为r，两圆的圆心距为3，

当两圆外切时，r+2＝3，得r＝1，

当两圆内切时，|r﹣2|＝3，得r＝5．

三、填空题

13．直线的斜率为__．

【答案】

【解析】由直线，得，即，

则该直线的斜率．

14．若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx-2y-5＝0相交于同一点，则m的值为________．

【答案】9

【解析】联立，解得，．

把代入可得：．

．

15． 若点(m，n)在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是________．

【答案】4

【解析】因为m2＋n2是直线4x＋3y－10＝0上的点(m，n)到原点距离的平方，所以其最小值就是原点到直线4x＋3y－10＝0的距离的平方．

16．已知直线：，圆：，则圆的半径______；若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，则实数的取值范围是______．

【答案】       

【解析】圆的标准方程为，圆心为，半径为，

若在圆上存在两点，，在直线上存在一点，使得，过作圆的两条切线（为切点），则，而当时，最大，只要此最大角即可，

此时，圆心到直线的距离为．所以，解得．

四、解答题

17．已知的三个顶点，，．

（1）求边上的中线所在直线的方程；

（2）求边上的高线所在直线的方程．

【解析】（1）由题意得：边的中点为，

所以直线的斜率，

所以边上的中线所在直线方程

为，即．

（2）由题意得：直线的斜率，

所以边上的高所在直线方程为，

即．

18．已知圆心为C（4，3）的圆经过原点O．

（1）求圆C的方程；

（2）设直线3x﹣4y+15＝0与圆C交于A，B两点，求△ABC的面积．

【解析】解：（1）圆C的半径为 ，

从而圆C的方程为（x﹣4）2+（y﹣3）2＝25；

（2）作CD⊥AB于D，则CD平分线段AB，

在直角三角形ADC中，由点到直线的距离公式，得|CD|＝3，

所以，

所以|AB|＝2|AD|＝8，

所以△ABC的面积．

19．已知圆与轴相切，圆心在射线，且被直线截得的弦长为．

（1）求圆的方程；

（2）若点在圆上，求点到直线的距离的最小值．

【解析】（1）圆心在射线上，则可设圆心为，其中，

圆与轴相切，圆的半径为，圆的方程为，

设圆心到直线的距离为，

则，

由弦长的几何关系得，

即，解得，

则圆的方程为；

（2）圆心到直线的距离为，

则直线与圆相离，点到直线的距离的最小值为.

20．已知圆：，点，直线过点且倾斜角为.

（1）判断点与圆的位置关系，并说明理由；

（2）若，求直线被圆所戴得的弦的长.

【解析】（1）点在圆内,理由如下：

由已知得圆的圆心为，半径，

因为，所以.

因为，所以点在圆内.

（2）因为，所以直线的斜率为.

因为直线过点，

所以直线的方程为，即，

由圆心到直线的距离，

所以.

21．圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为，．

（1）若点的坐标为，求直线、的方程；

（2）求证：直线恒过定点，并求出该定点的坐标．

【解析】解：（1）由题意，切线的斜率存在，设切线方程为，

即．

由，解得或．

所求切线方程分别为和；

（2）根据题意，点为直线上一动点，设，

，是圆的切线，

，，

是圆与以为直径的两圆的公共弦，

可得以为直径的圆的方程为，

即，①

又圆的方程为：，②，

①②，得，

即，则该直线必过点．

22．已知动圆Q经过定点，且与定直线相切（其中a为常数，且）.记动圆圆心Q的轨迹为曲线C.

（1）求C的方程，并说明C是什么曲线？

（2）设点P的坐标为，过点P作曲线C的切线，切点为A，若过点P的直线m与曲线C交于M，N两点，证明：.

【解析】（1）设，由题意得，化简得，

所以动圆圆心Q的轨迹方程为，

它是以F为焦点，以直线为准线的抛物线.

（2）不妨设.

因为，所以，

从而直线的斜率为，解得，即，

又，所以轴.

要使，只需.

设直线m的方程为，代入并整理，

得.

所以，解得或.

设，，

则，.

.

故存在直线m，使得，

此时直线m的斜率的取值范围为.