数学选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列示范课课件ppt

这是一份数学选择性必修 第二册第四章 数列4.2 等差数列示范课课件ppt，共47页。PPT课件主要包含了必备知识·素养奠基，am+n-md，as+at，关键能力·素养形成，课堂检测·素养达标等内容，欢迎下载使用。

1.等差数列中项与序号的关系(1)两项关系an= _________(m,n∈N*).(2)多项关系若m+n=s+t(m,n,s,t∈N*),则an+am=_____.特别地,若m+n=2p(m,n,p∈N*),则am+an=___.
【思考】(1)由an=am+(n-m)d(m,n∈N*),m≠n,如何求出公差d?其几何意义是什么?提示:d= 等差数列通项公式可变形为an=dn+(a1-d),其图象为一条直线上孤立的一系列点,(n,an),(m,am)都是这条直线上的点.d= 为直线的斜率.
(2)如何证明若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq?提示:因为am=a1+(m-1)d,an=a1+(n-1)d.所以am+an=2a1+(m+n-2)d.同理,ap+aq=2a1+(p+q-2)d,因为m+n=p+q,所以am+an=ap+aq.
2.等差数列的项的对称性
3.由等差数列构成的新等差数列(1)条件{an},{bn}分别是公差为d1,d2的等差数列(2)结论　
4.等差数列的单调性等差数列{an}的公差为d,(1)当d>0时,数列{an}为_____数列.(2)当d<0时,数列{an}为_____数列.(3)当d=0时,数列{an}为___数列.
【素养小测】1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”)(1)若{an}是等差数列,则{|an|}也是等差数列.(　　)(2)若数列{an}是等差数列,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列.(　　)(3)在等差数列{an}中,若am+an=ap+aq ,则m+n=p+q也能成立(m,n,p,q∈N* ).(　　)(4)在等差数列{an}中,若m+n=r,m,n,r∈N*,则am+an=ar.(　　)
提示:(1)×.如-2,-1,0,1,2是等差数列,但其绝对值就不是等差数列.(2)√.若等差数列{an}公差为d,则a1,a3,a5,a7,a9也是等差数列,且其公差为2d.(3)×.若数列{an}是常数列,则m+n=p+q不一定成立.(4)×.如等差数列1,3,5,7,9中,a1+a2≠a3.
2.(2020·常州高二检测)在等差数列{an}中,已知a1=1,a3+a5=8,则a7=(　　)　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 A.5B.6C.7D.8【解析】选C.由题意,根据等差中项的性质,有a1+a7=a3+a5.所以a7=a3+a5-a1=8-1=7.
3.等差数列{an}中,若a4=13,a6=25,则公差d等于(　　)A.5B.6C.7D.8【解析】选B.因为{an}为等差数列,所以a6=a4+2d,即25=13+2d,解得d=6.
4.若2,a,b,c,9成等差数列,则c-a=________. 【解析】设公差为d,则9=2+4d,所以d= .所以c-a=2d= .答案:
类型一　等差数列性质的应用　　　　　　 　　　　　　 　　　　　　 【典例】1.在等差数列{an}中,已知a1=2,a2+a3=13,则a4+a5+a6等于(　　)A.40B.42C.43D.452.已知{an},{bn}是两个等差数列,其中a1=3,b1=-3,且a20-b20=6,那么a10-b10的值为(　　)A.-6B.6C.0D.103.若{an}为等差数列,a15=8,a60=20,求a75.
【思维·引】1.由已知条件可以求首项和公差,注意到a4+a6=2a5,可迅速求值;2.关键是注意到{an-bn}也是等差数列,3.思路一:直接列出关于首项、公差的方程组求解;思路二:根据a15,a30,a45,a60,a75为等差数列求解;思路三:利用性质an=am+(n-m)d(m,n∈N*)求解.
【解析】1.选B.由 即 得d=3.所以a5=2+4×3=14,所以a4+a5+a6=3a5=42.
2.选B.由于{an},{bn}都是等差数列,所以{an-bn}也是等差数列,而a1-b1=6,a20-b20=6,所以{an-bn}是常数列,故a10-b10=6.
3.方法一:设等差数列{an}的公差为d,因为a15=a1+14d,a60=a1+59d,所以 解得 所以a75=a1+74d= +74× =24.
方法二:因为{an}为等差数列,所以a15,a30,a45,a60,a75也为等差数列.设其公差为d,则a15为首项,a60为第4项,所以a60=a15+3d,即20=8+3d,解得d=4.所以a75=a60+d=20+4=24.方法三:因为a60=a15+(60-15)d,所以d= 所以a75=a60+(75-60)d=20+15× =24.
【内化·悟】对于新构成的等差数列,解题时要注意什么问题?提示:要注意判断新构成的等差数列的首项和公差.
【类题·通】等差数列运算的两条常用思路(1)根据已知条件,列出关于a1,d的方程(组),确定a1,d,然后求其他量.(2)利用性质巧解,观察等差数列中项的序号,若满足m+n=p+q =2r(m,n,p,q ,r∈N*),则am+an=ap+aq=2ar.特别提醒:递增等差数列d>0,递减等差数列d<0,解题时要注意数列的单调性对d取值的限制.
【习练·破】1.在等差数列{an}中,a1+a4+a7=58,a2+a5+a8=44,则a3+a6+a9的值为(　　)A.30B.27C.24D.21【解析】选A.设b1=a1+a4+a7=58,b2=a2+a5+a8=44,b3=a3+a6+a9.因为{an}是等差数列,所以b1,b2,b3也是等差数列,得b1+b3=2b2,所以b3=2b2-b1=2×44-58=30,即a3+a6+a9=30.
2.已知数列{bn}为等差数列,若b3=-2,b10=12,则b8=________. 【解析】方法一:因为{bn}为等差数列,所以可设其公差为d,则d= 所以bn=b3+(n-3)d=2n-8.所以b8=2×8-8=8.方法二:由 得b8= ×5+b3=2×5+(-2)=8.答案:8
【加练·固】在等差数列{an}中,a1+a3+a5=-12,且a1·a3·a5=80. 求通项an.【解析】因为a1+a5=2a3,所以 解得a1=-10,a5=2或a1=2,a5=-10,因为d= ,所以d=3或-3,所以an=-10+3(n-1)=3n-13,或an=2-3(n-1)=-3n+5.
类型二　等差数列中对称设项法的应用【典例】(2019·龙岩高二检测)设三个数成单调递减的等差数列,三个数的和为12,三个数的积为48,求这三个数.【思维·引】三个数成等差数列,可设这三个数为a+d,a,a-d.【解析】设这三数为a+d,a,a-d,则a-d+a+a+d=12,①(a-d)·a·(a+d)=48,②,由①②解得:a=4,d=2(d=-2舍去),所以这三个数为6,4,2.
【素养·探】在解等差数列中对称设项法的应用有关的问题时,经常利用核心素养中的数学运算,通过研究等差数列的各项之间的关系,巧设未知数,解方程组求解.将本例的条件“递减”改为“递增”,“三个数的和为12,三个数的积为48”改为“三个数的和为21,三个数的积为231”,试求这三个数.
【解析】设这三个数分别为a-d,a,a+d,由题意,得 即 　 解得 因为等差数列是递增数列,所以d=4.所以这三个数为3,7,11.
【类题·通】设等差数列的三个技巧(1)对于连续奇数项的等差数列,可设为:…,x-d,x,x+d,…,此时公差为d.(2)对于连续偶数项的等差数列,通常可设为:…,a-3d,a-d,a+d,a+3d,…,此时公差为2d.(3)等差数列的通项可设为an=pn+q.
【习练·破】已知四个数依次成等差数列且是递增数列,四个数的平方和为94,首尾两数之积比中间两数之积少18,求此等差数列.【解析】设四个数为a-3d,a-d,a+d,a+3d,则 又递增数列d>0,所以解得a=± ,d= ,此等差数列为-1,2,5,8或-8,-5,-2,1.
类型三　等差数列的应用角度1　与其他知识的综合应用【典例】(2020·濮阳高二检测)已知各项都为正数的等差数列{an}中,a5=3,则a3a7的最大值为________. 【思维·引】利用等差数列的性质、均值不等式取最值.【解析】依题意,等差数列{an}各项都为正数,所以a3>0,a7>0,所以a3a7≤ =(a5)2=9.当且仅当a3=a7=3时等号成立.答案:9
角度2　实际应用【典例】(2020·潍坊高二检测)《周髀算经》中有一个问题,从冬至之日起,小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影子长依次成等差数列,若冬至、立春、春分的日影子长的和是37.5尺,芒种的日影子长为4.5尺,则冬至的日影子长为(　　)A.12.5尺B.10.5尺C.15.5尺D.9.5尺
【思维·引】将条件用首项a1,公差d表示,求出a1后即可.【解析】选C.设此等差数列{an}的公差为d,则a1+a4+a7=3a1+9d=37.5,a1+11d=4.5,解得d=-1,a1=15.5.
【内化·悟】解决数列实际应用问题,要关注哪些问题?提示:(1)认真领会题意,根据题目条件,寻找有用的信息.若一组数按次序“定量”增加或减少时,则这组数成等差数列.(2)合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键,在解题过程中,一定要分清首项、项数等关键的问题.
【类题·通】1.解决数列综合问题的方法策略(1)结合等差数列的性质或利用等差中项.(2)利用通项公式,得到一个以首项a1和公差d为未知数的方程或不等式.(3)利用函数或不等式的有关方法解决.
2.解决等差数列实际应用问题的步骤
特别提醒:在利用数列方法解决实际问题时,一定要弄清首项、项数等关键问题.
【习练·破】1.若关于x的方程x2-x+a=0和x2-x+b=0(a≠b)的4个根可组成首项为 的等差数列,则a+b的值为(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【解析】选D.判断各个根对应数列的项数.因为每个方程的两个根的和都为1,故必有一个方程的根为 不妨设方程x2-x+a=0的根为 为等差数列的首项, 为等差数列4项中的某一项,由x2-x+b=0的两根和为1,且两根为等差数列中的后3项中的两项,知只有 为第4项,才能满足中间两项之和为1的条件,所以四根的排列顺序为 所以a+b=
2.古代中国数学辉煌灿烂,在《张邱建算经》中记载:“今有十等人,大官甲等十人官赐金,以等次差降之.上三人先入,得金四斤持出;下四人后入,得金三斤持出;中央三人未到者,亦依等次更给.问:各得金几何及未到三人复应得金几何?”则该问题中未到三人共得金________斤. 
【解析】设十人得金按等级依次设为a1,a2,…,a10,则a1,a2,…,a10成等差数列,且 设等差数列a1,a2,…,a10的公差为d,则 　 解得d=- ,所以a4+a5+a6=(a1+a2+a3)+9d= .答案:
【加练·固】方程f(x)=x的根称为函数f(x)的不动点,若函数f(x)= 有唯一不动点,且x1=1 000,xn+1= ,n=1,2,3,…,则x2 004等于(　　)A.2 004　　　B. 　　　C. 　　　D.2 003　
【解析】选B.令f(x)=x,则 =x,因为ax2+(2a-1)x=0有唯一不动点,则2a-1=0,即a= ,所以f(x)= xn+1=
即xn+1-xn= (常数).所以{xn}是首项为1 000,公差为 的等差数列.所以x2 004=1 000+2 003×
1.在等差数列{an}中,已知a3=10,a8=-20,则公差d等于(　　)A.3B.-6C.4D.-3【解析】选B.由等差数列的性质得a8-a3=(8-3)d=5d,所以d= =-6.
2.由公差d≠0的等差数列a1,a2,…,an组成一个新的数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…下列说法正确的是(　　)A.新数列不是等差数列B.新数列是公差为d的等差数列C.新数列是公差为2d的等差数列D.新数列是公差为3d的等差数列【解析】选C.因为(an+1+an+3)-(an+an+2)=(an+1-an)+(an+3-an+2)=2d,所以数列a1+a3,a2+a4,a3+a5,…是公差为2d的等差数列.
3.已知{an}为等差数列,a3+a8=22,a6=7,则a5=________. 【解析】因为等差数列{an}中,a3+a8=a6+a5,所以a5=(a3+a8)-a6=22-7=15.答案:15
4.已知直角三角形的三条边的长度成等差数列,则它们长度的比等于________. 【解析】设这个直角三角形的三边长分别为a-d,a,a+d,根据勾股定理,得(a-d)2+a2=(a+d)2,解得a=4d,于是这个直角三角形的三边长分别是3d,4d,5d,即这个直角三角形的三边长的比是3∶4∶5.答案:3∶4∶5