必修 第二册12.2 复数的运算精品当堂检测题

这是一份必修 第二册12.2 复数的运算精品当堂检测题，共4页。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．i为虚数单位，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(2)＝( )


A．－1 B．1 C．－i D．i


A [eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1＋i,1－i)))eq \s\up12(2)＝eq \f(1＋i2,1－i2)＝eq \f(2i,－2i)＝－1.]


2．eq \f(1＋2i,1－2i)＝( )


A．－eq \f(4,5)－eq \f(3,5)iB．－eq \f(4,5)＋eq \f(3,5)i


C．－eq \f(3,5)－eq \f(4,5)iD．－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i


D [eq \f(1＋2i,1－2i)＝eq \f(1＋2i1＋2i,1－2i1＋2i)＝－eq \f(3,5)＋eq \f(4,5)i，故选D．]


3．i为虚数单位，i607的共轭复数为( )


A．iB．－i


C．1D．－1


A [因为i607＝(i2)303·i＝－i，－i的共轭复数为i，所以应选A．]


4．(1＋i)20－(1－i)20的值是( )


A．－1 024B．1 024


C．0D．512


C [(1＋i)20－(1－i)20＝[(1＋i)2]10－[(1－i)2]10＝(2i)10－(－2i)10＝(2i)10－(2i)10


＝0.]


5．已知复数z＝eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)，eq \x\t(z)是z的共轭复数，则z·eq \x\t(z)等于( )


A．eq \f(1,4) B．eq \f(1,2) C．1 D．2


A [∵z＝eq \f(\r(3)＋i,1－\r(3)i2)＝eq \f(－\r(3)i2＋i,1－\r(3)i2)＝eq \f(i1－\r(3)i,1－\r(3)i2)


＝eq \f(i,1－\r(3)i)＝eq \f(i1＋\r(3)i,4)＝－eq \f(\r(3),4)＋eq \f(i,4)，


∴eq \x\t(z)＝－eq \f(\r(3),4)－eq \f(i,4)，


∴z·eq \x\t(z)＝eq \f(1,4).]


二、填空题


6．复数eq \f(5,2i－1)的共轭复数是________．


－1＋2i [∵eq \f(5,2i－1)＝eq \f(52i＋1,2i－12i＋1)＝－1－2i.


∴eq \f(5,2i－1)的共轭复数是－1＋2i.]


7．设i是虚数单位，复数eq \f(1＋ai,2－i)为纯虚数，则实数a的值是________．


2 [eq \f(1＋ai,2－i)＝eq \f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq \f(2－a＋1＋2ai,5)，由纯虚数定义，则2－a＝0，∴a＝2.]


8．设i是虚数单位，则eq \f(i3i＋1,i－1)等于________．


－1 [∵eq \f(i＋1,i－1)＝－eq \f(1＋i2,1－i1＋i)＝eq \f(2i,－2)＝－i，


∴eq \f(i3i＋1,i－1)＝i3·(－i)＝－i4＝－1.]


三、解答题


9．计算：(1)eq \f(3＋2i,2－3i)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2)－\f(i,2)))eq \s\up12(6)；


(2)eq \f(－2\r(3)＋i,1＋2\r(3)i)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),1＋i)))eq \s\up12(2)＋eq \f(4－8i2－－4＋8i2,4＋3i).


[解] (1)原式＝eq \f(i2－3i,2－3i)＋i6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))eq \s\up12(6)


＝i＋i2＝i－1.


(2)原式＝eq \f(i2\r(3)i＋1,1＋2\r(3)i)＋eq \f(2,2i)＋eq \f(4－8i2－[－4－8i]2,4＋3i)


＝i＋eq \f(1,i)＋eq \f(4－8i2－4－8i2,4＋3i)


＝i＋(－i)＋0＝0.


10．(1)若eq \f(2＋ai,1＋\r(2)i)＝－eq \r(2)i，求实数a的值；


(2)若复数z＝eq \f(2i,1－i)，求eq \x\t(z)＋3i.


[解] (1)依题意，得2＋ai＝－eq \r(2)i(1＋eq \r(2)i)＝2－eq \r(2)i，


∴a＝－eq \r(2).


(2)∵z＝eq \f(2i,1－i)＝eq \f(2i1＋i,1－i1＋i)


＝i(1＋i)＝－1＋i，


∴eq \x\t(z)＝－1－i，


∴eq \x\t(z)＋3i＝－1＋2i.





1．计算eq \f(－1＋\r(3)i3,1＋i6)＋eq \f(－2＋i,1＋2i)的值是( )


A．0B．1


C．iD．2i


D [原式＝eq \f(－1＋\r(3)i3,[1＋i2]3)＋eq \f(－2＋i1－2i,1＋2i1－2i)


＝eq \f(－1＋\r(3)i3,2i3)＋eq \f(－2＋4i＋i＋2,5)


＝eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))eq \s\up12(3),－i)＋i＝eq \f(1,－i)＋i＝eq \f(i,－ii)＋i＝2i.]


2．若一个复数的实部与虚部互为相反数，则称此复数为“理想复数”．已知z＝eq \f(a,1－2i)＋bi(a，b∈R)为“理想复数”，则( )


A．a－5b＝0B．3a－5b＝0


C．a＋5b＝0D．3a＋5b＝0


D [z＝eq \f(a,1－2i)＋bi＝eq \f(a1＋2i,1－2i1＋2i)＋bi＝eq \f(a,5)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2a,5)＋b))i.由题意，得eq \f(a,5)＝－eq \f(2a,5)－b，即3a＋5b＝0.]


3．复数z满足(1＋2i)·eq \x\t(z)＝4＋3i，则z＝________.


2＋i [∵eq \x\t(z)＝eq \f(4＋3i,1＋2i)＝eq \f(4＋3i1－2i,5)＝eq \f(10－5i,5)＝2－i，


∴复数eq \x\t(z)＝2－i，∴z＝2＋i.]


4．当z＝－eq \f(1－i,\r(2))，z100＋z50＋1的值等于________．


－i [z2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1－i,\r(2))))eq \s\up12(2)＝－i，


∴z100＋z50＋1＝(－i)50＋(－i)25＋1


＝(－i)2＋(－i)＋1＝－i.]


5．已知z为复数，eq \f(z－1,i)为实数，eq \f(z,1－i)为纯虚数，求复数z.


[解] 设z＝a＋bi(a，b∈R)，


则eq \f(z－1,i)＝eq \f(a－1＋bi,i)＝(a－1＋bi)·(－i)＝b－(a－1)i.


因为eq \f(z－1,i)为实数，所以a－1＝0，即a＝1.


又因为eq \f(z,1－i)＝eq \f(a＋bi1＋i,1－i1＋i)＝eq \f(a－b＋a＋bi,2)为纯虚数，所以a－b＝0，且a＋b≠0，所以b＝1.故复数z＝1＋i.