2021届二轮复习 小题考法专训七圆锥曲线的方程与性质 作业（全国通用）

小题考法专训（七）  圆锥曲线的方程与性质

A级——保分小题落实练

一、选择题

1．一个焦点为(，0)且与双曲线－＝1有相同渐近线的双曲线方程是(　　)

A.－＝1　　　　　　 B.－＝1

C.－＝1  D．－＝1

解析：选B　设所求双曲线方程为－＝t(t≠0)，因为一个焦点为(，0)，所以|13t|＝26.又焦点在x轴上，所以t＝－2，即双曲线方程为－＝1.

2．若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为2，O为坐标原点，则△OFP的面积为(　　)

A.  B．1

C.  D．2

解析：选B　设P(x0，y0)，依题意可得|PF|＝x0＋1＝2，解得x0＝1，故y＝4×1，解得y0＝±2，不妨取P(1,2)，则△OFP的面积为×1×2＝1.

3．(2020届高三·西安五校联考七校联考)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为 ，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±2x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±x

解析：选D　因为双曲线中c2＝a2＋b2，所以e＝＝＝＝，所以＝±，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.故选D.

4．已知m是3与12的等比中项，则圆锥曲线＋＝1的离心率是(　　)

A．2  B．

C.  D．2或

解析：选D　因为m是3与12的等比中项，所以m2＝3×12＝36，解得m＝±6.若m＝－6，则曲线的方程为－＝1，该曲线是双曲线，其离心率e＝＝2；若m＝6，则曲线的方程为＋＝1，该曲线是椭圆，其离心率e＝＝.综上，所求离心率是2或.

5．已知双曲线x2－＝1 的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A，B两点，且|AF1|＝|BF1|，则|AB|＝(　　)

A．2  B．3

C．4  D．2＋1

解析：选C　设双曲线的实半轴长为a，依题意可得a＝1，由双曲线的定义可得|AF2|－|AF1|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，又|AF1|＝|BF1|，故|AF2|－|BF2|＝4，又|AB|＝|AF2|－|BF2|，故|AB|＝4.

6．已知F1，F2是双曲线E的左、右焦点，点P在双曲线E上，∠F1PF2＝且(＋)·＝0，则双曲线E的离心率e＝(　　)

A.－1  B．＋1

C.  D．

解析：选D　由题意知，△F2PF1是等腰三角形，|F1F2|＝|F2P|＝2c，因为∠F1PF2＝，所以|PF1|＝2c，由双曲线的定义，可得2c－2c＝2a，所以双曲线E的离心率e＝＝，故选D.

7．(2020·大连二模)焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1(a＞b＞0)，短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，该三角形内切圆的半径为，则椭圆的离心率为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选C　由短轴的一个端点和两个焦点相连构成一个三角形，又由三角形面积公式得×2c×b＝(2a＋2c)×，得a＝2c，即e＝＝，故选C.

8．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两个顶点分别为A，B，点P为双曲线上除A，B外任意一点，且点P与点A，B连线的斜率分别为k1，k2，若k1k2＝3，则双曲线的渐近线方程为(　　)

A．y＝±x  B．y＝±x

C．y＝±x  D．y＝±2x

解析：选C　设点P(x，y)，由题意知k1·k2＝·＝＝＝＝3，所以其渐近线方程为y＝±x，故选C.

9．已知直线l的倾斜角为45°，直线l与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右两支分别交于M，N两点，且MF1，NF2都垂直于x轴(其中F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点)，则该双曲线的离心率为(　　)

A.  B．

C.－1  D．

解析：选D　根据题意及双曲线的对称性，可知直线l过坐标原点，|MF1|＝|NF2|.设点M(－c，y0)，则N(c，－y0)，－＝1，即|y0|＝.由直线l的倾斜角为45°，且|MF1|＝|NF2|＝|y0|，得|y0|＝c，即＝c，整理得c2－ac－a2＝0，即e2－e－1＝0，解得e＝或e＝(舍去)，故选D.

10．(2020·石家庄模拟)已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)，点F为左焦点，点P为下顶点，平行于FP的直线l交椭圆于A，B两点，且AB的中点为M，则椭圆的离心率为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　∵FP的斜率为－，FP∥l，∴直线l的斜率为－.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得－＝－，即＝－.∵AB的中点为M，∴－＝－，∴a2＝2bc，∴b2＋c2＝2bc，∴b＝c，∴a＝c，∴椭圆的离心率为，故选B.

11．(2020·合肥模拟)设抛物线C：y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的焦点到准线的距离为(　　)

A．4或8  B．2或4

C．2或8  D．4或16

解析：选C　抛物线C的方程为y2＝2px(p＞0)，∴F，准线方程为x＝－.如图，设准线与x轴的交点为K，则|KF|＝p.过M作MP平行于x轴交准线于P，则|MP|＝|MF|＝5.取MF的中点为N，过N作NQ平行于x轴交准线于Q，交y轴于A，则|NQ|＝＝＋，|AN|＝|NQ|－＝＝，∴以MF为直径的圆与y轴相切，A为切点，A(0,2)，∴N，故M，∴16＝2p，p2－10p＋16＝0，∴p＝2或p＝8，故选C.

12．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c,0)，P是椭圆上一点，|PF2|＝|F1F2|＝2c，若∠PF2F1∈，则该椭圆的离心率的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选D　根据题意有|PF1|＝2a－2c，|PF2|＝|F1F2|＝2c，则cos∠PF2F1＝＝＝＋＝＋－2，因为∠PF2F1∈，所以cos∠PF2F1∈，所以－1＜＋－2＜，又e＞0，所以⇒⇒⇒2＜＜3⇒＜e＜，故选D.

二、填空题

13．抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F，其准线与双曲线－＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝________，抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为________．

解析：抛物线的焦点坐标为，准线方程为y＝－，准线方程与双曲线方程联立可得－＝1，解得x＝± .因为△ABF为等边三角形，所以|AB|＝p，即×2＝p，解得p＝6.则抛物线焦点坐标为(0,3)，因为双曲线渐近线方程为y＝±x，所以抛物线的焦点到双曲线渐近线的距离为＝.

答案：6　

14．已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.

解析：化双曲线的方程为－＝1，则a＝b＝，c＝2，因为|PF1|＝2|PF2|，所以点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，知|PF1|－|PF2|＝2a＝2，解得|PF1|＝4，|PF2|＝2，根据余弦定理得cos∠F1PF2＝＝.

答案：

15．已知F1，F2是双曲线E：－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，点M在双曲线E上，MF1与x轴垂直，sin∠MF2F1＝，则双曲线E的离心率为________．

解析：由题意知F1(－c,0)，因为MF1与x轴垂直，且M在椭圆上，所以|MF1|＝.在Rt△MF2F1中，sin∠MF2F1＝，所以tan∠MF2F1＝＝，即＝＝，又b2＝c2－a2，所以c2－a2－2ac＝0，两边同时除以a2，得e2－2e－＝0，又e＞1，所以e＝.

答案：

16．(2020·武汉调研)已知F为椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点，O为坐标原点，M为线段OF的垂直平分线与椭圆C的一个交点，若cos∠MOF＝，则椭圆C的离心率为________．

解析：设F(c,0)，M，将M代入椭圆C的方程得＋＝1，即b2＝y.设E为线段OF的垂直平分线与x轴的交点，则△MOE为直角三角形，由于cos∠MOF＝，所以不妨设＝3，则|OM|＝7，c＝6.由勾股定理可得|ME|＝|y0|＝＝2，即b2＝40，得b2＝40，又a2－b2＝36，所以a4－85a2＋324＝0，解得a2＝81或a2＝4＜c2＝36(舍去)，故a＝9，椭圆C的离心率e＝＝＝.

答案：

B级——拔高小题提能练

1．[多选题]已知O是坐标原点，A，B是抛物线y＝x2上不同于O的两点，OA⊥OB，下列四个结论中，所有正确的结论是(　　)

A．|OA|·|OB|≥2

B．|OA|＋|OB|≥2

C．直线AB过抛物线y＝x2的焦点

D．O到直线AB的距离小于等于1

解析：选ABD　设A(x1，x)，B(x2，x)，则·＝0，即x1x2(1＋x1x2)＝0，所以x2＝－.对于A，|OA|·|OB|＝＝≥2，当且仅当x1＝±1时取等号，故A正确；对于B，|OA|＋|OB|≥2≥2，故B正确；对于C，直线AB的方程为y－x＝(x－x1)，不过点，故C错误；对于D，O到直线AB：x－y＋1＝0的距离d＝≤1，故D正确．

2．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的两顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上(不含端点)存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝，则双曲线的渐近线斜率k的平方的取值范围是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A　不妨设点F为双曲线的左焦点，点B在y轴正半轴上，则F(－c,0)，B(0，b)，直线BF的方程为bx－cy＝－bc.如图，以O为圆心，A1A2为直径，作圆O，则P1，P2在圆O上，由图可知

即⇒⇒

⇒⇒

解得1＜2＜，

即双曲线的渐近线斜率k的平方的取值范围是，故选A.

3．已知以圆C：(x－1)2＋y2＝4的圆心为焦点的抛物线C1与圆C在第一象限交于A点，B点是抛物线C2：x2＝8y上任意一点，BM与直线y＝－2垂直，垂足为M，则|BM|－|AB|的最大值为(　　)

A．1  B．2

C．－1  D．8

解析：选A　易知抛物线C1的焦点为(1,0)，所以抛物线C1的方程为y2＝4x.由及点A位于第一象限可得点A(1,2)．因为抛物线C2：x2＝8y的焦点F(0,2)，准线方程为y＝－2，所以由抛物线的定义得|BM|＝|BF|.如图，在平面直角坐标系中画出抛物线C2及相应的图形，可得|BM|－|AB|＝|BF|－|AB|≤|AF|(当且仅当A，B，F三点共线，且点B在第一象限时，不等式取等号)．故所求最大值为|AF|＝1，故选A.

4．(2020·北京北京朝阳期末)已知椭圆M：＋＝1(a＞b＞0)，双曲线N：－＝1.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆M的离心率为________；双曲线N的离心率为________．

解析：法一：如图，∵双曲线N的渐近线方程为y＝±x，

∴＝tan 60°＝，

∴双曲线N的离心率e1满足e＝1＋＝4，∴e1＝2.

由得x2＝.

设D点的横坐标为x，

由正六边形的性质得|ED|＝2x＝c，∴4x2＝c2.

∴＝a2－b2，得3a4－6a2b2－b4＝0，

∴3－－2＝0，解得＝2－3.

∴椭圆M的离心率e＝1－＝4－2.

∴e2＝－1.

法二：∵双曲线N的渐近线方程为y＝±x，

则＝tan 60°＝.

又c1＝＝2m，∴双曲线N的离心率为＝2.

如图，连接EC，由题意知，F，C为椭圆M的两焦点，设正六边形边长为1，则|FC|＝2c2＝2，即c2＝1.

又E为椭圆M上一点，

则|EF|＋|EC|＝2a，

即1＋＝2a，a＝.

∴椭圆M的离心率为＝＝－1.

答案：－1　2

5．已知M为双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右支上一点，A，F分别为双曲线C的左顶点和右焦点，线段FA的垂直平分线过点M，∠MFA＝60°，则C的离心率为________．

解析：如图，设双曲线C的左焦点为F1，连接MF1，由题意知|MF|＝a＋c，|MF1|＝3a＋c，

在△MF1F中，由余弦定理得|MF1|2＝|F1F|2＋|MF|2－2|F1F||MF|cos 60°，所以(3a＋c)2＝(2c)2＋(a＋c)2－2×2c(a＋c)×，整理得4a2＋3ac－c2＝0，因为e＝，所以e2－3e－4＝0，因为e＞1，所以e＝4.

答案：4