2021届二轮复习 小题考法专训一三角函数的图象与性质 作业（全国通用）

小题考法专训（一）  三角函数的图象与性质

A级——保分小题落实练

一、选择题

1．若角α的终边经过点P(1，)，则cos α＋tan α的值为(　　)

A.　　　　　　　　　 B．

C.  D．

解析：选A　因为角α的终边经过点P(1，)，所以x＝1，y＝，r＝|OP|＝2，所以cos α＝＝，tan α＝＝，所以cos α＋tan α＝，故选A.

2．(2020·安阳模拟)若＝3，则cos α－2sin α＝(　　)

A．－1  B．1

C．－  D．－1或－

解析：选C　由已知得sin α≠0，且3sin α＝1＋cos α＞0，即cos α＝3sin α－1，则cos2α＝1－sin2α＝(3sin α－1)2，解得sin α＝，∴cos α－2sin α＝3sin α－1－2sin α＝sin α－1＝－，故选C.

3．已知sin＝，则cos＝(　　)

A.  B．－

C.  D．－

解析：选B　由题意知，cos＝cos＝－sin＝－.故选B.

4．(2020届高三·广州调研)将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍得到y＝sin的图象，则f(x)＝(　　)

A．sin  B．sin

C．sin  D．sin

解析：选B　由题设知，f＝sin.设x＋＝t，则x＝2t－，所以f(t)＝sin＝sin.故f(x)＝sin.故选B.

5．A＝{sin α，cos α，1}，B＝{sin2α，sin α＋cos α，0}，且A＝B，则sin2 019α＋cos2 018α＝(　　)

A．0  B．1

C．－1  D．±1

解析：选C　当sin α＝0时，sin2α＝0，此时集合B中不符合集合元素的互异性，故舍去；当cos α＝0时，A＝{sin α，0,1}，B＝{sin2α，sin α，0}，此时sin2α＝1，得sin α＝－1，所以sin2 019α＋cos2 018α＝－1.

6.(2020·南昌模拟)设ω＞0，函数y＝sin(ωx＋φ)(－π＜φ＜π)的图象向左平移个单位后，得到如图所示的图象，则ω，φ的值为(　　)

A．ω＝2，φ＝  B．ω＝2，φ＝－

C．ω＝1，φ＝－  D．ω＝1，φ＝

解析：选A　函数y＝sin(ωx＋φ)(－π＜φ＜π)的图象向左平移个单位后可得y＝sin.

由函数的图象可知，

＝－＝，∴T＝π.

根据周期公式可得ω＝2，

∴y＝sin.

由图知当y＝－1时，x＝×＝，

∴函数的图象过，

∴sin＝－1.

∵－π＜φ＜π，∴φ＝.故选A.

7．(2020·惠州调研)已知函数f(x)＝3cos(ω＞0)和g(x)＝2sin(2x＋φ)＋1的图象的对称轴完全相同，若x∈，则f(x)的取值范围是(　　)

A．[－3,3]  B．

C.  D．

解析：选D　因为函数f(x)和g(x)的图象的对称轴完全相同，故f(x)和g(x)的周期相同，所以ω＝2，f(x)＝3cos.由x∈，得2x＋∈.根据余弦函数的图象可知，当2x＋＝π，即x＝时，f(x)min＝－3；当2x＋＝，即x＝0时，f(x)max＝，所以f(x)的取值范围是，故选D.

8．已知函数f(x)＝cos(x＋θ)(0＜θ＜π)在x＝时取得最小值，则f(x)在[0，π]上的单调递增区间是(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选A　因为0＜θ＜π，所以＜＋θ＜，

又f(x)＝cos(x＋θ)在x＝时取得最小值，

所以＋θ＝π，θ＝，

所以f(x)＝cos.

由0≤x≤π，得≤x＋≤.

由π≤x＋≤，得≤x≤π，

所以f(x)在[0，π]上的单调递增区间是，故选A.

9．设函数f(x)＝sin＋cos，则(　　)

A．y＝f(x)在上单调递增，其图象关于直线x＝对称

B．y＝f(x)在上单调递增，其图象关于直线x＝对称

C．y＝f(x)在上单调递减，其图象关于直线x＝对称

D．y＝f(x)在上单调递减，其图象关于直线x＝对称

解析：选D　由已知可得f(x)＝sin＝cos 2x，其图象的对称轴方程是x＝(k∈Z)，所以A、C错误；f(x)＝cos 2x的单调递减区间是2kπ≤2x≤π＋2kπ(k∈Z)，即kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，函数f(x)在上单调递减，所以B错误，D正确．

10．已知函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，则ω的取值范围为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　法一：因为x∈，所以ωx＋∈，因为函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间上单调递增，

所以

即

又ω＞0，所以0＜ω≤，选B.

法二：取ω＝1，f＝sin＝－sin ＜0，f＝sin＝sin ＝1，f＝sin＝sin ＝，不满足题意，排除A、C、D，选B.

11．函数f(x)＝sin的图象与函数g(x)的图象关于x＝对称，则g(x)具有的性质是(　　)

A．最大值为1，图象关于直线x＝对称

B．在上单调递减，为奇函数

C．在上单调递增，为偶函数

D．周期为π，图象关于点对称

解析：选B　由题意得，g(x)＝sin＝sin(－2x)＝－sin 2x，最大值为1，而g＝0，图象不关于直线x＝对称，故A错误；当x∈时，2x∈，满足单调递减，显然g(x)也是奇函数，故B正确，C错误；周期T＝＝π，g＝－，故图象不关于点对称，故D错误．

12．(2020届高三·西安摸底)设函数f(x)＝sin，若x1x2＜0，且f(x1)＋f(x2)＝0，则|x2－x1|的取值范围为(　　)

A.  B．

C.  D．

解析：选B　f(x1)＋f(x2)＝0⇔f(x1)＝－f(x2)，|x2－x1|可视为直线y＝m与函数y＝f(x)，函数y＝－f(x)的图象的交点的横坐标的距离，作出函数y＝f(x)与函数y＝－f(x)的图象如图所示，设A，B分别为直线y＝m与函数y＝f(x)、函数y＝－f(x)的图象的两个相邻交点，因为x1x2＜0，且当直线y＝m过f(x)的图象与y轴的交点时，直线为y＝，|AB|＝，所以当直线y＝m向上移动时，线段AB的长度会增加，当直线y＝m向下移动时，线段AB的长度也会增加，所以|x2－x1|＞.故选B.

二、填空题

13．已知函数f(x)＝sin 2x－cos 2x，将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)的图象，则所得函数g(x)的最小正周期为________，g的值为________．

解析：f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，

将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，

可得y＝2sin＝2sin 2x的图象，

再向上平移1个单位长度得到函数y＝g(x)＝2sin 2x＋1的图象，则T＝＝π，g＝2sin＋1＝3.

答案：π　3

14.(2020·重庆七校联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0,0≤φ＜2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________．

解析：由题图易知，函数f(x)的最小正周期T＝4×＝6，所以ω＝＝，所以f(x)＝Asin，将(0,1)代入，可得Asin φ＝1，所以f(2 019)＝f(6×336＋3)＝f(3)＝Asin＝－Asin φ＝－1.

答案：－1

15．设函数f(x)＝cos(ω＞0)．若f(x)≤f对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．

解析：∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，

∴f＝1，

∴·ω－＝2kπ，k∈Z，整理得ω＝8k＋，k∈Z.

又ω＞0，∴当k＝0时，ω取得最小值.

答案：

16．已知ω＞0，在函数y＝sin ωx与y＝cos ωx的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为，则ω的值为________．

解析：令sin ωx＝cos ωx，得sin ωx－cos ωx＝sin＝0，所以ωx－＝kπ，k∈Z，即x＝·.如图，当k＝0时，x1＝，y1＝；当k＝1时，x2＝，y2＝－.由勾股定理，得(x2－x1)2＋(y2－y1)2＝()2，即2＋2＝3.化简得ω2＝π2.又ω＞0，所以ω＝π.

答案：π

B级——拔高小题提能练

1．[多选题]已知函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为π，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则下列命题正确的是(　　)

A．函数y＝g(x)的图象的相邻对称轴之间的距离为

B．函数y＝g(x)的图象关于x＝对称

C．函数y＝g(x)的图象关于点对称

D．函数y＝g(x)在内为单调减函数

解析：选ABD　由T＝＝π，得ω＝2，即f(x)＝sin，将函数y＝f(x)的图象向左平移个单位长度后得到y＝g(x)的图象，则g(x)＝sin＝sin＝cos，函数g(x)的周期T＝＝π，则y＝g(x)的图象的相邻对称轴之间距离为＝，故A正确；g＝cos＝cos 2π＝1，即函数y＝g(x)的图象关于x＝对称，故B正确；g＝cos＝cos＝cos ＝cos ≠0，即函数y＝g(x)的图象不关于点对称，故C错误；当0＜x＜时，＜2x＋＜π，此时g(x)为减函数，故D正确．

2.(2020届高三·河北九校联考)如图直角坐标系中，角α，角β的终边分别交单位圆于A，B两点，若B点的纵坐标为－，且满足S△AOB＝，则sin ＋的值为(　　)

A．－　　　　　　　　 B．－

C.  D．

解析：选D　因为sin β＝－＞－，

所以－＜β＜0.

又0＜α＜，S△AOB＝OA·OBsin∠AOB＝sin∠AOB＝，所以∠AOB＝，

所以∠AOB＝α－β＝，即α＝β＋.

sin＋

＝sincos－sin2＋＝sin α＋cos α

＝sin＝sin＝cos β＝.

3．(2020·湘东六校联考)若函数f(x)＝sin(ω＞0)在区间(π，2π)内没有最值，则ω的取值范围是(　　)

A.∪  B．∪

C.  D．

解析：选B　因为ω＞0，π＜x＜2π，

所以ωπ＋＜ωx＋＜2ωπ＋，

又函数f(x)＝sin在区间(π，2π)内没有最值，

所以函数f(x)＝sin在区间(π，2π)上单调，

所以2ωπ＋－＝ωπ＜π，0＜ω＜1，

则＜ωπ＋＜.

当＜ωπ＋＜时，则2ωπ＋≤，所以0＜ω≤；

当≤ωπ＋＜时，则2ωπ＋≤，所以≤ω≤.故选B.

4.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，若方程f(x)＝a在上有两个不相等的实数根，则a的取值范围是________．

解析：由题中函数f(x)的部分图象可得，函数f(x)的最小正周期为π，最小值为－，所以A＝，ω＝2，所以f(x)＝sin(2x＋φ)，将点的坐标代入得，sin＝－1，因为|φ|≤，所以φ＝，所以f(x)＝sin.若f(x)＝a在上有两个不等的实根，即在上，函数f(x)的图象与直线y＝a有两个不同的交点，结合图象(略)，得－≤a＜.

答案：

5．已知函数f(x)＝sin＋，ω＞0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则f＝________，函数f(x)的单调递增区间为________．

解析：函数f(x)＝sin＋，ω＞0，x∈R，由f(α)＝－，f(β)＝，且|α－β|的最小值为，得＝，即T＝3π＝，所以ω＝.所以f(x)＝sin＋.则f＝sin ＋＝.由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，k∈Z，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ，k∈Z，即函数f(x)的单调递增区间为，k∈Z.

答案：　，k∈Z