2021届二轮复习 小题分层练四 作业（全国通用）
展开小题分层练(四) 本科闯关练(4)
1．已知集合P＝{x|x≥0}，Q＝，则P∩(∁RQ)＝( )
A．(－∞，2) B．(－∞，－1]
C．(－1，0) D．[0，2]
2．已知复数z＝，其中i为虚数单位，则|z|＝( )
A. B.
C. D．2
3．已知a，b∈R，条件p：“a>b”，条件q：“2a>2b－1”，则p是q的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系．在如图所示的正五角星中，以A，B，C，D，E为顶点的多边形为正五边形，且＝.下列关系中正确的是( )
A.－＝ B.＋＝
C.－＝ D.＋＝
5．已知sin(x－2 017π)＝，x∈，则tan 2x＝( )
A. B．－
C. D．4
6．若正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，则x＋2y的最小值为( )
A．3 B．4
C. D.
7．已知等比数列{an}的公比为q，则数列{an＋an＋1}( )
A．一定是等比数列
B．可能是等比数列，也可能是等差数列
C．一定是等差数列
D．一定不是等比数列
8．已知函数f(x)＝x－4＋，x∈(0，4)，当x＝a时，f(x)取得最小值b，则在直角坐标系中，函数g(x)＝的图象可能是( )
9.如图，已知三棱锥DABC，记二面角CABD的平面角是θ，直线DA与平面ABC所成的角是θ1，直线DA与BC所成的角是θ2，则( )
A．θ≥θ1 B．θ≤θ1
C．θ≥θ2 D．θ≤θ2
10．定义两种运算：a⊕b＝，a⊗b＝，则函数f(x)＝为( )
A．奇函数 B．偶函数
C．奇函数且为偶函数 D．非奇函数且非偶函数
11．已知2a＝3，则8a＝________，log26－a＝________．
12．△ABC中，∠BAC＝，AB＝2，AC＝1，＝2，则·＝________．
13．已知x，y满足，若z＝x＋y的最大值为6，则m＝________；z1＝2x＋y的最小值为________．
14．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是________，表面积是________．
15．已知椭圆＋＝1(0＜b＜2)与y轴交于A，B两点，点F为该椭圆的一个焦点，则△ABF面积的最大值为________．
16．袋中有大小相同的3个红球，2个白球，1个黑球．若不放回摸球，每次取1球，摸取3次，则恰有两次是红球的概率为________；若有放回摸球，每次取1球，摸取3次，则摸到红球次数的期望为________．
17．已知数列{an}共16项，且a1＝1，a8＝4.记关于x的函数fn(x)＝x3－anx2＋(a－1)x，n∈N*.若x＝an＋1(1≤n≤15)是函数fn(x)的极值点，且曲线y＝f8(x)在点(a16，f8(a16))处的切线的斜率为15，则满足条件的数列{an}的个数为________．
小题分层练(四)
1．解析：选D.由题意可知Q＝{x|x≤－1或x＞2}，则∁RQ＝{x|－1＜x≤2}，所以P∩(∁RQ)＝{x|0≤x≤2}．故选D.
2．C
3．解析：选A.由条件p：“a>b”，再根据函数y＝2x是增函数，可得2a>2b，所以2a>2b－1，故条件q：“2a>2b－1”成立，故充分性成立．
但由条件q：“2a>2b－1”成立，不能推出条件p：“a>b”成立，例如由20>20－1成立，不能推出0>0，故必要性不成立．
故p是q的充分不必要条件，故选A.
4．解析：选A.由题意，知－＝－＝，＝＝，所以＝，故A正确；＋＝－＝＝，故B错误；－＝－＝＝，故C错误；因为＋＝＋，＝＝－，若＋＝成立，则＝0，不合题意，故D错误．故选A.
5．解析：选C.因为sin(x－2 017π)＝，所以sin x＝－，又x∈，所以cos x＝－，所以tan x＝，所以tan 2x＝＝.
6．解析：选B.因为正实数x，y满足x＋2y＋2xy－8＝0，所以x＋2y＋－8≥0，
设x＋2y＝t＞0，所以t＋t2－8≥0，所以t2＋4t－32≥0，即(t＋8)(t－4)≥0，所以t≥4，故x＋2y的最小值为4.
7．解析：选B.由题意知an＝a1qn－1，an＋1＝a1qn，an＋an＋1＝a1qn－1＋a1qn＝a1qn(＋1)，an＋1＋an＋2＝a1qn＋a1qn＋1＝a1qn(1＋q)．当q＝－1时，数列{an＋an＋1}为一个各项均为0的常数列，是一个等差数列；当q≠－1时，＝＝q，所以数列{an＋an＋1}是等比数列．综上可知，数列{an＋an＋1}既可能是等差数列，也可能是等比数列．
8．解析：选B.f(x)＝x－4＋＝x＋1＋－5≥2－5＝1，当且仅当x＋1＝，即x＝2时等号成立，所以a＝2，b＝1，则g(x)＝.g(x)的图象可以看作是y＝的图象向左平移一个单位长度得到的，选项B符合要求．
9．A
10．解析：选A.由a⊕b＝ 和a⊗b＝得f(x)＝＝＝，其定义域为[－2，0)∪(0，2]，所以f(x)＝＝－，所以f(x)是奇函数．
11．解析：根据指数运算法则，8a＝(23)a＝(2a)3＝33＝27；根据对数定义，a＝log23，所以log26－a＝log26－log23＝log2(6÷3)＝log22＝1.
答案：27 1
12．解析：由＝2得＝(＋2)．
所以·＝(＋2)·(－)＝(2＋·－22)
＝＝－.
答案：－
13．解析：
作出不等式组表示的平面区域，由图可知当直线z＝x＋y过点A(m，m)时，z取到最大值6，故m＝3；当直线z1＝2x＋y过点B(－6，3)时，z1取到最小值－9.
答案：3 －9
14．解析：容易看出该几何体为四棱锥，其体积为V＝××(4＋2)×2×2＝4，表面积为S＝×[2×2＋4×2＋(4＋2)×2＋2×2＋2·2]＝12＋2＋2.
答案：4 12＋2＋2
15．解析：不妨设点F的坐标为(，0)，而|AB|＝2b，所以S△ABF＝×2b×＝b＝≤＝2(当且仅当b2＝4－b2，即b2＝2时取等号)，故△ABF面积的最大值为2.
答案：2
16．解析：P＝＝；记摸到红球次数为X，则X～B，所以E(X)＝3×＝.
答案：
17．解析：f′n(x)＝x2－2anx＋a－1＝[x－(an＋1)][x－(an－1)]．令f′n(x)＝0，得x＝an＋1或x＝an－1，所以an＋1＝an＋1或an－1＝an＋1(1≤n≤15)，所以|an＋1－an|＝1(1≤n≤15)，又f′8(x)＝x2－8x＋15，所以a－8a16＋15＝15，解得a16＝0或a16＝8.
当a16＝0时，a8－a1＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝3，
得ai＋1－ai(1≤i≤7，i∈N*)的值有2个为－1，5个为1；
由a16－a8＝(a9－a8)＋(a10－a9)＋…＋(a16－a15)＝－4，
得ai＋1－ai(8≤i≤15，i∈N*)的值有6个为－1，2个为1.
所以此时数列{an}的个数为CC＝588，
同理可得当a16＝8时，数列{an}的个数为CC＝588.
综上，数列{an}的个数为2CC＝1 176.
答案：1 176
