人教版九年级下册27.2.2 相似三角形的性质精品学案设计

这是一份人教版九年级下册27.2.2 相似三角形的性质精品学案设计，共7页。学案主要包含了学习目标，要点梳理，典型例题，答案与解析，总结升华，思路点拨等内容，欢迎下载使用。




【学习目标】


1、探索相似三角形的性质，能运用性质进行有关计算；


2、通过典型实例认识现实生活中物体的相似，能运用图形相似的知识解决一些简单的实际问题（如何把实际问题抽象为数学问题）.


【要点梳理】


要点一、相似三角形的性质


相似三角形的性质及应用 394500


相似形的性质】


1．相似三角形的对应角相等，对应边的比相等.


2. 相似三角形中的重要线段的比等于相似比.


相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比.


要点诠释：要特别注意“对应”两个字，在应用时，要注意找准对应线段.


3. 相似三角形周长的比等于相似比


∽，则


由比例性质可得：





4. 相似三角形面积的比等于相似比的平方


∽，则分别作出与的高和，则























要点诠释：相似三角形的性质是通过比例线段的性质推证出来的.





要点二、相似三角形的应用


1.测量高度


测量不能到达顶部的物体的高度，通常使用“在同一时刻物高与影长的比例相等”的原理解决.





相似三角形的性质及应用 394500


应用举例及总结】


要点诠释：测量旗杆的高度的几种方法：























平面镜测量法 影子测量法 手臂测量法 标杆测量法


2.测量距离


测量不能直接到达的两点间的距离，常构造如下两种相似三角形求解。


1．如甲图所示，通常可先测量图中的线段DC、BD、CE的距离（长度），根据相似三角形的性质，求出AB的长.


2．如乙图所示，可先测AC、DC及DE的长，再根据相似三角形的性质计算AB的长.





要点诠释：


1．比例尺：表示图上距离比实地距离缩小的程度，比例尺= 图上距离/ 实际距离;


2．太阳离我们非常遥远，因此可以把太阳光近似看成平行光线．在同一时刻，两物体影子之比等于其对应高的比;


3．视点：观察事物的着眼点（一般指观察者眼睛的位置）;


4. 仰（俯）角：观察者向上（下）看时，视线与水平方向的夹角．





【典型例题】


类型一、相似三角形的性质


1.（2015•上海）已知，如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，点E在边BC的延长线上，且OE=OB，连接DE．


（1）求证：DE⊥BE；


（2）如果OE⊥CD，求证：BD•CE=CD•DE．





【答案与解析】


证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，


∴BO=BD，


∵OE=OB，


∴OE=BD，


∴∠BED=90°，


∴DE⊥BE；


（2）∵OE⊥CD


∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°，


∴∠CEO=∠CDE，


∵OB=OE，


∴∠DBE=∠CDE，


∵∠BED=∠BED，


∴△BDE∽△DCE，


∴，


∴BD•CE=CD•DE．


【总结升华】本题综合性较强，考查了相似三角形 、直角三角形以及平行四边形相关知识，而熟记定理是解题的关键．


举一反三


【变式】（2015•铜仁市）如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC=3：1，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（ ）





A．3：4B．9：16C．9：1D．3：1


【答案】B．


提示：∵四边形ABCD为平行四边形，


∴DC∥AB，


∴△DFE∽△BFA，


∵DE：EC=3：1，


∴DE：DC=1=3：4，


∴DE：AB=3：4，


∴S△DFE：S△BFA=9：16．


故选：B．











2. （2016•本溪）如图，△ABC中，AC=6，AB=4，点D与点A在直线BC的同侧，且∠ACD=∠ABC，CD=2，点E是线段BC延长线上的动点，当△DCE和△ABC相似时，线段CE的长为 ．





【思路点拨】根据题目中的条件和三角形的相似，可以求得CE的长，本题得以解决．


【答案】3或．


【解析】


解：∵△DCE∽△ABC，∠ACD=∠ABC，AC=6，AB=4，CD=2，


∴∠A=∠DCE，


∴或


即或


解得，CE=3或CE=


故答案为：3或．


【总结升华】本题考查相似三角形的性质，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用三角形的相似解答．


举一反三：


【变式】有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.


【答案】设原地块为△ABC，地块在甲图上为△A1B1C1，在乙图上为△A2B2C2.


∴ △ABC∽△A1B1C1∽△A2B2C2


且，，


∴，


∴.


类型二、相似三角形的应用


3. 如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？








【答案与解析】如上图，先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上．那么A、B之间的距离是多少？


∵AB⊥BC，CD⊥BC


∴∠ABO=∠DCO=90°


又 ∵ ∠AOB=∠DOC


∴△AOB∽△DOC.


∴


∵BO=50m，CO=10m，CD=17m


∴AB=85m


即河宽为85m．


【总结升华】这是一道测量河宽的实际问题，还可以借用相似三角形的对应边的比 相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.





4. 如图：小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m．


(1)图中△ABC与△ADE是否相似?为什么?


(2)求古塔的高度．





【思路点拨】本题考查的是相似三角形的实际应用，要注意的是小明和古塔都与地面垂直，是平行的.


【答案与解析】(1)△ABC∽△ADE．


∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB=∠AED=90°


∵∠A=∠A，∴△ABC∽△ADE


(2)由(1)得△ABC∽△ADE


∴


∵AC=2m，AE=2+18=20m，BC=1.6m，


∴


∴DE=16m


即古塔的高度为16m。


【总结升华】解决相似三角形的实际应用题的关键是题中相似三角形的确定.


举一反三


【变式】小明把一个排球打在离他2米远的地上，排球反弹后碰到墙上，如果他跳起来击排球时的高度是1.8米，排球落地点离墙的距离是7米，假设排球一直沿直线运动，那么排球能碰到墙上离地多高的地方？


【答案】























如图，∵AB=1.8米，AP=2米，PC=7米，作PQ⊥AC,


根据物理学原理知∠BPQ=∠QPD,则∠APB=∠CPD，


∠BAP=∠DCP=90°，


∴ △ABP∽△CDP,


∴,


即,


∴DC=6.3米.


即球能碰到墙上离地6.3米高的地方.