2021届二轮复习 小题分类练四 作业（全国通用）
展开小题分类练(四) 综合计算类(2)
1．若U＝{1，4，6，8，9}，A＝{1，6，8}，B＝{4，6}，则A∩∁UB等于( )
A．{4，6} B．{1，8}
C．{1，4，6，8} D．{1，4，6，8，9}
2．已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ＝( )
A．－4 B．－3
C．－2 D．－1
3．已知等差数列{an}中，a2＝7，a4＝15，则前10项的和S10＝( )
A．100 B．210
C．380 D．400
4．函数f(x)＝ex－x(e为自然对数的底数)在区间[－1，1]上的最大值是( )
A．1＋ B．1
C．e＋1 D．e－1
5．已知sin φ＝，且φ∈，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，则f的值为( )
A．－ B．－
C. D.
6．已知直线y＝2(x－1)与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，点M(－1，m)，若·＝0，则m＝( )
A. B.
C. D．0
7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，则BC边上的高等于( )
A. B.
C. D.
8．如图，
△AOD是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形OBD是四分之一圆面，点P在线段AB上，PQ⊥AB，且PQ交AD或交弧DB于点Q，设AP＝x(0＜x＜2)，图中阴影部分表示的平面图形APQ(或APQD)的面积为y，则函数y＝f(x)的大致图象是( )
9．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A(－4，0)和C(4，0)，顶点B在椭圆＋＝1上，则＝( )
A. B.
C. D.
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处的极值为10，则数对(a，b)为( )
A．(－3，3) B．(－11，4)
C．(4，－11) D．(－3，3)或(4，－11)
11．在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝3an(n∈N*)，则a3＝________，S5＝________．
12．若函数f(x)＝2sin2(ωx)＋2sin(ωx)sin(ωx＋)－1(ω＞0)的最小正周期为1，则ω＝________，函数f(x)在区间上的值域为________．
13．已知x，y满足约束条件则目标函数z＝2x＋y的最小值为________；若对任意的x，y，a≤2x＋y≤b恒成立，则b－a的最小值是________．
14．设双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的方程为____________，斜率为________．
15．已知f(x)，g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f′(x)g(x)＞f(x)g′(x)，且f(x)＝axg(x)(a＞0，且a≠1)，＋＝.若数列的前n项和Sn大于62，则n的最小值为________．
16．函数f(x)＝1＋logax(a>0，a≠1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx＋ny－2＝0上，其中mn>0，则＋的最小值为________．
17．已知三棱柱ABCA1B1C1的侧棱垂直于底面，所有棱长都相等，若该三棱柱的顶点都在球O的表面上，且球O的表面积为7π，则三棱柱ABCA1B1C1的体积为________．
小题分类练(四)
1．解析：选B.因为U＝{1，4，6，8，9}，A＝{1，6，8}，B＝{4，6}，所以∁UB＝{1，8，9}，因此A∩∁UB＝{1，8}，故选B.
2．解析：选B.因为m＋n＝(2λ＋3，3)，m－n＝(－1，－1)，由(m＋n)⊥(m－n)，可得(m＋n)·(m－n)＝(2λ＋3，3)·(－1，－1)＝－2λ－6＝0，解得λ＝－3.
3．解析：选B.d＝＝＝4，所以a1＝7－4＝3，所以S10＝10×3＋×4＝210，故选B.
4．解析：选D.f′(x)＝ex－1，令f′(x)＝0，得x＝0.
又f(0)＝e0－0＝1，f(1)＝e－1>1，f(－1)＝＋1>1，而e－1－＝e－－2＝>0，所以f(x)max＝f(1)＝e－1.
5．解析：选B.由函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于，得到其最小正周期为π，所以ω＝2，f＝sin＝cos φ＝－＝－.
6．解析：选B.由题意解得A(2，2)，B(，－)，因为M(－1，m)，且·＝0，所以2m2－2m＋1＝0，解得m＝.
7．解析：选B.由余弦定理得AB2＋4－2·AB×2×cos 60°＝7，解得AB＝3，或AB＝－1(舍去)，设BC边上的高为x，由三角形面积关系得·BC·x＝AB·BC·sin 60°，解得x＝，故选B.
8．解析：选A.观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：①当0＜x≤1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快；②当1＜x＜2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢．分析四个选项中的图象，只有选项A符合条件，故选A.
9．解析：选D.椭圆＋＝1中，a＝5，b＝3，c＝4，故A(－4，0)和C(4，0)是椭圆的两个焦点，所以|AB|＋|BC|＝2a＝10，|AC|＝8，由正弦定理得
＝＝＝.
10．解析：选C.f′(x)＝3x2＋2ax＋b，依题意可得即消去b可得a2－a－12＝0，解得a＝－3或a＝4，故或当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，这时f(x)无极值，不合题意，舍去，故选C.
11．解析：由题意得，数列{an}是首项为1，公比为3的等比数列，
所以a3＝a1q2＝1×32＝9，S5＝＝121.
答案：9 121
12．解析：f(x)＝2sin2(ωx)＋2sin(ωx)sin(ωx＋)－1＝sin(2ωx)－cos(2ωx)＝2sin(2ωx－)，所以＝1，所以ω＝π，
所以f(x)＝2sin(2πx－)．
当x∈[－，]时，2πx－∈[－，]，所以值域为[－2，]．
答案：π [－2，]
13．解析：
画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，结合目标函数z＝2x＋y可知，当直线y＝－2x＋z过直线x＋2y＝0和x－2y＋2＝0的交点(－1，)时，z最小，且zmin＝－；当直线y＝－2x＋z过直线x－y＝0和x－2y＋2＝0的交点(2，2)时，z最大，且zmax＝6，所以b－a≥.
答案：－
14．解析：由题设易知A1(－a，0)，A2(a，0)，不妨设B，C.因为 A1B⊥A2C，所以·＝－1，整理得a＝b.因为渐近线方程为y＝±x，即y＝±x，所以渐近线的斜率为±1.
答案：y＝±x ±1
15．解析：因为f(x)＝axg(x)，所以＝ax，因为f′(x)g(x)＞f(x)g′(x)，所以′＝(ax)′＝＝axln a＞0，
即ln a＞0，所以a＞1.因为＋＝，所以a＋a－1＝，所以a＝2，所以＝2x，所以＝2n，所以数列为等比数列，所以Sn＝＝2n＋1－2＞62，所以n＋1＞6，即n＞5，所以n的最小值为6.
答案：6
16．解析：由题意可得函数f(x)＝1＋logax(a>0，a≠1)的图象恒过定点A(1，1)，又点A在直线mx＋ny－2＝0上，得m＋n＝2，所以＋＝(m＋n)＝1＋＋≥2，当且仅当＝时取等号，可得m＝n＝1，所以＋的最小值为2.
答案：2
17．解析：如图，设球的半径为R，
棱柱的棱长为a，N，M分别是上、下底面的中心，由题意知，外接球球心O为MN的中点，则OA＝R.由4πR2＝7π，得OA＝R＝.易得AM＝a，OM＝a，在Rt△OAM中，由勾股定理，解得a＝，所以该三棱柱的体积为×()2×＝.
答案：
