专题03 三角函数与解三角形-2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

2021年高考数学尖子生培优题典（新高考专版）

  专题03 三角函数与解三角形

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

一、 选择题

1．若，则 （    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：，

，

故选：C.

2．在中，，则等于（   ）

A． B． C．或 D．或

【答案】D

【解析】由正弦定理得，所以，又，所以，所以或．选D．

3．已知，，、，则的值为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】解：、，，

，

，

.

.

.

故选：A.

4．在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，它的面积为，则角A等于（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】解：由余弦定理得，

又根据三角形面积公式得，

∴，

又角为的内角，

∴，

故选：B．

5．设当时，函数取得最大值，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题得f(x)=,

其中

当，即时，函数取到最大值.

所以.

6．函数的最小正周期是（    ）

A． B． C．2π D．5π

【答案】D

【解析】由题意，函数，所以函数的最小正周期是：.

7．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名，画中女子神秘的微笑，数百年来让无数观赏者入迷，现将画中女子的嘴唇近似的看作一个圆弧，设嘴角、间的圆弧长为，嘴角间的距离为，圆弧所对的圆心角为（为弧度角），则、和所满足的恒等关系为（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

设该圆弧所对应的圆的半径为，则，，两式相除得

8．在中，内角的对边分别为，，的面积为，则的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：，，，

又，，

由余弦定理可得，

，当且仅等号成立．

9．函数部分图象如图所示，对不同的，若，有，则（    ）

A．在上是减函数 B．在上是减函数

C．在上是增函数 D．在上是增函数

【答案】C

【解析】由题中图像可知，由图像，因为对不同的，都有，易知函数在取到最大值，

所以，故，又，

故，得，

因为，所以，所以．

由解得：；

即函数的递增区间为；

由解得：；

即函数的递减区间为；

故C选项正确，ABD都错；

故选：C.

10．如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离.已知山高，，在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为45°，，则两山顶A、C之间的距离为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】过作，垂足为，

在直角三角形中，，

在直角三角形中，，

在中，

，

在直角三角形中，，

所以.

故选：B.

11．关于函数，给出下列命题：

（1）函数在上是增函数；

（2）函数的图像关于点对称；

（3）为得到函数的图像，只要把函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度．其中正确命题的个数是（　　）

A．0 B．1 C．2 D．3

【答案】C

【解析】当，

即，函数是增函数，故（1）错；

，即，

则函数的图像关于点对称，（2）正确；

将函数的图像上所有的点向右平行移动个单位长度，

得到函数，（3）正确，

故选：C.

12．在中，内角，，的对边分别为，，，且，，为的面积，则的最大值为（    ）

A．1 B．2 C． D．

【答案】C

【解析】因为，所以可化为

，即，

可得，所以.

又由正弦定理得，，

所以，

当且仅当时，取得最大值.

13．知函数（，）满足，其图象与直线的某两个交点横坐标为，，且的最小值为．现给出了以下结论．

①且        ②在上单调递减且

③在上单调递增且    ④是的对称中心

则以上正确的结论编号为（    ）

A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④

【答案】C

【解析】根据及条件的最小值为，

可知函数的最大值为2，的最小正周期为，

∴，因为，所以，

因为，所以函数是偶函数，而，

所以．于是序号①正确，进而知；

对于序号②：∵，于是序号②错误；

对于序号③，当且仅当取时，

解得，即为的单调增区间，

显然，又，故序号③正确；

对于序号④，令，解得，

即为函数的对称中心，

显然是的其中一个对称中心，故④序号正确，

综上知正确的序号为①③④．

14．函数的单调递增区间是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】 ，因为，由，得，函数的单调递增区间是，故选D.

15．要得到函数的图象，只需将函数的图象（    ）

A．向左平移个单位 B．向左平移个单位

C．向右平移个单位 D．向右平移个单位

【答案】B

【解析】，故只需向左平移个单位就可得到

.

16．（多选题）函数的图象的一个对称中心为（    ）

A． B． C． D．

【答案】AB

【解析】 令,当k=1时，,对称中心是;当k=2时，,对称中心是.

17．（多选题）将函数的图象向左平移个单位，得到函数的函数图象，则下列说法正确的是（    ）

A．是奇函数 B．的周期是

C．的图象关于直线对称 D．的图象关于对称

【答案】AC

【解析】将函数的图象向左平移个单位，可得，

所以是奇函数，且图象关于直线对称.

18．（多选题）下图是函数（其中，，）的部分图象，下列结论正确的是（    ）

A．函数的图象关于顶点对称

B．函数的图象关于点对称

C．函数在区间上单调递增

D．方程在区间上的所有实根之和为

【答案】ABD

【解析】由已知，，，因此，

∴，

所以，过点，

因此，，又，

所以，∴，

对A，图象关于原点对称，故A正确；

对B，当时，，故B正确；

对C，由，有，故C不正确；

对D，当时，，所以与函数有4个交点令横坐标为，，，，，故D正确.

二、 解答题

19．如图，在中，，点在边上，

（1）求的度数；

（2）求的长度.

【解析】解：（1）在中，，，

由余弦定理，有，

在中，；

（2）由（1）知，

在中，由正弦定理，有，

．

20．已知（为常数）.

（1）求的单调递增区间；

（2）若当时，的最大值为4，求的值.

【解析】（1）由得，

所以函数的单调递增区间为；

（2），，

的最大值为2，

在的最大值为4，

，

．

21．在中，角的对边分别为，且.

（1）求角的大小；

（2）若，角的平分线交于点，求的面积.

【解析】（1）由及正弦定理知，

又，由余弦定理得

.

，.

（2）由（1）知，

又，在中，由正弦定理知：，

在中，由正弦定理及，

解得，

故.

22．设函数.

（Ⅰ）求函数的单调递增区间；

（Ⅱ）在锐角中，若，且能盖住的最小圆的面积为，求周长的取值范围.

【解析】（Ⅰ）因为

由，解得，

所以函数的单调递增区间为.

（Ⅱ）因为，所以.

又因为为锐角三角形，所以，.

所以，故有.

已知能盖住的最小圆为的外接圆，而其面积为.

所以，解得，的角，，所对的边分别为,,.

由正弦定理.

所以，，，

由为锐角三角形，所以.

所以，则，

故， 所以.

故此的周长的取值范围为.