2021届二轮复习 小题分层练三 作业（全国通用）

小题分层练(三)　本科闯关练(3)

1．已知i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若(1－i)z＝2，则z为(　　)

A．1＋i　　　 B．1－i　　　

C．2＋i　　　 D．2－i

2.

设全集为R，集合M＝

，N＝{x|y＝lg(x2＋3x)}，则韦恩图中阴影部分表示的集合为(　　)

3．函数y＝(x－1)2(x－2)ex(其中e为自然对数的底数)的图象可能是(　　)

4．设O是空间中的一点，a，b，c是空间中三条不同的直线，α，β是空间中两个不同的平面，则下列命题中，逆命题不正确的是(　　)

A．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥a，c⊥b，则c⊥α

B．当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若a∥β，b∥β，则α∥β

C．当b⊂α时，若b⊥β，则α⊥β

D．当b⊂α，且c⊄α时，若c∥α，则b∥c

5．设a＝log37，b＝21.1，c＝0.83.1，则(　　)

A．b＜a＜c   B．a＜c＜b

C．c＜b＜a   D．c＜a＜b

6．已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，ω>0，若f＝2，f(π)＝0，f(x)在上具有单调性，那么ω的取值共有(　　)

A．6个    B．7个 

C．8个    D．9个

7．已知直线y＝x－2，则直线被椭圆＋y2＝1截得的弦长是(　　)

A.     B. 

C.     D.

8．在三棱锥S­ABC中，SA⊥平面ABC，且∠ACB＝30°，AC＝2AB＝2，SA＝1，则该三棱锥的外接球的体积为(　　)

A.π    B．13π 

C.π    D.π

9．若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx＋分为面积比为1∶2的两部分，则k的一个值为(　　)

A.   B. 

C．1   D.

10．已知函数f(x)＝e|x－2|，其中e＝2.718 28…是自然对数的底数．设有2 018个不同的数满足1≤x1＜x2＜…＜x2 018≤4，令F＝|f(x1)－f(x2)|＋|f(x2)－f(x3)|＋…＋|f(x2 017)－f(x2 018)|，则(　　)

A．Fmin≥8.64   B．7.99＜F＜8.64

C．7.99＜Fmin＜8.64   D．7.99＜Fmax＜8.64

11．为了得到函数y＝4×的图象，可以把函数y＝的图象向________平移________个单位长度．

12．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点，则f(x)的解析式为f(x)＝________，lg[f(2)]＋lg[f(5)]＝________，方程f(x)＝x的根有________个．

13．双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，离心率为，则该双曲线的标准方程为________，渐近线方程为________．

14．已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a＋b|＝，则|b|＝________．

15．在△ABC中，C＝45°，AB＝6，D为BC边上的点，且AD＝5，BD＝3，则cos B＝________，AC＝________．

16．已知圆C：(x－3)2＋(y－5)2＝5，直线l过圆心且交圆C于A，B两点，交y轴于P点，若2＝，则直线l的斜率k＝________．

17．某校组织数学知识竞答赛，要求每位参赛的同学回答5道题．已知张明同学参赛，他答对每道题的概率均为，且每道题答对与否互不影响．计分规则：答对不超过3道题时，每答对1道得1分，超过3道题时，每多答对1道得2分，每答错1道得0分．设张明答完5道题的总得分为ξ，则E(ξ)＝________．

小题分层练(三)

1．解析：选B.依题意得z＝＝＝1＋i，所以z＝1－i.

2．解析：选C.因为－≤x≤，y＝2x＋1，所以0≤y≤2，所以M＝{y|0≤y≤2}，因为x2＋3x＞0，所以x＞0或x＜－3，所以N＝{x|x＞0或x＜－3}，韦恩图中阴影部分表示的集合为(∁RM)∩N，又∁RM＝{x|x＜0或x＞2}，所以(∁RM)∩N＝{x|x＜－3或x＞2}，选C.

3．解析：选A.由题意，1，2是函数的两个零点，f(3)＞0，f(1.5)＜0，故选A.

4．解析：选C.对于A，逆命题为当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若c⊥α，则c⊥a，c⊥b，由直线与平面垂直的性质可知逆命题正确；对于B，逆命题为当a∩b＝O且a⊂α，b⊂α时，若α∥β，则a∥β，b∥β，由平面与平面平行的性质可知逆命题正确；对于C，逆命题为当b⊂α时，若α⊥β，则b⊥β，显然逆命题不正确；对于D，逆命题为当b⊂α，且c⊄α时，若b∥c，则c∥α，由直线与平面平行的判定定理可知逆命题正确，故选C.

5．解析：选D.1＝log33＜a＝log37＜log39＝2，b＝21.1＞21＝2，c＝0.83.1＜0.80＝1，所以c＜a＜b.

6．解析：选D.由f＝2，f(π)＝0，知π－＝＋(n∈N)，即＝·(n∈N)，所以ω＝(n∈N)．因为f(x)在上具有单调性，所以≥－，即T＝≥，所以ω≤12，即≤12，解得n≤.因为n∈N，所以n＝0，1，2，3，4，5，6，7，8，所以ω的取值共有9个，选D.

7．解析：选C.设直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立，

化简得5x2－16x＋12＝0，所以x1＋x2＝，x1·x2＝.

所以|AB|＝

＝＝.

8．解析：选D.依题得AC＝2，AB＝，∠ACB＝30°，由余弦定理得BC＝3，由勾股定理知BC⊥AB，而SA⊥平面ABC，所以SA⊥AB，故可将三棱锥S­ABC补成为长、宽、高分别为3，，1的长方体，则长方体的体对角线即该三棱锥的外接球直径，为＝，故该三棱锥外接球的体积为π×＝π.

9.

解析：选C.作出不等式组对应的平面区域如图：

则A(0，4)，B，由，

解得C(1，1)，

则三角形ABC的面积S＝××1＝，因为平面区域被直线y＝kx＋分成面积比是1∶2的两部分，

所以面积较小的面积为×＝，

因为直线y＝kx＋过定点B，

若△ABD的面积为，则S＝×xD＝，解得xD＝，由，解得D，此时BD的斜率k＝＝5.若△ABE的面积为×＝，

则S＝××xE＝，xE＝，

由，解得E，此时BE的斜率k＝1.故k＝5或k＝1.故选C.

10．解析：选D.函数f(x)＝e|x－2|的对称轴为x＝2，观察其图象，|f(xi)－f(xi＋1)|的几何意义为图象上两点纵向的距离，故F的最大值为|f(1)－f(2)|＋|f(4)－f(2)|＝e2＋e－2，故选D.

11．右　2

12．解析：依题意，设f(x)＝xα，则有f＝＝＝，所以α＝，f(x)＝x，lg[f(2)]＋lg[f(5)]＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝.f(x)＝x，即x＝x，解得x＝0或x＝1，故有2个根．

答案：x　　2

13．解析：由题意得2a＝4，＝，所以a＝2，c＝2.b＝＝2.

因为双曲线的焦点在x轴上，所以双曲线的标准方程为－＝1.渐近线方程为y＝±x.

答案：－＝1　y＝±x

14．解析：由|2a＋b|＝，得|2a＋b|2＝10，即4a2＋4a·b＋b2＝10，即4＋4|b|·＋|b|2＝10，解得|b|＝.

答案：

15．解析：在△ABD中，由余弦定理得cos B＝＝，进而sin B＝，在△ABC中由正弦定理得＝，解得AC＝.

答案：　

16．解析：依题意得，点A是线段PB的中点，|PC|＝|PA|＋|AC|＝3.过圆心C(3，5)作y轴的垂线，垂足为C1，则|CC1|＝3，|PC1|＝＝6.记直线l的倾斜角为θ，则有|tan θ|＝＝2，即k＝±2.

答案：±2

17．解析：由题意可知ξ的所有可能取值为0，1，2，3，5，7.P(ξ＝0)＝C(1－)5＝，

P(ξ＝1)＝C()1×(1－)4＝，

P(ξ＝2)＝C()2×(1－)3＝，

P(ξ＝3)＝C()3×(1－)2＝，

P(ξ＝5)＝C()4×(1－)1＝，

P(ξ＝7)＝C()5＝，

故ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＋5×＋7×＝.

答案：