2021届二轮复习 小题考法专训九基本初等函数函数与方程 作业（全国通用）

小题考法专训（九）  基本初等函数、函数与方程

A级——保分小题落实练

一、选择题

1．幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)是(　　)

A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数

C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数

D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数

解析：选D　设幂函数f(x)＝xa，则f(3)＝3a＝，解得a＝，则f(x)＝x＝，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．

2．函数y＝ax＋2－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过的点是(　　)

A．(0,0)　　　　　　　 B．(0，－1)

C．(－2,0)  D．(－2，－1)

解析：选C　令x＋2＝0，得x＝－2，所以当x＝－2时，y＝a0－1＝0，所以y＝ax＋2－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点(－2,0)．

3．已知a＝0.50.8，b＝0.80.5，c＝0.80.8，则(　　)

A．c＜b＜a  B．c＜a＜b

C．a＜b＜c  D．a＜c＜b

解析：选D　∵y＝0.8x在R上为单调递减函数，

∴c＝0.80.8＜b＝0.80.5.

∵y＝x0.8在(0，＋∞)上为单调递增函数，

∴a＝0.50.8＜c＝0.80.8，∴a＜c＜b.

4．已知函数f(x)＝x－cos x，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)

A．1  B．2

C．3  D．4

解析：选C　作出g(x)＝x与h(x)＝cos x的图象(图略)，可以看到其在[0,2π]上的交点个数为3，所以函数f(x)在[0,2π]上的零点个数为3，故选C.

5．若函数f(x)＝(x2＋1)·是奇函数，则m的值是(　　)

A．－1  B．1

C．－2  D．2

解析：选B　设g(x)＝x2＋1，h(x)＝，易知g(x)＝x2＋1是偶函数，则依题意可得h(x)＝是奇函数，故h(－x)＝＝－h(x)＝－，化简得2x＋m＝m·2x＋1，解得m＝1.选B.

6．已知实数a＝2ln 2，b＝2＋2ln 2，c＝(ln 2)2，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．c＜b＜a  B．c＜a＜b

C．b＜a＜c  D．a＜c＜b

解析：选B　因为0＜ln 2＜1，所以a＝2ln 2∈(1,2)，c＝(ln 2)2∈(0,1)．又b＝2＋2ln 2＝2＋ln 4∈(3,4)，故c＜a＜b.故选B.

7．(2020·安徽铜陵一中期末)函数f(x)＝2sin x－sin 2x在[0,2π]的零点个数为(　　)

A．2  B．3

C．4  D．5

解析：选B　令f(x)＝0，得2sin x－sin 2x＝0，

即2sin x－2sin xcos x＝0，

∴2sin x(1－cos x)＝0，∴sin x＝0或cos x＝1.

又x∈[0,2π]，

∴由sin x＝0，得x＝0，π或2π，

由cos x＝1，得x＝0或2π.

故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．

8．若函数f(x)＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)

A．(0,1)  B．(0,1)∪(1,2)

C．(1,2)  D．[2，＋∞)

解析：选C　当a＞1时，若f(x)有最小值，则说明y＝x2－ax＋1有最小值，故y＝x2－ax＋1中Δ＜0，即a2－4＜0，∴1＜a＜2.当0＜a＜1时，若f(x)有最小值，则说明y＝x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，选C.

9．(2020·兰州诊断考试)已知函数f(x)＝x·ln ，a＝f，b＝f，c＝f，则以下关系成立的是(　　)

A．c＜a＜b  B．c＜b＜a

C．a＜b＜c  D．a＜c＜b

解析：选A　因为a＝f＝－ln ＝ln 16，b＝f＝ln 3＝ln 729，c＝f＝ln ＝ ln ，因为＜16＜729，所以c＜a＜b，故选A.

10．函数f(x)＝x2－6xsin ＋1(x∈R)的零点个数为(　　)

A．10　　　　　　　　　 B．8

C．6  D．4

解析：选B　显然x＝0不是f(x)的零点，当x≠0时，

令x2－6xsin ＋1＝0，可得6sin ＝x＋，

则问题等价于求解函数y＝6sin 与函数y＝x＋的图象的交点个数问题，

注意到两个函数都是奇函数，故考查当x＞0时两函数图象的交点个数即可．

作出两个函数在x＞0时的图象如图所示，当x＝6时，x＋＞6，故当x＞0时两函数图象交点的个数为4.

结合奇函数图象的对称性可知函数y＝6sin 与函数y＝x＋的图象的交点个数为8.

故函数f(x)＝x2－6xsin ＋1(x∈R)的零点个数为8.故选B.

11．(2020·武昌调研)已知函数f(x)＝x3＋a，则f(x)的零点可能有(　　)

A．1个  B．1个或2个

C．1个或2个或3个  D．2个或3个

解析：选A　因为x2＋x＋2＝(x＋1)2＋＞0，

所以令f(x)＝0，得a＝，

f(x)的零点转化为直线y＝a与函数g(x)＝的图象的交点．

g′(x)＝

＝，

令g′(x)＝0，即－x4－x3－2x2＝0，整理得x2(x2＋4x＋12)＝0，

由于x2＋4x＋12＝(x＋2)2＋8＞0，所以x＝0，所以g′(x)≤0，所以g(x)在(－∞，＋∞)上单调递减，所以直线y＝a与函数g(x)的图象可能有1个交点，所以f(x)的零点可能有1个．故选A.

12．若关于x的方程ex＋ax－a＝0没有实数根，则实数a的取值范围是(　　)

A．(－e2,0]  B．[0，e2)

C．(－e,0]  D．[0，e)

解析：选A　由题意可知只需证ex＋ax－a＞0恒成立，即证ex＞－a(x－1)．

当x＜1时，－a＞，令f(x)＝，则f′(x)＝＜0，则f(x)单调递减，即有f(x)＜0，解得－a≥0，即a≤0；

当x＝1时，e＞0成立，a可以是任意实数；

当x＞1时，－a＜，令f(x)＝，则f′(x)＝，当x∈(1,2)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，当x∈(2，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，所以当x＝2时，f(x)取得极小值，也是最小值e2，即有－a＜e2，解得a＞－e2.

综上，实数a的取值范围是(－e2,0]，故选A.

二、填空题

13．已知函数f(x)＝则f＋f＝________.

解析：由题可知f＝log＝2，因为log2＜0，所以f＝log2＝2log26＝6，故f＋f＝8.

答案：8

14．已知函数f(x)＝ln x＋ln(4－x)，给出下列四个命题：

①f(x)在(0,2)上单调递增；

②f(x)在(0,4)上单调递增；

③f(x)的图象关于直线x＝2对称；

④f(x)的图象上存在两点关于点(2,0)对称．

其中所有正确命题的序号为________．

解析：函数f(x)＝ln x＋ln(4－x)＝ln(4x－x2)＝ln[－(x－2)2＋4]，

f(x)的定义域为(0,4)，设z＝4x－x2，

由z在(0,2)上递增，得f(x)在(0,2)上单调递增，故①正确，②错误；

由f(2＋x)＝ln(2＋x)＋ln(2－x)，f(2－x)＝ln(2－x)＋ln(2＋x)，

即f(2＋x)＝f(2－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝2对称，故③正确；

由f(2＋x)＋f(2－x)＝2ln(2－x)＋2ln(2＋x)＝0，解得x＝±，即f(x)的图象上存在两点(2－，0)，(2＋，0)关于点(2,0)对称，故④正确．故答案为①③④.

答案：①③④

15．(2020·北京北京朝阳期末)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.

①当x＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；

②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x的最大值为________．

解析：①顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，原价应为60＋80＝140(元)，超过了120元可以优惠，所以当x＝10时，顾客需要支付140－10＝130(元)．

②由题意知，当x确定后，顾客可以得到的优惠金额是固定的，所以顾客支付的金额越少，优惠的比例越大．而顾客要想得到优惠，最少要一次购买2盒草莓，此时顾客支付的金额为(120－x)元，所以(120－x)×80%≥120×0.7，解得x≤15.即x的最大值为15.

答案：130　15

16．已知函数f(x)＝若f(x)≤1，则实数x的取值范围是________；若方程f(x)－kx＝3有三个相异的实根，则实数k的取值范围是________．

解析：当x≥0时，f(x)≤1即－x2＋2x≤1，即(x－1)2≥0，则x≥0成立；当x＜0时，f(x)≤1即－2x≤1，解得－≤x＜0.综上，实数x的取值范围为.

由题意知，方程f(x)－kx＝3即f(x)＝kx＋3有三个相异的实根，则函数y＝f(x)和y＝kx＋3的图象有三个不同的交点．作出函数y＝f(x)的图象如图所示．由题意知直线y＝kx＋3和y＝－2x(x＜0)的图象必有一个交点，所以－2＜k＜0，则y＝kx＋3与y＝－x2＋2x(x≥0)的图象必有两个交点．联立整理得x2＋(k－2)x＋3＝0，由解得k＜2－2.所以实数k的取值范围是(－2,2－2)．

答案：　(－2,2－2)

B级——拔高小题提能练

1．[多选题]函数f(x)＝若实数a，b，c满足0＜a＜b＜c，且f(a)＝f(b)＝f(c)．下列结论恒成立的是(　　)

A．ab＝1  B．c－a＝

C．b2－＜0  D．a＋c＜2b

解析：选ABC　由图知：－log2a＝log2b＝，即a＝＝c－，＜a＜1，运算可得，选项A，B恒成立；

又b2－＝－＝＜0，即选项C恒成立；又a＋c－2b＝，当＜a＜1时，a＋c－2b的符号不确定，即选项D不恒成立．

2．已知函数f(x)＝sin x－sin 3x，x∈[0,2π]，则f(x)的所有零点之和等于(　　)

A．5π　　　 B．6π　　　　C．7π　　　　D．8π

解析：选C　f(x)＝sin x－sin 3x＝sin(2x－x)－sin(2x＋x)＝－2cos 2xsin x，令f(x)＝0，可得cos 2x＝0或sin x＝0，∵x∈[0,2π]，∴2x∈[0,4π]，由cos 2x＝0可得2x＝或2x＝或2x＝或2x＝，∴x＝或x＝或x＝或x＝，由sin x＝0可得x＝0或x＝π或x＝2π，∵＋＋＋＋0＋π＋2π＝7π，∴f(x)的所有零点之和等于7π，故选C.

3．设f(x)＝，若存在唯一一个整数x使得f(x)＜1，则实数a的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　由题意知，存在唯一的整数x使＜1成立，当x＜0时，ex＞2ax＋1，不合题意；当x＞0时，得ex＜2ax＋1，令h(x)＝ex，m(x)＝2ax＋1，则m(x)的图象过定点(0,1)，显然只有x＝1符合题意，所以所以解得＜a≤，故选B.

4．已知函数y＝f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x∈时，f(x)＝lg(x2－x＋1)，则x∈时，f(x)＝________，函数f(x)在区间[0,3]上的零点个数为________．

解析：设x∈，可得－x∈，f(－x)＝lg(x2＋x＋1)，

由f(x)为奇函数可得f(－x)＝－f(x)，可得f(x)＝－lg(x2＋x＋1)；

当x∈时，令f(x)＝lg(x2－x＋1)＝0，解得x＝1；

当x∈时，令f(x)＝－lg(x2＋x＋1)＝0，解得x＝－1；

可得f(－1)＝f(2)＝0，f(0)＝0，f(1)＝0，f(3)＝0，

由f＝f＝－f，可得f＝0，所以函数f(x)在区间[0,3]上有5个零点．

答案：－lg(x2＋x＋1)　5

5．若对任意的x∈D，均有g(x)≤f(x)≤h(x)成立，则称函数f(x)为函数g(x)到函数h(x)在区间D上的“任性函数”．已知函数f(x)＝kx，g(x)＝x2－2x，h(x)＝(x＋1)·(ln x＋1)，且f(x)是g(x)到h(x)在区间[1，e]上的“任性函数”，则实数k的取值范围是________．

解析：依题意得，∀x∈[1，e]，x2－2x≤kx≤(x＋1)(ln x＋1)恒成立，

∴x－2≤k≤(ln x＋1)在x∈[1，e]上恒成立．

又y＝x－2在[1，e]上增函数，

∴(x－2)max＝e－2，则k≥e－2.①

设φ(x)＝(ln x＋1)，x∈[1，e]，

则φ′(x)＝－(ln x＋1)＋·＝＞0，

∴φ(x)在[1，e]上是增函数，

则φ(x)min＝φ(1)＝2，∴k≤2.②

由①②知，当e－2≤k≤2时，x2－2x≤kx≤(x＋1)(ln x＋1)在x∈[1，e]上恒成立．

答案：[e－2,2]