2021届二轮（理科数学） 数列 专题卷（全国通用）
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2021届二轮（理科数学） 数列 专题卷（全国通用）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1、数列,3,,,,…,则9是这个数列的第( )
A.12项 B.13项 C.14项 D.15项
2、
设数列{an}是等差数列，若a2+a4+a6=12，则a1+a2+…+a7等于（ ）
A．14 B．21 C．28 D．35
3、在等差数列中， ，则（ ）
A． 12 B． 14 C． 16 D． . 18
4、给出下列等式：（ⅰ）an+1-an=p(p为常数);（ⅱ）2an+1=an+an+2(n∈N*);(ⅲ)an=kn+b(k,b为常数)则无穷数列{an}为等差数列的充要条件是（ ）
A.（ⅰ） B.（ⅰ）（ⅲ）
C.（ⅰ）（ⅱ） D.（ⅰ）（ⅱ）（ⅲ）
5、设等差数列的前n项和为Sn，当首项a1和公差d变化时，若a1+ a8+ a15是定值，则下列各项中为定值的是（ ）
A. S15 B. S16 C. S17 D. S18
6、已知等比数列中，，且，则的值为( )
A. 4 B. －4 C. ±4 D. ±
7、已知数列的前项和为,,且,则的最小值和最大值分别为( )
A． B． C． D．
8、已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为An和Bn，且，则使得为整数的正整数n的个数是（ ）
A.2 B.3 C.4 D.5
9、
已知数列的前项和为，且满足，记，若对任意的，总有成立，则实数的取值范围为_________.
10、在等差数列中，，为其前项和．若，则的值等于（ ）
A．246 B．258 C．280 D．270
11、设是等差数列的前项和，,，则 （ ）
A． B． C． D．
12、已知数列满足，，则( )
A. 143 B. 156 C. 168 D. 195
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13、等差数列中，表示其前n项和，则____________
14、已知为等差数列,且－2＝－1,＝0,则公差d＝ .
15、等比数列的各项均为正数，其前n项和为，已知，，则＝_______．
16、若数列为等差数列，且，则数列的递推公式为_________.
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17、（本小题满分10分）已知数列的前n项和为Sn，若，，
（1）求数列的通项公式；
（2）令，①当n为何正整数值时，；②若对一切正整数n，总有，求m的取值范围.
18、（本小题满分12分）已知数列的首项,,.
(Ⅰ)求证数列是等比数列;
(Ⅱ)求数列的前项和.
19、（本小题满分12分）已知等差数列的首项为,公差为,且不等式的解集为
．
（1）求数列的通项公式及前项和；
（2）比较的大小.
20、（本小题满分12分）数列{}中，＝－23，求数列{}的前n项和
21、（本小题满分12分）某市某通讯设备厂为适应市场需求，提高效益，特投入98万元引进世界先进设备奔月8号，并马上投入生产．第一年需要的各种费用是12万元，从第二年开始，所需费用会比上一年增加4万元，而每年因引入该设备可获得的年利润为50万元．
请你根据以上数据，解决下列问题：
（1）引进该设备多少年后，开始盈利？
（2）引进该设备若干年后，有两种处理方案：
第一种：年平均盈利达到最大值时，以26万元的价格卖出；
第二种：盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出．问哪种方案较为合算？并说明理由．
22、（本小题满分12分）已知数列的前项和为，且满足.
（I）求证：是等比数列；
（II）求证：不是等比数列.
参考答案
1、答案C
2、答案C
解：∵数列{an}是等差数列，a2+a4+a6=12，
∴3a4=12，解得a4=4．
则a1+a2+…+a7=7a4=28．
故选：C．
3、答案D
先由等差数列的概念得到公差d，再由等差数列的通项得到即可.
详解
等差数列中， ，
故答案为：D.
名师点评
本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题，对于等比等差数列的 小题，常用到的方法，其一是化为基本量即首项和公比或者公差，其二是观察各项间的脚码关系，即利用数列的基本性质.
4、答案D
易知三个都是，另外还有一个常见的是{an}的前n项和Sn=an2+bn，（a,b为常数）.
5、答案A
由题意可得，为定值，可得为定值.
详解
由等差数列的性质可得为定值，
再由求和公式可得，
故当为定值时，为定值.
故选：A.
名师点评
本题考查等差数列的求和公式和性质，属基础题，注意本题中的选择项也是解题信息.
6、答案A
由等比数列的性质，得，故，又，∴，解得(负值舍去，因为同号).
7、答案D
由，得，化为，由等差数列的通项公式可得 ，，从而可得结果.
详解
由，得，
化为，
，
，
当时，最小值为；
当时，最大值为，故选D.
名师点评
对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法．常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等.
8、答案D
∴.
当n=1，2，3，5，11时，是正整数.
9、答案
令，得；令，可得；
令，可得.故，即.
由对任意恒成立，得对任意恒成立，
又.所求实数的取值范围为.
故答案为：.
10、答案C
在等差数列中，公差为,因为，所以为常数,则数列是公差为的等差数列, 所以,即数列的公差,所以.故选C.
考查目的：1.等差数列前项和公式；2.等差数列的性质.
方法点晴本题主要考查了等差数列中的基本计算,利用定义证明等差数列,属于中档题.在本题中,从入手,得出“数列是公差为的等差数列”这个结论, 求出数列的公差,再利用前项和公式,, 在等差数列中,当, 公差时, 求出, 得出结论.
11、答案C
利用等差数列的通项公式，即可求解公差，再利用前项和公式，即可求解.
详解
设等差数列的公差为，
因为，所以，解得，
所以，故选C.
名师点评
本题主要考查了等差数列的通项公式，以及前项和公式的应用，其中解答中利用等差数列的通项公式和前项和公式，列出方程，准确计算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.
12、答案C
由，可知，即，故数列是公差为1的等差数列，
所以，则. 故选C.
13、答案810
由等差数列的前项和公式为,将、分别用其表示代入等式中,整理可得,根据等差数列的性质,即得结果
详解
等差数列,表示其前n项和
,
,
,即
故答案为：810
名师点评
本题考查等差数列前项和公式的两种形式,考查等差数列的性质,考查运算能力
14、答案
15、答案8
利用基本元的思想，将两个已知条件转化为的形式，解方程组求得的值，进而求得的值.
详解
由于数列为等比数列，故，解得，故.
名师点评
本小题主要考查利用基本元的思想求等比数列的基本量、通项公式和前项和.基本元的思想是在等差数列中有个基本量，利用等比数列的通项公式和前项和公式，列出方程组，即可求得数列的通项公式.解题过程中主要利用除法进行消元，要注意解题题意公比为正数这一条件.
16、答案
根据等差数列各项间的关系求得首项，再根据等差数列的定义求出递推公式即可.
详解：由题可得，，故数列为首项，公差为3的等差数列.
故数列的递推公式为.
故答案为：
名师点评
本题主要考查了等差数列的定义辨析、基本的求解，属于基础题.
17、答案解：（1）令n = 1，，即
由
∵，∴，即数列是以2为首项、2为公差的等差数列，
∴
（2）①
②∵，又因为n＞2时，，
∴各项中数值最大为，∵对一切正整数n，总有恒等成立，因此m
18、答案(Ⅰ),
数列是以为首项,为公比的等比数列.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得:
即,
设, ①
则, ②
①②得:
,
. 又…
数列 的前项和.
19、答案（1）的解集为
方程的两根为,
,
（2）做差
因为,所以当；
当
当
20、答案
∵an＋1－an－3＝0，
∴an＋1－an＝3，
即数列{an}是等差数列，公差d＝3.………………6分
又因为a1＝－23，所以数列{an}的前n项的和为
Sn＝－23n＋n(n－1)×3，即Sn＝n2－n.………………12分
21、答案（1）设引进设备n年后开始盈利，盈利为y万元，则y=50n－（12n+×4）－98=－2n2+40n－98，由y＞0，得10－＜n＜10+．
∵n∈N*，∴3≤n≤17，即3年后开始盈利．
（2）方案一：年平均盈利为，=－2n－+40≤－2+40=12，
当且仅当2n=，即n=7时，年平均利润最大，共盈利12×7+26=110万元．
方案二：盈利总额y=－2（n－10）2+102，n=10时，y取最大值102，
即经过10年盈利总额最大，
共计盈利102+8=110万元．
两种方案获利相等，但由于方案二时间长，所以采用方案一合算．
22、答案(1)证明见.
(2)证明见.
，即可得到数理是公比为的等比数列；
（II）(方法一)由（I）知是等比数列，所以，于是，解得，即可得到数列不是等比数列.
(方法二)由（I）得，因此，求得于是假设是等比数列，则有，解得，即可得不是等比数列.
详解：（I）因为，所以当时，
两式相减得，
即，
因此，
故是公比为的等比数列.
（II）(方法一)假设是等比数列，则有，
即.
由（I）知是等比数列，所以，
于是，即，解得，
这与是等比数列相矛盾，
故假设错误，即不是等比数列.
(方法二)由（I）知，所以，因此.
于是，
假设是等比数列，则有，
即，解得，
这与相矛盾，
故假设错误，即不是等比数列.
名师点评：本题主要考查了数列的递推公式的应用，以及等比数列的定义及通项公式的应用，其中根据数列的递推关系式，利用等比数列的定义得到等比数列是解答的关键，其次注意数列不是等比数列的证明方法是解答的难点，着重考查了推理与论证能力.
