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    初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试优质导学案

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    这是一份初中数学人教版九年级下册第二十七章 相似综合与测试优质导学案,共9页。学案主要包含了学习目标,知识网络,要点梳理,典型例题,思路点拨,答案与解析,总结升华等内容,欢迎下载使用。




    【学习目标】


    1、了解比例的基本性质,线段的比、成比例线段;


    2、通过具体实例认识图形的相似,探索相似图形的性质,理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方,探索并掌握相似三角形的判定方法,并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题;


    3、了解图形的位似,能够利用位似将一个图形放大或缩小,在同一直角坐标系中,感受位似变换后点的坐标的变化;


    4、结合相似图形性质和判定方法的探索和证明,进一步培养推理能力,发展逻辑思维能力和推理论证的表达能力,以及综合运用知识的能力,运用学过的知识解决问题的能力.





    【知识网络】








    【要点梳理】


    要点一、相似图形及比例线段1.相似图形:在数学上,我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures).


    要点诠释:


    (1) 相似图形就是指形状相同,但大小不一定相同的图形;


    (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况,即当“形状相同”且“大小相同”时,两 个图形全等;


    2.相似多边形


    如果两个多边形的对应角相等,对应边的比相等,我们就说它们是相似多边形.


    要点诠释:


    (1)相似多边形的定义既是判定方法,又是它的性质.


    (2)相似多边形对应边的比称为相似比.3. 比例线段:对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如a:b=c:d,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.


    要点诠释:


    (1)若a:b=c:d ,则ad=bc;(d也叫第四比例项)


    (2)若a:b=b:c ,则 =ac(b称为a、c的比例中项).


    要点二、相似三角形


    相似三角形的判定:


    判定方法(一):平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形和原三角形相似.


    判定方法(二):如果两个三角形的三组对应边的比相等,那么这两个三角形相似.


    判定方法(三):如果两个三角形的两组对应边的比相等,并且相应的夹角相等,那么这两个三角形相似.


    要点诠释:


    此方法要求用三角形的两边及其夹角来判定两个三角形相似,应用时必须注意这个角必须是两边的夹角,否则,判断的结果可能是错误的.


    判定方法(四):如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似.


    要点诠释:


    要判定两个三角形是否相似,只需找到这两个三角形的两个对应角相等即可,对于直角三角形而言,若有一个锐角对应相等,那么这两个三角形相似.


    相似三角形的性质:


    (1)相似三角形的对应角相等,对应边的比相等;


    (2)相似三角形中的重要线段的比等于相似比;


    相似三角形对应高,对应中线,对应角平分线的比都等于相似比.


    要点诠释:要特别注意“对应”两个字,在应用时,要注意找准对应线段.


    (3) 相似三角形周长的比等于相似比;


    (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。


    3.相似多边形的性质:


    (1)相似多边形的对应角相等,对应边的比相等.


    (2)相似多边形的周长比等于相似比.


    (3)相似多边形的面积比等于相似比的平方.


    要点三、位似


    1.位似图形定义: 如果两个图形不仅是相似图形,而且每组对应点所在的直线都经过同一点,那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做位似中心.


    2.位似图形的性质:


    (1)位似图形的对应点和位似中心在同一条直线上;


    (2) 位似图形的对应点到位似中心的距离之比等于相似比;


    (3)位似图形中不经过位似中心的对应线段平行.


    要点诠释:


    (1)位似图形与相似图形的区别:位似图形是一种特殊的相似图形,而相似图形未必能构成位似图形.


    (2)位似变换中对应点的坐标变化规律:在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点


    为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.





    【典型例题】


    类型一、相似图形及比例线段


    1. (2016•崇明县一模)如图,已知AD∥BE∥CF,它们依次交直线l1、l2于点A、B、C和点D、E、F,,AC=14;


    (1)求AB、BC的长;


    (2)如果AD=7,CF=14,求BE的长.





    【思路点拨】(1)由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出,即可求出AB的长,得出BC的长;


    (2)过点A作AG∥DF交BE于点H,交CF于点G,得出AD=HE=GF=7,由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH,即可得出结果.


    【答案与解析】


    解:(1)∵AD∥BE∥CF,


    ∴,


    ∴,


    ∵AC=14,∴AB=4,


    ∴BC=14﹣4=10;


    (2)过点A作AG∥DF交BE于点H,交CF于点G,如图所示:


    又∵AD∥BE∥CF,AD=7,


    ∴AD=HE=GF=7,


    ∵CF=14,


    ∴CG=14﹣7=7,


    ∵BE∥CF,


    ∴,


    ∴BH=2,


    ∴BE=2+7=9.








    【总结升华】本题考查了平行线分线段成比例:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例;熟练掌握平行线分线段成比例,通过作辅助线运用平行线分线段成比例求出BH是解决问题的关键.


    举一反三


    【变式】(2015•眉山)如图,AD∥BE∥CF,直线l1、l2这与三条平行线分别交于点A、B、C和点D、E、F.已知AB=1,BC=3,DE=2,则EF的长为( )





    A.4B.5C.6D.8


    【答案】C.


    类型二、相似三角形


    2. 如图所示,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.





    (1)∠ABC=________,BC=________;


    (2)判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由.


    【答案与解析】


    (1)135°,


    (2)△ABC和△DEF相似(或△ABC∽△DEF).


    因为,,所以.


    又因为∠ABC=∠DEF=90°+45°=135°,所以△ABC∽△DEF.





    【总结升华】根据正方形的性质和格点三角形的特点,从边角方面去探究两三角形有关角的度数和边的长度,利用两边对应成比例且夹角相等证明两三角形相似.


    举一反三:


    【变式】下列4×4的正方形网格中,小正方形的边长均为1,三角形的顶点都在格点上,则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是( ).





    A. B. C. D.


    【答案】B.


    3. 在正方形ABCD中,P是BC上的点,BP=3PC,Q是CD的中点,求证:△ADQ∽△QCP.





    【答案与解析】


    ∵BP=3PC,Q是CD的中点,


    ∴,


    又∵∠ADQ=∠QCP=90°,


    ∴△ADQ∽△QCP.


    【总结升华】本题考查了相似三角形对应角相等的性质,以及相似三角形的判定.


    4. 如图所示,在△ABC和△DBE中,若.





    (1)△ABC与△DBE的周长差为10 cm,求△ABC的周长;


    (2)△ABC与△DBE的面积之和为170 cm2,求△DBE的面积.


    【答案与解析】


    (1)∵ ,


    ∴ △ABC∽△DBE.


    ∴ ,设△ABC的周长为5k cm,△DBE的周长为3k cm,


    ∴ ,,,


    ∴ △ABC的周长为.


    (2)∵ △ABC∽△DBE,∴ .


    设,.


    ∴ ,解得k=5,


    ∴ .


    【总结升华】相似三角形的周长比等于相似比,相似三角形的面积比等于相似比的平方.


    举一反三


    【变式】如图,在平行四边形ABCD中,E是CD上的一点,DE:EC=2:3,连接AE、BE、BD,且AE、BD交于点F,则S△DEF:S△EBF:S△ABF=( )





    A.2:5:25 B.4:9:25 C.2:3:5 D.4:10:25


    【答案】D.


    5. 如图所示,已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=6,∠ABC=60°,点E,F分别在线段AD,DC上(点E与点A,D不重合),且∠BEF=120°,设,.





    (1)求y与x的函数解析式;


    (2)当x为何值时,y有最大值?最大值是多少?


    【答案与解析】


    (1)在梯形ABCD中,AD∥BC,


    AB=DC=AD=6,∠ABC=60°,所以∠A=∠D=120°,


    所以∠AEB+∠ABE=180°-120°=60°.


    因为∠BEF=120°,所以∠AEB+∠DEF=180°-120°=60°,


    所以∠ABE=∠DEF.


    所以△ABE∽△DEF,所以.


    因为,,所以,


    所以y与x的函数解析式是.


    (2),


    所以当时,y有最大值,最大值为.


    【总结升华】本题考查了等腰梯形的性质,相似三角形的判定和性质,以及二次函数的最值问题.


    举一反三


    【变式】如图所示,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=8,AC=6.若动点D从点B出发,沿线段BA运动到点A为止,运动速度为每秒2个单位长度.过点D作DE∥BC交AC于点E,设动点D运动的时间为x秒,AE的长为y.


    (1)求出y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;


    (2)当x为何值时,△BDE的面积S有最大值,最大值为多少?








    【答案】


    (1)因为DE∥BC,所以△ADE∽△ABC,


    所以.


    又因为AB=8,AC=6,,,


    所以,即,


    自变量x的取值范围为.


    (2)


    .


    所以当时,S有最大值,且最大值为6.


    类型三、位似


    6. 将下图中的△ABC作下列变换,画出相应的图形,指出三个顶点的坐标所发生的变化.


    (1)沿y轴负方向平移1个单位;


    (2)关于x轴对称;


    (3)以C点为位似中心,放大到1.5倍.








    【答案与解析】


    变换后的图形如下图所示.





    (1)将△ABC沿y轴负方向平移1个单位后得到△A1B1C1,


    A1(-5,-1),B1(0,2),C1(0,-1).


    即横坐标不变,纵坐标减小.


    (2)将△ABC关于x轴对称后,得△A2B2C2,A2(-5,0),B2(0,-3),C2(0,0).


    即横坐标不变,纵坐标变为原来的相反数.


    (3)将△ABC以C点为位似中心,放大到1.5倍得△A3B3C3(有2个三角形),


    显然,A3(-5×1.5,0),B3(0,3×1.5),C3(0,0),


    即A3(-7.5,0),B3(0,4.5),C3(0,0),或A3(7.5,0)、B3(0,-4.5)、C3(0,0).


    【总结升华】本题应先按图形变换的要求画出相应的图形,再求出变换后图形的点的坐标,


    第(3)问可先求变换后图形的点的坐标,但注意此时的位似中心是原点.





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