2021年中考数学一轮复习课时分层训练： 二次函数的图象与性质

二次函数的图象与性质

【基础练习】

1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是(　　)

A．y＝3x－1    B．y＝ax2＋bx＋c

C.s＝2t2－2t＋1    D．y＝x2＋

2．抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是(　　)

A.(－2，5)    B．(－2，－5)

C.(2，5)    D．(2，－5)

3．(源于沪科九上P10)抛物线y＝x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称.其中正确的有(　　)

A.1个    B．2个    C．3个    D．4个

4．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是(　　)

A.－3    B．－1    C．2    D．3

5．(2020·哈尔滨中考)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为(　　)

A.y＝(x＋3)2＋5    B．y＝(x－3)2＋5

C.y＝(x＋5)2＋3    D．y＝(x－5)2＋3

6．(2020·温州中考)已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则(　　)

A.y3＜y2＜y1    B．y3＜y1＜y2

C.y2＜y3＜y1    D．y1＜y3＜y2

7．(2020·恩施中考)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－2，0)，B(1，0)两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝－1；③2a＋c＝0；④a－b＋c＞0.其中正确的有(　　)

A.0个    B．1个    C．2个    D．3个

8．(2020·南京中考)关于x的方程(x－1)(x＋2)＝p2(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是(　　)

A.两个正根    B．两个负根

C.一个正根，一个负根    D．无实数根

9．若抛物线y＝ax2＋c与y＝2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0，－2)，则该抛物线的表达式是____．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B为x轴上点，点C，D为抛物线y＝－x2＋2x＋3上两点，且四边形ABCD是正方形，求正方形ABCD的面积．

【能力提升】

11．(源于沪科九上P23)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(　　)

12．如图，已知二次函数y1＝x2－x的图象与正比例函数y2＝x的图象交于点A(3，2)，与x轴交于点B(2，0)，若0＜y1＜y2，则x的取值范围是(　　)

A.0＜x＜2    B．0＜x＜3

C.2＜x＜3    D．x＜0或x＞3

13．将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是(　　)

A.b＞8    B．b＞－8

C.b≥8    D．b≥－8

14．若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线的表达式应变为(　　)

A.y＝(x－2)2＋3    B．y＝(x－2)2＋5

C.y＝x2－1    D．y＝x2＋4

15．(2019·武汉中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是____.

16．(2019·贵港中考)我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|(a≠0，且b2－4ac＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2－2x－3|的图象(如图)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当－1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝－1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是____.

17．(2020·贵港中考)如图，对于抛物线y1＝－x2＋x＋1，y2＝－x2＋2x＋1，y3＝－x2＋3x＋1，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点C(0，1)；②抛物线y3的对称轴可由抛物线y1的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是____．

18．(2019·百色一模)抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴的交点为A(0，2)，B(4，0)，C(－1，0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M为抛物线顶点，点P为x轴上一动点，是否存在点P，使△APB与△APC的面积之和等于△ABM面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

答案

二次函数的图象与性质

【基础练习】

1．下列函数表达式中，一定为二次函数的是(　C　)

A．y＝3x－1    B．y＝ax2＋bx＋c

C.s＝2t2－2t＋1    D．y＝x2＋

2．抛物线y＝3(x－2)2＋5的顶点坐标是(　C　)

A.(－2，5)    B．(－2，－5)

C.(2，5)    D．(2，－5)

3．(源于沪科九上P10)抛物线y＝x2，y＝x2，y＝－x2的共同性质是：①都是开口向上；②都以点(0，0)为顶点；③都以y轴为对称轴；④都关于x轴对称.其中正确的有(　B　)

A.1个    B．2个    C．3个    D．4个

4．二次函数y＝ax2＋bx－1(a≠0)的图象经过点(1，1)，则a＋b＋1的值是(　D　)

A.－3    B．－1    C．2    D．3

5．(2020·哈尔滨中考)将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为(　D　)

A.y＝(x＋3)2＋5    B．y＝(x－3)2＋5

C.y＝(x＋5)2＋3    D．y＝(x－5)2＋3

6．(2020·温州中考)已知(－3，y1)，(－2，y2)，(1，y3)是抛物线y＝－3x2－12x＋m上的点，则(　B　)

A.y3＜y2＜y1    B．y3＜y1＜y2

C.y2＜y3＜y1    D．y1＜y3＜y2

7．(2020·恩施中考)如图，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－2，0)，B(1，0)两点．则以下结论：①ac＞0；②二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的对称轴为x＝－1；③2a＋c＝0；④a－b＋c＞0.其中正确的有(　C　)

A.0个    B．1个    C．2个    D．3个

8．(2020·南京中考)关于x的方程(x－1)(x＋2)＝p2(p为常数)的根的情况，下列结论中正确的是(　C　)

A.两个正根    B．两个负根

C.一个正根，一个负根    D．无实数根

9．若抛物线y＝ax2＋c与y＝2x2的形状相同，开口方向相反，且其顶点坐标是(0，－2)，则该抛物线的表达式是__y＝－2x2－2__．

10．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B为x轴上点，点C，D为抛物线y＝－x2＋2x＋3上两点，且四边形ABCD是正方形，求正方形ABCD的面积．

解：设点C的横坐标为m.

∵抛物线y＝－x2＋2x＋3的对称轴为直线x＝－＝1，

∴CD＝2(m－1)，BC＝－m2＋2m＋3.

∵正方形ABCD中，CD＝BC，

∴2m－2＝－m2＋2m＋3.解得m＝±.

∵点C在对称轴的右侧，∴m＞1.

∴m＝.∴CD＝2(－1).

∴CD2＝24－8.

∴正方形ABCD的面积为24－8.

【能力提升】

11．(源于沪科九上P23)二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是(　D　)

12．如图，已知二次函数y1＝x2－x的图象与正比例函数y2＝x的图象交于点A(3，2)，与x轴交于点B(2，0)，若0＜y1＜y2，则x的取值范围是(　C　)

A.0＜x＜2    B．0＜x＜3

C.2＜x＜3    D．x＜0或x＞3

13．将二次函数y＝x2的图象先向下平移1个单位，再向右平移3个单位，得到的图象与一次函数y＝2x＋b的图象有公共点，则实数b的取值范围是(　D　)

A.b＞8    B．b＞－8

C.b≥8    D．b≥－8

14．若抛物线y＝x2－2x＋3不动，将平面直角坐标系xOy先沿水平方向向右平移1个单位，再沿铅直方向向上平移3个单位，则原抛物线的表达式应变为(　C　)

A.y＝(x－2)2＋3    B．y＝(x－2)2＋5

C.y＝x2－1    D．y＝x2＋4

15．(2019·武汉中考)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)，B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是__x1＝－2，x2＝5__.

16．(2019·贵港中考)我们定义一种新函数：形如y＝|ax2＋bx＋c|(a≠0，且b2－4ac＞0)的函数叫做“鹊桥”函数．小丽同学画出了“鹊桥”函数y＝|x2－2x－3|的图象(如图)，并写出下列五个结论：①图象与坐标轴的交点为(－1，0)，(3，0)和(0，3)；②图象具有对称性，对称轴是直线x＝1；③当－1≤x≤1或x≥3时，函数值y随x值的增大而增大；④当x＝－1或x＝3时，函数的最小值是0；⑤当x＝1时，函数的最大值是4.其中正确结论的个数是__4__.

17．(2020·贵港中考)如图，对于抛物线y1＝－x2＋x＋1，y2＝－x2＋2x＋1，y3＝－x2＋3x＋1，给出下列结论：①这三条抛物线都经过点C(0，1)；②抛物线y3的对称轴可由抛物线y1的对称轴向右平移1个单位而得到；③这三条抛物线的顶点在同一条直线上；④这三条抛物线与直线y＝1的交点中，相邻两点之间的距离相等．其中正确结论的序号是__①②④__．

18．(2019·百色一模)抛物线y＝ax2＋bx＋c与坐标轴的交点为A(0，2)，B(4，0)，C(－1，0).

(1)求抛物线的解析式；

(2)点M为抛物线顶点，点P为x轴上一动点，是否存在点P，使△APB与△APC的面积之和等于△ABM面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解：(1)∵y＝ax2＋bx＋c与坐标轴的交点为A(0，2)，B(4，0)，C(－1，0)，

∴y＝a(x－4)(x＋1)＝ax2－3ax－4a.

∴－4a＝2，即a＝－.

∴抛物线的解析式为

y＝－x2＋x＋2；

(2)存在．

过点M作MN⊥x轴于点N，与AB交于点D.

∵y＝－x2＋x＋2＝－＋，

∴M.

设直线AB的解析式为y＝kx＋m.

∵直线AB经过点A(0，2)，B(4，0)，

∴解得

∴直线AB的解析式为y＝－x＋2.

又点D的横坐标为，把x＝代入y＝－x＋2，得y＝，∴D.

∴ON＝，BN＝4－＝，

DM＝－＝.

∴S△ABM＝DM·OB＝××4＝.

设P(x，0)，则有3种情况：

①当点P在线段BC上时，S△APB＋S△APC＝×(4＋1)×2＝5≠2×，此种情况不存在；

②当点P在线段BC的延长线上时，S△APB＋S△APC＝2S△APC＋S△ABC＝2×(－1－x)×2＋5＝2×，解得x＝－.∴P；

③当点P在线段CB的延长线上时，S△APB＋S△APC＝(x－4)×2＋(x＋1)×2＝2×，解得x＝.∴P.

综上所述，点P的坐标为或.