高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义精品测试题

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.3 复数的几何意义精品测试题，共4页。

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一、选择题


1．在复平面内，复数z＝sin 2＋ics 2对应的点位于( )


A．第一象限 B．第二象限


C．第三象限D．第四象限


D [∵sin 2>0，cs 2<0，


∴复数z对应的点(sin 2，cs 2)在第四象限．


故选D．]


2．已知复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则( )


A．a≠2或a≠1B．a≠2，且a≠1


C．a＝0D．a＝2或a＝0


D [由题意，得a2－2a＝0，得a＝0或a＝2.故选D．]


3．在复平面内，O为原点，向量eq \(OA,\s\up8(→))对应的复数为－1＋2i，若点A关于直线y＝－x的对称点为点B，则向量eq \(OB,\s\up8(→))对应的复数为( )


A．－2－iB．－2＋i


C．1＋2iD．－1＋2i


B [因为复数－1＋2i对应的点为A(－1,2)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(－2,1)，所以eq \(OB,\s\up8(→))对应的复数为－2＋i.]


4．在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若向量eq \(OA,\s\up8(→))，eq \(OB,\s\up8(→))对应的复数分别是3＋i，－1＋3i，则eq \(CD,\s\up8(→))对应的复数是( )


A．2＋4iB．－2＋4i


C．－4＋2iD．4－2i


D [依题意有eq \(CD,\s\up8(→))＝eq \(BA,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))－eq \(OB,\s\up8(→))，而(3＋i)－(－1＋3i)＝4－2i，即eq \(CD,\s\up8(→))对应的复数为4－2i.故选D．]


5．若z∈C，且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( )


A．2B．3


C．4D．5


B [设z＝x＋yi，则由|z＋2－2i|＝1得(x＋2)2＋(y－2)2＝1，表示以(－2,2)为圆心，以1为半径的圆，如图所示，则|z－2－2i|＝eq \r(x－22＋y－22)表示圆上的点与定点(2,2)的距离，数形结合得|z－2－2i|的最小值为3.]


二、填空题


6．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B．若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是________．


2＋4i [∵复数6＋5i，－2＋3i对应点分别为A，B，


∴点A(6,5)，B(－2,3)．


∴中点C(2,4)，其对应复数2＋4i.]


7．设复数z＝－1－i(i是虚数单位)，z的共轭复数为eq \x\t(z)，则|(1－z)·eq \x\t(z)|＝________.


eq \r(10) [eq \x\t(z)＝－1＋i，则|(1－z)·eq \x\t(z)|＝|(2＋i)·(－1＋i)|＝|－3＋i|＝eq \r(10).]


8．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．


以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆 [∵|z|＝3，


∴eq \r(x＋12＋y－22)＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以(－1,2)为圆心，以3为半径的圆．]


三、解答题


9．已知复数z＝1＋ai(a∈R)，w＝cs α＋isin α，α∈(0,2π)，若z＝eq \x\t(z)＋2i，且|z－w|＝eq \r(5)，求角α的值．


[解] 由题意知1＋ai＝1＋(2－a)i，


则a＝2－a，即a＝1，∴z＝1＋i.


由|z－w|＝eq \r(5)得(1－cs α)2＋(1－sin α)2＝5，


整理得sin α＋cs α＝－1，∴sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＝－eq \f(\r(2),2)，


∵0<α<2π，∴eq \f(π,4)<α＋eq \f(π,4)

∴α＋eq \f(π,4)＝eq \f(5π,4)或α＋eq \f(π,4)＝eq \f(7π,4)，∴α＝π或α＝eq \f(3π,2).


10．已知复数z满足(z－2)i＝a＋i(a∈R)．


(1)求复数z；


(2)a为何值时，复数z2对应的点在第一象限．


[解] (1)由(z－2)i＝a＋i，


得z－2＝eq \f(a＋i,i)＝1－ai，∴z＝3－ai.


(2)由(1)得z2＝9－a2－6ai，


∵复数z2对应的点在第一象限，


∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(9－a2>0，,－6a>0，))解得－3

故当a∈(－3,0)时，z2对应的点在第一象限．





1．复平面上三点A，B，C分别对应复数1,2i,5＋2i，则由A，B，C所构成的三角形是 ( )


A．直角三角形B．等腰三角形


C．锐角三角形D．钝角三角形


A [|AB|＝|2i－1|＝eq \r(5)，|AC|＝|4＋2i|＝eq \r(20)，|BC|＝5，∴|BC|2＝|AB|2＋|AC|2.故选A．]


2．设z∈C，且|z＋1|－|z－i|＝0，则|z＋i|的最小值为( )


A．0B．1


C．eq \f(\r(2),2)D．eq \f(1,2)


C [由|z＋1|＝|z－i|知，在复平面内，复数z对应的点的轨迹是以(－1,0)和(0,1)为端点的线段的垂直平分线，即直线y＝－x，而|z＋i|表示直线y＝－x上的点到点(0，－1)的距离，其最小值等于点(0，－1)到直线y＝－x的距离，即为eq \f(\r(2),2).]


3．在复平面内，O是原点，eq \(OA,\s\up8(→))，eq \(OC,\s\up8(→))，eq \(AB,\s\up8(→))对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么eq \(BC,\s\up8(→))对应的复数为________．


4－4i [由eq \(OB,\s\up8(→))＝eq \(OA,\s\up8(→))＋eq \(AB,\s\up8(→))，知


eq \(OB,\s\up8(→))对应的复数为(－2＋i)＋(1＋5i)＝－1＋6i，


又eq \(BC,\s\up8(→))＝eq \(OC,\s\up8(→))－eq \(OB,\s\up8(→))，


∴eq \(BC,\s\up8(→))对应的复数为(3＋2i)－(－1＋6i)＝4－4i.]


4．在复平面内，复数z＝eq \f(i,1－i)＋i2 022表示的点所在的象限是________．


第二象限 [z＝eq \f(i,1－i)＋i2 022＝eq \f(i－1,2)＋i2＝－eq \f(3,2)＋eq \f(1,2)i，对应点的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(3,2)，\f(1,2)))，故在第二象限．]


5．已知O为坐标原点，eq \(OZ,\s\up8(→))1对应的复数为－3＋4i，eq \(OZ,\s\up8(→))2对应的复数为2a＋i(a∈R)．若eq \(OZ,\s\up8(→))1与eq \(OZ,\s\up8(→))2共线，求a的值．


[解] 因为eq \(OZ,\s\up8(→))1对应的复数为－3＋4i，eq \(OZ,\s\up8(→))2对应的复数为2a＋i，所以eq \(OZ,\s\up8(→))1＝(－3,4)，eq \(OZ,\s\up8(→))2＝(2a,1)．因为eq \(OZ,\s\up8(→))1与eq \(OZ,\s\up8(→))2共线，所以存在实数k使eq \(OZ,\s\up8(→))2＝keq \(OZ,\s\up8(→))1，即(2a,1)＝k(－3,4)＝(－3k,4k)，


所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a＝－3k，,1＝4k，))所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝\f(1,4)，,a＝－\f(3,8)，))


即a的值为－eq \f(3,8).