高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀第2课时随堂练习题

这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第二册4.3 等比数列优秀第2课时随堂练习题，共6页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

(建议用时：40分钟)





一、选择题


1．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．若a1＝1，则S4等于( )


A．7 B．8 C．15 D．16


C [由题意得4a2＝4a1＋a3，∴4a1q＝4a1＋a1q2，


∴q＝2，∴S4＝eq \f(1·1－24,1－2)＝15.]


2．设{an}是由正数组成的等比数列，Sn为其前n项和．已知a2a4＝1，S3＝7，则S5等于( )


A．eq \f(15,2) B．eq \f(31,4) C．eq \f(33,4) D．eq \f(17,2)


B [显然公比q≠1，


由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1q·a1q3＝1，,\f(a11－q3,1－q)＝7，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝4，,q＝\f(1,2)))或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝9，,q＝－\f(1,3)舍去，))


∴S5＝eq \f(a11－q5,1－q)＝eq \f(4\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,25))),1－\f(1,2))＝eq \f(31,4).]


3．设各项都是正数的等比数列{an}，Sn为其前n项和，且S10＝10，S30＝70，那么S40等于( )


A．150B．－200


C．150或－200D．400


A [依题意，数列S10，S20－S10，S30－S20，S40－S30成等比数列，因此有(S20－S10)2＝S10(S30－S20)．


即(S20－10)2＝10(70－S20)，


解得S20＝－20或S20＝30，


又S20＞0，


因此S20＝30，S20－S10＝20，S30－S20＝40，


故S40－S30＝80，S40＝150.故选A.]


4．设数列{xn}满足lg2xn＋1＝1＋lg2xn(n∈N*)，且x1＋x2＋…＋x10＝10 ，记{xn}的前n项和为Sn，则S20等于( )


A．1 025B．1 024


C．10 250D．20 240


C [∵lg2xn＋1＝1＋lg2xn＝lg2(2xn)，∴xn＋1＝2xn，且xn>0，∴{xn}为等比数列，且公比q＝2，


∴S20＝S10＋q10S10＝10＋210×10＝10 250，


故选C.]


5．已知公差d≠0的等差数列{an} 满足a1＝1，且a2，a4－2，a6成等比数列，若正整数m，n满足m－n＝10，则am－an＝( )


A．30B．20


C．10D．5或40


A [设等差数列的公差为d，


因为a2，a4－2，a6成等比数列，所以(a4－2)2＝a2·a6，


即(a1＋3d－2)2＝(a1＋d)·(a1＋5d)，


即(3d－1)2＝(1＋d)·(1＋5d)，


解得d＝0或d＝3，因为公差d≠0，所以d＝3，


所以am－an＝a1＋(m－1)d－a1－(n－1)d＝(m－n)d＝10d＝30，故选A.]


二、填空题


6．在数列{an}中，an＋1＝can(c为非零常数)，且前n项和为Sn＝3n＋k，则实数k＝________.


－1 [由an＋1＝can知数列{an}为等比数列．


又∵Sn＝3n＋k，由等比数列前n项和的特点Sn＝Aqn－A知k＝－1.]


7．等比数列{an}共有2n项，它的全部各项的和是奇数项的和的3倍，则公比q＝________.


2 [设{an}的公比为q，则奇数项也构成等比数列，其公比为q2，首项为a1，


S2n＝eq \f(a11－q2n,1－q)，


S奇＝eq \f(a1[1－q2n],1－q2).


由题意得eq \f(a11－q2n,1－q)＝eq \f(3a11－q2n,1－q2).


∴1＋q＝3，∴q＝2.]


8．设{an}是公差不为零的等差数列，Sn为其前n项和．已知S1，S2，S4成等比数列，且a3＝5，则数列{an}的通项公式为an＝________.


2n－1 [设等差数列{an}的公差为d，(d≠0)，则


S1＝5－2d，S2＝10－3d，S4＝20－2d，


因为Seq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2))＝S1·S4，所以(10－3d)2＝(5－2d)(20－2d)，整理得


5d2－10d＝0，∵d≠0，∴d＝2，


an＝a3＋(n－3)d＝5＋2(n－3)＝2n－1.]


三、解答题


9．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式．


[解] 设数列{an}的首项为a1，公比为q，全部奇数项、偶数项之和分别记为S奇，S偶，由题意，知S奇＋S偶＝4S偶，即S奇＝3S偶．


∵数列{an}的项数为偶数，∴q＝eq \f(S偶,S奇)＝eq \f(1,3).


又a1·a1q·a1q2＝64，∴aeq \\al(\s\up1(3),\s\d1(1))·q3＝64，得a1＝12.


故所求通项公式为an＝12×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,3)))eq \s\up12(n－1).


10．在等差数列{an}中，a2＝4，a4＋a7＝15.


(1)求数列{an}的通项公式；


(2)设bn＝2an－2＋n，求b1＋b2＋b3＋…＋b10的值．


[解] (1)设等差数列{an}的公差为d.


由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋d＝4，,a1＋3d＋a1＋6d＝15，))


解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝3，,d＝1.))所以an＝a1＋(n－1)d＝n＋2.


(2)由(1)可得bn＝2n＋n，


所以b1＋b2＋b3＋…＋b10＝(2＋1)＋(22＋2)＋(23＋3)＋…＋(210＋10)


＝(2＋22＋23＋…＋210)＋(1＋2＋3＋…＋10)


＝eq \f(21－210,1－2)＋eq \f(1＋10×10,2)


＝(211－2)＋55


＝211＋53＝2 101.





11．(多选题)已知Sn是公比为q的等比数列{an}的前n项和，若q≠1，m∈N*，则下列说法正确的是( )


A．eq \f(S2m,Sm)＝eq \f(a2m,am)＋1


B．若eq \f(S6,S3)＝9，则q＝2


C．若eq \f(S2m,Sm)＝9，eq \f(a2m,am)＝eq \f(5m＋1,m－1)，则m＝3，q＝2


D．若eq \f(a6,a3)＝9，则q＝3


ABC [∵q≠1，∴eq \f(S2m,Sm)＝eq \f(\f(a11－q2m,1－q),\f(a11－qm,1－q))＝1＋qm.


而eq \f(a2m,am)＝eq \f(a1q2m－1,a1qm－1)＝qm，∴A正确；B中，m＝3，∴eq \f(S6,S3)＝q3＋1＝9，解得q＝2.故B正确；C中，由eq \f(S2m,Sm)＝1＋qm＝9，得qm＝8.又eq \f(a2m,am)＝qm＝8＝eq \f(5m＋1,m－1)，得m＝3，q＝2，∴C正确；D中，eq \f(a6,a3)＝q3＝9，∴q＝eq \r(3,9)≠3，∴D错误，故选ABC.]


12．在各项都为正数的数列{an}中，首项a1＝2，且点(aeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n))，aeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)))在直线x－9y＝0上，则数列{an}的前n项和Sn等于( )


A．3n－1 B．eq \f(1－－3n,2)


C．eq \f(1＋3n,2)D．eq \f(3n2＋n,2)


A [由点(aeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n))，aeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1)))在直线x－9y＝0上，得aeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n))－9aeq \\al(\s\up1(2),\s\d1(n－1))＝0，即(an＋3an－1)(an－3an－1)＝0，又数列{an}各项均为正数，且a1＝2，∴an＋3an－1＞0，∴an－3an－1＝0，即eq \f(an,an－1)＝3，∴数列{an}是首项a1＝2，公比q＝3的等比数列，其前n项和Sn＝eq \f(a11－qn,1－q)＝eq \f(2×3n－1,3－1)＝3n－1.]


13．(一题两空)等比数列{an}的首项为2，项数为奇数，其奇数项之和为eq \f(85,32)，偶数项之和为eq \f(21,16)，则这个等比数列的公比q＝________，又令该数列的前n项的积为Tn，则Tn的最大值为________．


eq \f(1,2) 2 [设数列{an}共有2m＋1项，由题意得


S奇＝a1＋a3＋…＋a2m＋1＝eq \f(85,32)，S偶＝a2＋a4＋…＋a2m＝eq \f(21,16)，


S奇＝a1＋a2q＋…＋a2mq＝2＋q(a2＋a4＋…＋a2m)


＝2＋eq \f(21,16)q＝eq \f(85,32)，


∴q＝eq \f(1,2).


∴Tn＝a1·a2·…·an＝aeq \\al(\s\up1(n),\s\d1(1))q1＋2＋…＋n－1＝2eq \s\up10(eq \f(3,2)n－eq \f(n2,2))，


故当n＝1或2时，Tn取最大值，为2.]


14．(一题两空)设数列1，(1＋2)，(1＋2＋22)，…，(1＋2＋22＋…＋2n－1)，…的第n项为an，前n项和为Sn，则an＝________，Sn＝________.


2n－1 2n＋1－n－2 [因为an＝1＋2＋22＋…＋2n－1＝eq \f(1－2n,1－2)＝2n－1，


所以Sn＝(2＋22＋23＋…＋2n)－n＝eq \f(21－2n,1－2)－n＝2n＋1－n－2.]





15．设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.


(1)求通项公式an；


(2)求数列{|an－n－2|}的前n项和．


[解] (1)由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋a2＝4，,a2＝2a1＋1，))则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝1，,a2＝3.))


又当n≥2时，由an＋1－an＝(2Sn＋1)－(2Sn－1＋1)＝2an，


得an＋1＝3an，故an＝3n－1(n≥2，n∈N*)，又当n＝1时也满足an＝3n－1，


所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.


(2)设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，b1＝2，b2＝1.


当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，故bn＝3n－1－n－2，n≥3.


设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.


n≥3时，


Tn＝3＋eq \f(91－3n－2,1－3)－eq \f(n－23＋n＋4,2)


＝eq \f(3n－n2－5n＋11,2).


∴Tn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2， n＝1，,3， n＝2，,\f(3n－n2－5n＋11,2)，n≥3.))