2021届二轮复习 小题分层练五 作业（全国通用）
展开小题分层练(五) “985”跨栏练(1)
1．已知复数(i是虚数单位)是纯虚数，则实数a＝( )
A．－2 B．－1
C．0 D．2
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝b2＋c2，则的值为( )
A. B.
C. D.
3．函数y＝|log2(x－1)|的图象大致是( )
4．已知集合A＝{x|2x2－2x＜8}，B＝{x|x2＋2mx－4＜0}，A∩B＝{x|－1＜x＜1}，A∪B＝{x|－4＜x＜3}，则实数m的值为( )
A. B.
C．2 D．3
5．过点P(－2，0)的直线与抛物线C：y2＝4x相交于A，B两点，且|PA|＝|AB|，则点A到抛物线的焦点的距离为( )
A. B.
C. D．2
6．《九章算术》中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形，若该“阳马”的顶点都在同一个球面上，则该球的体积为( )
A.π B．8π
C.π D．24π
7．设A，B，C为三角形的三个内角，且方程(sin B－sin A)·x2＋(sin A－sin C)x＋(sin C－sin B)＝0有两个相等实根，那么( )
A．B＞60° B．B≥60°
C．B＜60° D．B≤60°
8．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，若点(Sn，)在曲线2y2＝x＋1上，则数列{}的前5项和T5＝( )
A．log2 B．log2
C. D.
9．对于平面向量a，b，给出下列四个命题：
命题p1：若a·b＞0，则a与b的夹角为锐角；
命题p2：“|a·b|＝|a||b|”是“a∥b”的充要条件；
命题p3：当a，b为非零向量时，“a＋b＝0”是“|a＋b|
＝||a|－|b||”的充要条件；
命题p4：若|a＋b|＝|b|，则|2b|≥|a＋2b|.
其中的真命题是( )
A．p1，p3 B．p2，p4 C．p1，p2 D．p3，p4
10．已知定义域为R的奇函数f(x)的导函数为f′(x)，当x≠0时，f′(x)＋＞0，若a＝f，b＝－2f(－2)，c＝f，则a，b，c的大小关系正确的是( )
A．a＜c＜b B．b＜c＜a
C．a＜b＜c D．c＜a＜b
11．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a3＝10，S4＝50，则公差d＝________，若Sn取到最大值，则n＝________．
12．已知侧棱与底面垂直的三棱柱的底面是边长为2的正三角形，该三棱柱存在一个与上、下底面及所有侧面都相切的内切球，则该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为________．
13．将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位长度，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，则g(x)的最小正周期为________，初相为________．
14．若展开式中的常数项为5，则a＝________；含x5的项的二次项系数等于________．
15．设函数f(x)＝若f(a)＝－，则a＝________，若方程f(x)－b＝0有三个不同的实数根，则实数b的取值范围是________．
16．已知直线2ax－by＋14＝0(a＞0，b＞0)，且该直线上的点A(－1，2)始终落在圆(x－a＋1)2＋(y＋b－2)2＝25的内部或圆上，则的取值范围是________．
17．已知正实数a，b，c满足2a＋3b＋4c＝4，若对任意的a，b，c，不等式＋≥x＋对任意的x∈[1，2]恒成立，则实数t的最大值为________．
小题分层练(五)
1．解析：选A.＝＋i，由是纯虚数得＝0，所以a＝－2，故选A.
2．解析：选C.因为a2＝b2＋c2，所以由余弦定理，得＝·＝＝＝，故选C.
3．解析：选B.法一：由函数的定义域{x|x＞1}知，只有B项正确，故选B.
法二：将y＝log2x的图象向右平移一个单位长度得y＝log2(x－1)的图象，再将y＝log2(x－1)在x轴下方的图象关于x轴对称后即得B.
4．解析：选B.根据题意知，集合A＝{x|2x2－2x＜8}＝{x|x2－2x－3＜0}＝{x|－1＜x＜3}，因为A∩B＝{x|－1＜x＜1}，A∪B＝{x|－4＜x＜3}，所以结合数轴可知集合B＝{x|－4＜x＜1}，即－4，1是方程x2＋2mx－4＝0的两个根，所以－4＋1＝－2m，解得m＝，故选B.
5．解析：选A.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，因为|PA|＝|AB|，所以又得x1＝，
则点A到抛物线C的焦点的距离为1＋＝.
6.
解析：选C.由题可知，该“阳马”为四棱锥，记为PABCD，将其放入长方体中如图所示，则该“阳马”的外接球直径为长方体的体对角线，易知AD＝AP＝1，AB＝2，所以PC＝＝，所以外接球的半径为＝，故该球的体积为＝××＝π.故选C.
7．解析：选D.由已知，得Δ＝0，即(sin A－sin C)2－4(sin B－sin A)(sin C－sin B)＝0，由正弦定理，得(a－c)2－4(b－a)(c－b)＝0，
展开，得a2＋c2＋2ac＋4b2－4bc－4ab＝0，
所以(a＋c－2b)2＝0，所以a＋c＝2b，所以b＝，
所以cos B＝＝＝－≥－＝.
当且仅当a＝c时，等号成立．因为cos B＞0，所以0°＜B＜90°，
又y＝cos B在(0°，90°)上为减函数，所以B≤60°(当且仅当a＝c时取等号)．
8．解析：选C.因为点(Sn，)在曲线2y2＝x＋1上，所以2an＝Sn＋1.当n≥2，n∈N*时，有2an－1＝Sn－1＋1，两式相减，得2an－2an－1＝Sn－Sn－1＝an，所以当n≥2，n∈N*时，有＝2，当n＝1时，有2a1＝S1＋1，解得a1＝1，所以数列{an}是首项为1，公比为2的等比数列，所以an＝2n－1，Sn＝2n－1，所以＝＝＝－，所以T5＝1－＝.故选C.
9．解析：选B.法一：对于命题p1，当向量a，b共线且同向时，它们的夹角不是锐角，但它们的数量积为正，所以命题p1是假命题．对于命题p2，因为a·b＝|a||b|cos〈a，b〉，又|a·b|＝|a|·|b|，所以|cos〈a，b〉|＝1，所以〈a，b〉＝0°或180°，即a∥b.反之，如果a∥b，容易得到|a·b|＝|a|·|b|，因此“|a·b|＝|a|·|b|”是“a∥b”的充要条件(这里包含a，b中有零向量的情况)，所以命题p2是真命题．对于命题p3，|a＋b|＝||a|－|b||⇔a·b＝－|a||b|⇔cos〈a，b〉＝－1⇔a与b反向⇔a＝λb(λ＜0)，所以“a＋b＝0”是“|a＋b|＝||a|－|b||”的充分不必要条件，所以命题p3是假命题．对于命题p4，由|a＋b|＝|b|得，a2＋2a·b＝0，即2a·b＝－a2，故|a＋2b|2＝a2＋4b2＋4a·b＝a2＋4b2－2a2＝4b2－a2≤4b2＝|2b|2，即|2b|≥|a＋2b|，所以命题p4是真命题．
法二：对于命题p1，当向量a，b共线且同向时，它们的夹角不是锐角，但它们的数量积为正，所以命题p1是假命题，排除A、C.根据B、D可知，命题p4是真命题，故只需要判断命题p2即可．对于命题p2，因为a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉，又|a·b|＝|a||b|⇔|cos〈a，b〉|＝1⇔〈a，b〉＝0°或180°⇔a∥b，所以命题p2是真命题，故选B.
10．解析：选A.设h(x)＝xf(x)，所以h′(x)＝f(x)＋xf′(x)，因为y＝f(x)是定义在实数集R上的奇函数，所以h(x)是定义在实数集R上的偶函数，
当x＞0时，h′(x)＝f(x)＋xf′(x)＞0，所以此时函数h(x)单调递增．
因为a＝f＝h，b＝－2f(－2)＝2f(2)＝h(2)，c＝f＝h＝h(－ln 2)＝h(ln 2)，
又2＞ln 2＞，所以b＞c＞a.故应选A.
11．解析：由已知条件可得S4＝a3－2d＋a3－d＋a3＋a3＋d＝4a3－2d＝50，又a3＝10，
所以d＝－5.可得a4＝5，a5＝0，a6＝－5，…，故当n＝4或5时，Sn取到最大值．
答案：－5 4或5
12．解析：由题意知，三棱柱的内切球的半径r等于底面内切圆的半径，即r＝×2＝1，此时三棱柱的高为2r＝2，底面外接圆的半径为2×＝2，所以三棱柱的外接球的半径R＝＝.所以该三棱柱的外接球与内切球的半径之比为＝∶1.
答案：∶1
13．解析：函数g(x)＝2sin，故最小正周期为π，初相为.
答案：π
14．解析：展开式的通项为Tk＋1＝a5－k·Cx10－k，当k＝4时，其常数项为5a＝5，所以a＝1；又k＝2时，含x5项的系数为C＝10.
答案：1 10
15．解析：若－4a2＝－，解得a＝－，
若a2－a＝－，解得a＝，故a＝－或.当x＜0时，f(x)＝－4x2＜0，
当x≥0时，f(x)＝－，f(x)的最小值是－，若方程f(x)－b＝0有三个不同的实数根，则直线y＝b与y＝f(x)的图象有3个交点，故由图象可知b∈.
答案：－或
16．解析：将点A(－1，2)代入2ax－by＋14＝0，可得a＋b＝7，由于A(－1，2)始终落在所给圆的内部或圆上，所以a2＋b2≤25.由解得或这说明点(a，b)在以B(3，4)和C(4，3)为端点的线段上运动，所以的取值范围是.
答案：
17．解析：因为正实数a，b，c满足2a＋3b＋4c＝4，所以＋＝＋－2＝(＋)(2a＋2b＋b＋4c)－2＝[1＋4＋＋]－2≥(当且仅当＝时取等号)．要使不等式＋≥x＋对任意的x∈[1，2]恒成立，则只需≥x＋对任意的x∈[1，2]恒成立，即解得t≤1.所以实数t的最大值为1.
答案：1
