2021届二轮（理科数学） 数列 专题卷（全国通用）
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2021届二轮（理科数学） 数列 专题卷（全国通用）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、数列的一个通项公式为（ ）
A. B.
C. D.
2、已知等差数列｛an｝的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于( )
A.－10 B.－8 C.－6 D.－4
3、已知，（），则数列的通项公式是 （ ）
A． B． C． D．
4、是首项=1，公差为=3的等差数列，如果=2005，则序号等于 ( )
A 667 B 668 C 669 D 670
5、等差数列中,,,其前n项和,则 ( )
A.9 B.10 C.11 D.12
6、
若等差数列{an}的前17项和S17＝51，则a5－a7＋a9－a11＋a13等于( )
A. 3 B. 6 C. 17 D. 51
7、已知各项均为正数的等比数列{}，·=16，则··的值( )
A．16 B．32 C．48 D．64
8、等差数列中,,则的值为( )
A．130 B．260 C．156 D．168
9、已知数列为等差数列，且，，则（ ）
A． B． C． D．
10、已知无穷等差数列中，它的前n项和，且，那么
A．中最大 B．中或最大
C．当时， D．一定有
11、设等差数列满足，，是数列的前n项和，则使得最大的自然数是（ ）
A．9 B． C． D．
12、已知等差数列的前项和为，且，则数列的第三项为( )
A. 3 B. -4 C. -5 D. 6
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、已知数列中=1，其前n项的和为，且点在直线l：上．则 =________________．
14、设实数a1，d为等差数列{an}的首项和公差．若a6=﹣，则d的取值范围是 ．
15、在等差数列中，已知，则 ．
16、将全体正偶数排成一个三角形数阵：
根据以上排列规律，数阵中第行的从左至右的第3个数是__________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题满分10分）已知在等比数列中，若 求的值
18、（本小题满分12分）已知在等差数列中，若，求的值。
19、（本小题满分12分）设是首项为，公差为的等差数列（），是前项和.记，，其中为实数.
（1）若，且，，成等比数列，证明：；
（2）若是等差数列，证明.
20、（本小题满分12分）已知数列是一个等差数列，且，。
（Ⅰ）求的通项；（Ⅱ）求前n项和的最大值．
21、（本小题满分12分）在－1与7之间顺次插入三个数a，b，b使这五个数成等差数列，求此数列．
22、（本小题满分12分）已知数列中，，且（且）.
（1）求的值；
（2）求通项公式；
（3）设数列的前项和为，试比较与的大小关系.
参考答案
1、答案D
由已知中数列， ， ， ，
可得数列各项的分母为一等比数列{2n}，分子2n+1，
又∵数列所有的奇数项为正，偶数项为负
故可用(？1)n+1来控制各项的符号，
故数列的一个通项公式为
本题选择D选项.
名师点评：根据所给数列的前几项求其通项时，需仔细观察分析，抓住其几方面的特征：分式中分子、分母的各自特征；相邻项的变化特征；拆项后的各部分特征；符号特征．应多进行对比、分析，从整体到局部多角度观察、归纳、联想．
2、答案C
有题可知，a1，a3，a4成等比数列，则有，又因为｛an｝是等差数列，故有，公差d=2，解得；
考查目的：？等差数列通项公式？等比数列性质
3、答案C
由，得：，
∴为常数列，即，故
故选：C
4、答案C
是首项=1，公差为=3的等差数列，如果=2005，
则1+3(n－1)=2005,故n=669
5、答案B
6、答案A
因为S17＝×17＝17a9＝51，所以a9＝3.根据等差数列的性质知a5＋a13＝a7＋a11，所以a5－a7＋a9－a11＋a13＝a9＝3.故选A.
名师点评：在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为一元问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
7、答案D
8、答案A
9、答案B
等差数列中.
考点等差数列的基本概念．
10、答案C
根据等差数列中，，得，又由，得，
进而得到，即可得到答案。
详解
由题意，因为无穷等差数列中，它的前n项和，且，，
由，可得，又由，可得，
所以，
所以当时，，当时，．
故选：C．
名师点评
本题主要考查了等差数列前n项和与通项的关系的应用，其中解中熟记等差数列的前n项和与通项之间的关系，合理应用是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题。
11、答案A
试题解出的公差，于是的通项为，可见是减数列，且，，于是，，，从而该题选A．
考查目的：等差数列的求和公式
12、答案C
详解：设等差数列{an}的公差为d，
∵，
∴3a1﹣2（a1+a2+ a3）=15=3a1-6 a2
∴
故选：C．
名师点评：本题考查了等差数列的通项公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
13、答案100
因为，，∴数列首项为1，公差为2的等差数列，，.
14、答案（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
∵实数a1，d为等差数列{an}的首项和公差，
且a6=﹣，
∴（a1+5d）（a1+4d）=﹣3，
即+9a1d+20d2+3=0；
要使方程有实数解，须
△=81d2﹣4（20d2+3）≥0，
即d2≥12，
解得d≤﹣2，或d≥2；
∴d的取值范围是（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
故答案为：（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）．
15、答案20
16、答案
每行有个数，故前行有个数，再加三个，即个数，乘以得到.
17、答案∵ 是等比数列
∴
又∵
∴ =6
在等比数列，若，则有，由可得出的值。
18、答案∵ 是等差数列
∴
又 ∵
∴ =8
因为在等差数列中，若，则，从而有可得。
因此对于所有的，
从而对于所有的，.
（2）设数列的公差为，则，即，，
代入的表达式，整理得，对于所有的有，
令，，，则对于所有的有，
在上式中取，
∴，
从而有，由②③得，代入①得，
从而，即，，，
若，则由得，与题设矛盾，∴，又，∴.
考点定位本小题主要考查等差、等比数列的定义、通项、求和等基础知识，考查分析转化以及推理论证能力.
20、答案
（Ⅰ）设的公差为，由已知条件，，
解出，．
所以．
（Ⅱ）．
所以时，取到最大值．
21、答案所求数列为：－1，1，3，5，7．
设这五个数组成的等差数列为{an}
由已知：a1＝－1，a5＝7
∴7＝－1＋(5－1)d 解出d＝2
所求数列为：－1，1，3，5，7．
22、答案（1）；（2）；（3）当时；当时.
详解：（1）；
（2）
∴
∴
∴
（3）令
则
∴
∴
当时，当时
∴当时
当时.
名师点评：由于，所以求其通项可以使用构造法（设）和累加法，本题使用的就是累加法.对于这两种方法，大家要灵活运用.
