2021届二轮复习 小题分层练六 作业（全国通用）

小题分层练(六)　“985”跨栏练(2)

1．已知集合A＝{x|x2＋a≤(a＋1)x，a∈R}，若存在a∈R，使得集合A中所有整数元素之和为28，则实数a的取值范围是(　　)

A．[9，10)　　  B．[7，8)　　

C．(9，10)　　  D．[7，8]

2．已知偶函数f(x)，当x∈[0，2)时，f(x)＝2sin x，当x∈[2，＋∞)时，f(x)＝log2x，则f＋f(4)＝(　　)

A．－＋2   B．1

C．3   D.＋2

3．已知函数y＝sin ωx(ω＞0)在区间上为增函数，且图象关于点(3π，0)对称，则ω的取值集合为(　　)

A.   B.

C.   D.

4．若实数x、y满足且z＝2x＋y的最小值为4，则实数b的值为(　　)

A．1   B．2 

C.   D．3

5．在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之比为64，则x3的系数为(　　)

A．15   B．45 

C．135   D．405

6．在△ABC中，|＋|＝|－|，AB＝2，AC＝1，E，F为BC的三等分点，则·＝(　　)

A.   B. 

C.   D.

7．已知实数a，b满足2a＝3，3b＝2，则函数f(x)＝ax＋x－b的零点所在的区间是(　　)

A．(－2，－1)   B．(－1，0) 

C．(0，1)   D．(1，2)

8．已知函数y＝f(x)的定义域为R，当x＜0时，f(x)＞1，且对任意的实数x、y∈R，等式f(x)f(y)＝f(x＋y)恒成立．若数列{an}满足a1＝f(0)，且f(an＋1)＝(n∈N*)，则a2 018的值为(　　)

A．4 034   B．4 035 

C．4 304   D．3 043

9．设a<0，(3x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为(　　)

A.   B.

C.   D.

10．如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是(　　)

A．BM是定值

B．点M在某个球面上运动

C．存在某个位置，使DE⊥A1C

D．存在某个位置，使MB∥平面A1DE

11．函数y＝2sin－1，x∈的值域为________，并且取最大值时x的值为________．

12．已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点E在C的准线上，且在x轴上方，线段EF的垂直平分线与C的准线交于点Q，与C交于点P，则点P的坐标为________．

13．已知数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，且An＝an＋bn，Bn＝anbn.若A1＝1，A2＝3，则An＝________；若{Bn}为等差数列，则d1d2＝________．

14．若对任意x，y∈[0，＋∞)，不等式4ax≤ex＋y－2＋ex－y－2＋2恒成立，则实数a的最大值是________．

15．已知定义在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数f(x)的导函数为f′(x)，且f(1)＝0，当x＜0时，f′(x)＋＞0，则f(－1)＝________，使得f(x)＞0成立的x的取值范围是________．

16．正方形ABCD的边长为4，点E，F分别是边BC，CD的中点，沿AE，EF，FA折成一个三棱锥B­AEF(使点B，C，D重合于点B)，则三棱锥B­AEF的外接球的表面积为________．

17．已知△ABC的三边a，b，c所对的角分别为A，B，C.若a2＋2b2＝c2，则＝________，tan B的最大值为________．

小题分层练(六)

1．解析：选B.注意到不等式x2＋a≤(a＋1)x，即(x－a)·(x－1)≤0，因此该不等式的解集中必有1与a.要使集合A中所有整数元素之和为28，必有a＞1.注意到以1为首项、1为公差的等差数列的前7项和为＝28，因此由集合A中所有整数元素之和为28得7≤a<8，即实数a的取值范围是[7，8)．

2．解析：选D.因为f＝f＝2sin＝，f(4)＝log24＝2，所以f＋f(4)＝＋2，故选D.

3．解析：选A.由题意知即其中k∈Z，

则ω＝、ω＝或ω＝1.

4.

解析：选D.由可行域可知目标函数z＝2x＋y在直线2x－y＝0与直线y＝－x＋b的交点处取得最小值4，所以4＝2×＋，解得b＝3，所以选D.

5．解析：选C.由题意＝64，n＝6，Tr＋1＝Cx6－r·＝3rCx6－，令6－＝3，r＝2，32C＝135.

6.

解析：选B.由|＋|＝|－|，化简得·＝0，又因为AB和AC为三角形的两条边，不可能为0，所以与垂直，所以△ABC为直角三角形．以AC为x轴，以AB为y轴建立平面直角坐标系，如图所示，则A(0，0)，B(0，2)，C(1，0)，由E，F为BC的三等分点知E，F(，)，所以＝，＝(，)，所以·＝×＋×＝.

7．解析：选B. 因为2a＝3，3b＝2，所以a＞1，0＜b＜1，又f(x)＝ax＋x－b，所以f(－1)＝－1－b＜0，f(0)＝1－b＞0，从而由零点存在性定理可知f(x)在区间(－1，0)上存在零点．

8．解析：选B.根据题意，不妨设f(x)＝，则a1＝f(0)＝1，因为f(an＋1)＝，所以an＋1＝an＋2，所以数列{an}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以an＝2n－1，所以a2 018＝4 035.

9．解析：选A.因为(3x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，所以3x2＋a≥0，2x＋b≥0或3x2＋a≤0，2x＋b≤0，

①若2x＋b≥0在(a，b)上恒成立，则2a＋b≥0，即b≥－2a>0，此时当x＝0时，3x2＋a＝a≥0不成立，

②若2x＋b≤0在(a，b)上恒成立，则2b＋b≤0，即b≤0，

若3x2＋a≤0在(a，b)上恒成立，则3a2＋a≤0，即－≤a≤0，故b－a的最大值为.

10．解析：选C.延长CB至F，使CB＝BF，连接A1F，可知MB为△A1FC的中位线，即MB＝A1F，因为在翻折过程中A1F为定值，所以BM为定值．点A1绕DE的中点、以定长为半径做圆周运动，点M运动的轨迹与点A1相似，也是圆周运动，所以点M在某个球面上运动．由题知DE⊥EC，若DE⊥A1C，则直线DE⊥平面ECA1，于是∠DEA1＝90°，又因为∠DAE＝90°，即∠DA1E＝90°，此时在一个三角形中有两个直角，所以DE不可能垂直于A1C.因为MB綊A1F，由图可知A1F在平面A1DE内，所以存在某个位置使得MB∥平面A1DE.

11．解析：因为0≤x≤，所以≤2x＋≤π，所以0≤sin≤1，所以－1≤2sin－1≤1，即值域为[－1，1]，

且当sin＝1，即x＝时，y取最大值．

答案：[－1，1]　

12．解析：由题意，得抛物线的准线方程为x＝－1，F(1，0)．设E(－1，y)，因为PQ为EF的垂直平分线，所以|EQ|＝|FQ|，即y－＝ ，解得y＝4，所以kEF＝＝－2，kPQ＝，

所以直线PQ的方程为y－＝(x＋1)，即x－2y＋4＝0.

由解得即点P的坐标为(4，4)．

答案：(4，4)

13．解析：因为数列{an}，{bn}是公差分别为d1，d2的等差数列，且An＝an＋bn，

所以数列{An}是等差数列，又A1＝1，A2＝3，

所以数列{An}的公差d＝A2－A1＝2.

则An＝1＋2(n－1)＝2n－1；

因为Bn＝anbn，且{Bn}为等差数列，

所以Bn＋1－Bn＝an＋1bn＋1－anbn＝(an＋d1)(bn＋d2)－anbn＝and2＋bnd1＋d1d2＝[a1＋(n－1)d1]d2＋[b1＋(n－1)d2]d1＋d1d2＝a1d2＋b1d1－d1d2＋2d1d2n为常数．

所以d1d2＝0.

答案：2n－1　0

14．解析：因为ex＋y－2＋ex－y－2＋2＝ex－2(ey＋e－y)＋2≥2(ex－2＋1)，再由2(ex－2＋1)≥4ax，可得2a≤，令g(x)＝，则g′(x)＝，可得g′(2)＝0，且在(2，＋∞)上g′(x)＞0，在(0，2)上g′(x)＜0，故g(x)的最小值为g(2)＝1，于是2a≤1，即a≤.

答案：

15．解析：因为f(x)为(－∞，0)∪(0，＋∞)上的偶函数，所以f(－1)＝f(1)＝0.当x＜0时，f′(x)＋＝＞0，所以xf′(x)＋f(x)＜0，即(xf(x))′＜0.令g(x)＝xf(x)，可知g(x)在(－∞，0)上单调递减，且g(－1)＝－f(－1)＝0.当x＜－1时，xf(x)＞0，

所以f(x)＜0；当－1＜x＜0时，xf(x)＜0，

所以f(x)＞0.由对称性知，f(x)＞0的解集为(－1，0)∪(0，1)．

答案：0 　(－1，0)∪(0，1)

16．解析：沿AE，EF，FA折成一个三棱锥B­AEF，则三棱锥的三条侧棱两两垂直，故四面体B­AEF的外接球的直径为以BA，BE，BF为棱的长方体的体对角线，则长方体的体对角线2R＝＝＝2，所以R＝，故四面体B­AEF的外接球的表面积S＝4π×()2＝24π.

答案：24π

17．解析：因为a2＋2b2＝c2＞a2＋b2，

所以C为钝角．

所以＝＝＝＝＝－3.

所以tan C＝－3tan A，

则tan B＝－tan(A＋C)

＝＝

＝≤＝，

当且仅当tan A＝时取等号，

故tan B的最大值为.

答案：－3