考点02 函数的概念与性质（9月）-2020-2021学年高一《新题速递·数学》（人教版）

考点02 函数的概念与性质

一、选择题
1．（2020·山西应县一中高二期中（文））已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】由题意结合函数的解析式分别求得的值，然后求解两者之差即可.
【详解】由题意可得：，，
则.
故选A.
【点睛】求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
2．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）已知函数则=（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】C
【解析】
【分析】先求，注意选取的表达式为，然后再计算要选取计算．
【详解】∵函数，∴，．
故选C.
【点睛】本题考查分段函数，解题时要注意自变量在不同范围内选取的表达式不相同．
3．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）下列函数中，与表示同一函数的一组是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【解析】
【分析】依次判断两个函数的定义域和对应法则，值域是否相同即可.
【详解】对于A. 与，定义域是R，定义域是，故两者不是同一函数；B. 与，表达式不同，故不是同一函数；C. 与，定义域相同，对应法则相同，故是同一函数；D. 定义域是R，定义域内没有0，故两者的定义域不同，不是同一函数.
故答案为C.
【点睛】这个题目考查了函数的三要素，判断函数是否为同一函数主要是看两个函数的三要素是否形同；其中两个函数的对应法则相同和定义域相同则两个函数一定是同一个函数，定义域相同和值域相同则两个函数不一定为同一函数.
4．（2020·上海高一开学考试）函数的定义域为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．
【详解】由，解得x≥且x≠2．
∴函数的定义域为．
故选C．
【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，是基础的计算题．
5．（2020·浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】如图，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，不符合函数的定义，即得解．
【详解】函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.

故选C．
【点睛】本题主要考查函数的概念，解题的关键是掌握函数的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
6．（2020·上海高一开学考试）已知函数，则的值为（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】将从里到外的每一个函数值代入分段函数里算出即可.
【详解】由题意得,,
,
,
所以,
故选A.
【点睛】本题考查了分段函数的计算,属于基础题.
7．（2020·全国高一开学考试）若，则的解析式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】设t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，由此能求出函数f（x）的解析式．
【详解】解：f（1）＝x+，
设t，t≥1，则x＝（t﹣1）2，
∴f（t）＝（t﹣1）2+t﹣1＝t2﹣t，t≥1，
∴函数f（x）的解析式为f（x）＝x2﹣x（x≥1）．
故选C．
【点睛】本题考查函数的解析式的求法，考查函数定义域等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
8．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高一月考）是集合到集合的映射，如果，那么只可能是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【解析】
【分析】根据映射的定义求出中的可能元素．然后求．
【详解】若，则，若，则，1和－1中至少有一个属于，和中至少有一个属于，若，则，若，则，．
故选D．
【点睛】本题考查映射的概念，考查集合的交集运算，属于基础题型．
9．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高一月考）下列四组函数中，与表示同一函数是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【解析】
【分析】根据同一函数的要求，两个函数的定义域和对应法则应相同，对四个选项中的两个函数分别进行判断，得到答案.
【详解】两个函数如果是同一函数，则两个函数的定义域和对应法则应相同，
A选项中，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，所以A错误；
B选项中，，与定义域相同，都是，对应法则也相同，所以二者是同一函数，所以B正确；
C选项中，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数， 所以C错误；
D选项中，定义域为，的定义域为，所以二者不是同一函数，所以D错误.
故选B
【点睛】本题考查两个函数为同一函数的判断，属于基础题.
10．（2019·浙江湖州?高一期中）下列对应关系是从集合到集合的函数的是（ ）
A．，，：
B．，，：
C．，，：
D．，，：
【答案】D
【解析】
【分析】根据函数的概念和对应关系进行判断即可．
【详解】A.，，：不是函数关系，∵当x＝0时，|0|＝0，|x|＞0不成立，∴不是函数关系；
B. ，，：的定义域是，不是，当时，无意义，∴不是函数关系；
C. ，，：的定义域是，不是，当是负整数时，无意义，∴不是函数关系；
D. ，，：是函数关系.
故选D
【点睛】本题主要考查函数关系的判断，根据函数的定义确定元素之间的对应关系是解决本题的关键，属于基础题．
11．（2019·浙江高一期中）函数的定义域是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意，得到，且，求解，即可得出结果.
【详解】由题意可得：，且，得到，且，
故选D
【点睛】本题主要考查具体函数的定义域，只需求出使解析式有意义的自变量的范围即可，属于基础题型.
12．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）下列四组函数中,表示同一函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】根据两个函数的定义域和对应关系是否都相同,来判断是否是同一函数.
【详解】对于A:， ，两个函数的定义域和对应关系都相同,表示同一函数；
对于B:的定义域为R,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;
对于C.的定义域为,的定义域为,两个函数的定义域不同,不是同一函数;
对于D.的定义域为,的定义域为或,两个函数的定义域不同,不是同一函数.
故选A.
【点睛】本题考查了函数的概念,属基础题.
13．（2019·江门市第二中学高一月考）设函数，则的值为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【详解】因为时，
所以；
又时，，
所以故选A.
本题考查分段函数的意义,函数值的运算.
14．（2019·江西南康中学高一月考）设，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】试题分析：，．故C正确．
考点：复合函数求值．
15．（2020·全国高一开学考试）如果在区间上为减函数，则的取值（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意，利用一元二次函数的性质，对进行讨论，即可推得答案。
【详解】由题意，当时，可得，在上是单调递减，满足题意，当时，显然不成立；当时，要使在上为减函数，则，解得：.综上：可得
故选.
【点睛】本题主要考查根据一元二次函数的性质求参数。
16．（2020·全国高一课时练习）若函数，是定义在上的减函数，则a的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】结合函数的单调性，可得，求解即可.
【详解】因为函数是定义在上的减函数，所以，解得.
故选A.
【点睛】本题考查函数单调性的应用，考查学生的计算求解能力，属于中档题.
17．（2020·全国高一课时练习）函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是（ ）

A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】根据单调函数的定义直接得到答案
【详解】由图可知，自左向右看图象是上升的是增函数，则函数的增区间是
故选C
【点睛】本题考查根据函数图象求函数单调区间.属于基础题
18．（2020·林芝市第二高级中学高二期末（文））已知函数，若，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】判断出函数是奇函数，从而根据的值可求出的值.
【详解】函数的定义域为，，
函数为奇函数，则.
故选B.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求函数值，推导出函数的奇偶性是解答的关键，考查推理能力与计算能力，属于基础题.
19．（2019·湖南汨罗�高一月考）已知偶函数在区间上单调递增，则满足的取值范围（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】由已知可得：，解不等式即可。
【详解】因为偶函数在区间上单调递增，且满足，
所以，解得：
故选A
【点睛】本题主要考查了函数奇偶性、单调性的应用，属于中档题。
20．（2020·全国高一）定义在上的偶函数满足，且在[－1，0]上单调递减，设，，，则、，大小关系是（）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】由可求函数周期2，利用周期及偶函数可转化为在[－1，0]上的函数值，利用单调性比较大小.
【详解】∵偶函数满足，∴函数的周期为2.
由于，
，
，
.且函数在[－1，0]上单调递减，∴.
【点睛】本题主要考查了函数的周期性，单调性及偶函数的性质，属于中档题.
21．（2020·安徽金安�六安一中高一月考）已知是定义在上的奇函数，且对任意总有，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】根据，得到，再结合奇偶性求解.
【详解】因为，
所以，
所以
所以
故选B
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和周期性的应用，还考查运算求解的能力，属于中档题.
22．（2020·陕西西安�高三二模（理））已知是定义在上的偶函数，是定义在上的奇函数，则的值为（ ）
A． B．1 C．0 D．无法计算
【答案】C
【解析】
【分析】先由f（x）是定义在R上的偶函数得f（﹣x）＝f（x），然后利用与f（x）的关系，以及的奇偶性，得f（x+1）+f（x﹣1）＝0，从而得到要求的数值．
【详解】因为是定义在上的奇函数，．因为是定义在上的偶函数，所以，可得，所以，因此．
故选C．
【点睛】本题考查了函数奇偶性的性质，以及整体代换思想，是个基础题．
23．（2019·浙江南湖�嘉兴一中高一月考）设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】因为是定义在上的奇函数,且当时,,则当,有,,可得,即在上是单调递增函数,且满足,结合已知,即可得求答案.
【详解】 是定义在上的奇函数,且当时,
当,有,
即

在上是单调递增函数,且满足
不等式在恒成立,
,恒成立
对恒成立

解得:
则实数的取值范围是:.
故选:A.
【点睛】本题考查了根据函数不等式恒成立求参数,解题关键是掌握奇函数的性质和函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
24．（2020·湖北荆门�高三期末（文））定义在上的奇函数满足，，则的值是( )
A．-1 B．-2 C．1 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】先确定函数的周期，由周期性变形，再由奇函数定义求值．
【详解】∵是奇函数，∴，∴，
∴是是周期为6的周期函数，
∴
故选B．
【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性，利用周期变化自变量的大小以便求值是解这类问题的常用方法．
二、填空题
25．（2020·全国高一课时练习）已知函数是偶函数，且，则______.
【答案】5.
【解析】
【分析】设，利用函数的奇偶性建立方程即可得结果.
【详解】因为是偶函数，
所以设，
则，
即，
因为，所以，
即，
故答案是：5.
【点睛】该题考查的是有关根据条件求函数值的问题，涉及到的知识点有偶函数的定义和性质，以及整体思维的应用，属于简单题目.
26．（2019·西藏城关�拉萨那曲第二高级中学高一期末）已知，若，则 ．
【答案】
【解析】试题分析：设，则，所以函数为奇函数，由，则，则，则，所以．
考点：函数奇偶性应用．
27．（2019·东至县第三中学高一期中）设是定义在R上的奇函数，且当时，，若对任意的，不等式恒成立，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】结合奇偶性求解函数的解析式，结合解析式的特点及单调性求解.
【详解】由题意知，则，
所以恒成立等价于恒成立.
由题意得在R上是增函数，
所以恒成立，即恒成立.
又，所以当时，取得最大值
所以，解得.
故实数a的取值范围是.
故答案为：.
【点睛】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，稍有综合性，化为同名函数是求解关键，侧重考查数学抽象的核心素养.
28．（2020·山西应县一中高二期中（文））函数的定义域为_____________.
【答案】
【解析】
【分析】要使根式有意义，则需，再解对数不等式即可得解，特别要注意对数的真数大于0.
【详解】解：要使函数有意义，则需，
则，即，解得：，
即函数的定义域为： ，
故答案为.
【点睛】本题考查了函数定义域的求法，重点考查了对数不等式的解法，属基础题.
29．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）函数的定义域为_____.
【答案】；
【解析】
【分析】根据分式的定义和根式有意义的条件，进行求解．
【详解】解：函数解析式，
且，
且．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
30．（2020·江苏南通?高二期末）已知函数，则________.
【答案】4
【解析】
【分析】本题根据分段函数由内向外求函数值即可.
【详解】解：∵ ，
∴ ，，
故答案为：4.
【点睛】本题考查分段函数求函数值，是基础题.
31．（2020·全国高一课时练习）函数 有意义的自变量的取值范围是_____________.
【答案】
【解析】
【分析】要使函数有意义，只要确保根号里面的函数大于等于零即可。
【详解】函数 有意义，则，解得，所以答案为.
【点睛】本题主要考查函数的定义域，较基础。
32．（2020·全国高一开学考试）若对于任意实数都有，则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】由对于任意实数都有，列方程组，求出，由此能求出的值．
【详解】解：对于任意实数都有，
，
解得，
．
故答案为：．
【点睛】本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
33．（2020·浙江鄞州?宁波华茂外国语学校高三一模）设函数，若恒成立，则实数的值为_____.
【答案】
【解析】
【分析】因为恒成立，所以，解得或，验证和，即可得出的值.
【详解】因为恒成立，所以
即，解得：或
当时，，，则不满足条件
当时，，，则满足条件
故答案为：
【点睛】本题主要考查了求解析式中参数的值，属于基础题.
34．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高一月考）已知，则______________.
【答案】8
【解析】
【分析】先用换元法求出函数解析式，再计算函数值．
【详解】，则，代入得：
，∴，
∴．
故答案为：8．
【点睛】本题考查求函数解析式，求函数值，解题方法是换元法．另解：令，则，∴．
35．（2019·浙江南湖?嘉兴一中高一月考）已知，若，则______________.
【答案】
【解析】
【分析】先解，设其解为，再解．
【详解】时，，∴由知，∴，，
而，因此由知，即，．
故答案为：．
【点睛】本题考查分段函数，由分段函数值求自变量的值．解题时可根据函数解析式确定函数的值域，以确定在已知函数值时的函数表达式．
36．（2020·全国高三课时练习（理））设函数f(x)＝若f(f(a))≤2，则实数a的取值范围是__________.
【答案】
【解析】
【分析】对的符号进行分类讨论，带入相应的解析式求解不等式，可得f(a)≥－2，再对a的符号进行分类讨论代入相应解析式求解不等式即可.
【详解】当时，f(f(a))≤2即为，，
解得，所以；
当时，f(f(a))≤2即为，因为恒成立，所以满足题意.
所以f(a)≥－2，则或 ，解得.
故答案为：
【点睛】本题考查利用分段函数的性质解不等式，考查分类讨论思想，属于较难题.
37．（2020·全国高一课时练习）函数的定义域为________．
【答案】.
【解析】
【分析】根据二次根式和分式需要满足的条件，得到关于x的不等式组，解出即可
【详解】由题意，自变量x应满足
解得－3 故答案为：.
【点睛】该题考查的是有关函数的问题，涉及到的知识点有函数定义域的求法，属于基础题目.
38．（2020·全国高一课时练习）下列各组函数中，表示同一个函数的是__________(填序号).
（1）y＝x－1和y＝；
（2）y＝x0和y＝1；
（3）f(x)＝x2和g(x)＝(x＋1)2；
（4）f(x)＝和g(x)＝.
【答案】（4）
【解析】
【分析】分别求解对应函数的定义域，并化简函数解析式，逐一进行判断即可.
【详解】（1）的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；
（2）的定义域为；的定义域为，定义域不同，故不是同一个函数；
（3）两个函数的对应关系不同，故不是同一个函数；
（4）因为两个函数的定义域均为，且，故两函数是同一个函数.
故答案为：（4）
【点睛】本题考查判断两个函数是否相等，需要从定义域和对应关系，两方面进行比较.
39．（2019·山东济宁?高一月考）使有意义的的取值范围是_______________
【答案】，且
【解析】
【分析】根据偶次方根被开方数为非负数、分数的分母不等于零列不等式组，解不等式组求得的取值范围.
【详解】依题意，解得且.
故填：，且.
【点睛】本小题主要考查函数定义域的求法，考查一元二次不等式的解法，属于基础题.
40．（2019·内蒙古集宁一中高三月考）已知，则=_______
【答案】
【解析】
【分析】换元法:令,解出,再将代入,得,从而可得.
【详解】令,则,
所以,
所以.
故答案为:.
【点睛】本题考查了用换元法求函数解析式,换元时,一定要注意新元的取值范围,属中档题.
41．（2020·长春市第二十九中学高二月考（文））设函数 ，则________.
【答案】15
【解析】
【分析】根据分段函数，先计算，然后计算即可.
【详解】由题可知：
所以
则
故答案为：15
【点睛】本题考查根据分段函数进行求值，根据自变量的范围，正确判断使用哪个表达式，属基础题.
42．（2020·全国高一课时练习）已知函数在区间上具有单调性，则实数的取值范围为________．
【答案】(－∞，1]∪[2，＋∞)
【解析】
【分析】【详解】∵函数 在区间 上具有单调性，
函数的对称轴为或
故的取值范围为或.
故答案为:．
【点睛】本题考查的知识点是二次函数，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
43．（2020·全国高一课时练习）若函数f(x)＝(4－x)(x－2)在区间(2a，3a－1)上单调递增，则实数a的取值范围是________.
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的性质列出不等式组，求解即可.
【详解】f(x)是开口向下的二次函数，其对称轴x＝3
解得
故答案为：
【点睛】本题主要考查了根据函数的单调性求参数的范围，属于中档题.
44．（2020·全国高一课时练习）函数在上是减函数，且，则的取值范围是________.
【答案】(－1，1)
【解析】
【分析】根据函数单调性的性质将不等式进行转化即可．
【详解】解：函数在上是减函数，且，
，
解得，
故答案为：
【点睛】本题主要考查函数单调性的逆用，属于基础题．
45．（2020·浙江高一课时练习）已知函数是上的增函数，且对一切实数都成立，则实数的取值范围是________.
【答案】.
【解析】
【分析】根据增函数定义化不等式不一元二次不等式恒成立，从而易得结论．
【详解】∵是上的增函数，
∴，即对一切都成立，
∴.
故答案为：．
【点睛】本题考查函数的单调性，不等式恒成立问题，解题关键是在于问题的转化，用分离参数法转化为求函数的最值．
三、双空题
46．（2019·浙江高一期中）设函数，则____，使得的实数的取值范围是_____．
【答案】4
【解析】
【分析】根据函数解析式，由内而外，逐步代入，即可求出；分和两种情况，结合函数解析式，即可求出实数的取值范围.
【详解】因为，所以，因此；
当时，可化为，即显然恒成立，所以；
当时，，解得；
综上，.
故答案为4；
【点睛】本题主要考查由分段函数求函数值，以及解不等式，熟记函数的概念，以及一元二次不等式解法即可，属于常考题型.
47．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝ (x≠－1)，g(x)＝x2＋2，则f（2）＝________，f(g（2）)＝________.
【答案】
【解析】
【分析】根据函数解析式，代值计算即可求得，以及，再求即可.
【详解】因为，故可得；
又，故可得；
故.
故答案为：；.
【点睛】本题考查函数值的求解，属简单题.
48．（2019·江苏苏州�高一期末）已知函数的图象关于直线对称，则 ______； 函数的最小值为 _________.
【答案】5
【解析】
【分析】根据函数图像的对称性可得,可对进行赋值,求,构造函数，根据二次函数的性质，即可得出结果.
【详解】因为图像关于直线对称,所以
当时,得①
当时,得②
联立①②可得:,所以；
所以,
令,
则，
因为是开口向上，对称轴为，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以.
故答案为:
【点睛】本题主要考查由函数对称性求参数，以及求函数最值的问题，熟记函数对称性，以及二次函数的性质即可，属于常考题型.
49．（2020·浙江高一单元测试）函数在区间上的最大值为______，最小值为______．
【答案】9 1
【解析】
【分析】根据二次函数的开口方向和对称轴，结合函数的定义域，求得函数的最大值和最小值.
【详解】，该二次函数的开口向上，而，故当时，；当时，．
故答案为：9；1
【点睛】本小题主要考查二次函数在给定区间上的最大值和最小值的求法，属于基础题.
四、解答题
50．（2020·山东省枣庄市第十六中学高一月考）已知f（x）=（x∈R，且x≠﹣1），g（x）=x2+2（x∈R）．
（1）求f（2）、g（2）的值；
（2）求f[g（3）]的值．
【答案】（1）f（2）=，g（2）=6．（2）f[g（3）]=．
【解析】试题分析：利用函数的性质求解．
解：（1）∵f（x）=（x∈R，且x≠﹣1），g（x）=x2+2（x∈R），
∴f（2）=，
g（2）=22+2=6．
（2）g（3）=32+2=11，
f[g（3）]=f（11）==．
考点：函数的值．
51．（2020·全国高一课时练习）求下列函数的定义域.
（1）y＝3－；
（2）y＝－；
（3）y＝；
（4）y＝－＋.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）.
【解析】
【分析】（1）由题意结合一次函数的性质即可得解；
（2）由题意结合二次根式的性质即可得解；
（3）由题意结合二次根式、分式及零次幂的性质即可得解；
（4）由题意结合二次根式、分式的性质即可得解.
【详解】（1）因为函数y＝3－为一次函数，
所以该函数的定义域为全体实数；
（2）由题意可得，解得，
所以该函数的定义域为；
（3）由题意得，解得且，
所以该函数的定义域为；
（4）由题意得，解得且，
所以该函数的定义域为.
【点睛】本题考查了常见函数定义域的求解，考查了二次根式、分式、零次幂的性质的应用及运算求解能力，属于基础题.
52．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝ (x≠－1).求：
（1）f(0)及的值；
（2）f(1－x)及f(f(x)).
【答案】（1），；（2），.
【解析】
【分析】（1）分别令、，可得、，进而可得；
（2）分别将替换为、，注意定义域的变化，代入即可得解.
【详解】（1）因为，
所以，，
所以；
（2）因为，
所以，
.
【点睛】本题考查了函数解析式的应用，考查了运算求解能力，细心计算、注意定义域的变化是解题关键，属于基础题.
53．（2020·全国高一课时练习）判断下列对应是否为函数：
（1）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
（2）x→y＝x，x∈{x|0≤x≤6}，y∈{y|0≤y≤3}；
（3）x→y＝3x＋1，x∈R，y∈R.
【答案】（1）不是；（2）是；（3）是
【解析】
【分析】（1）根据函数概念知，当时，在没有值与对应，所以不是函数；
（2）根据函数概念，对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数；
（3）根据函数概念，对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数；
【详解】（1）根据函数概念知，当时，在没有值与对应，所以不是函数；
（2）根据函数概念，当时，，所以对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数；
（3）根据函数概念，对于每一个值，都有唯一的值与之对应，所以是函数；
【点睛】本题主要考查函数的概念，考查学生对概念的理解.
54．（2020·全国高一课时练习）作出下列函数的图象并求其值域.
（1）y＝1－x(x∈Z且|x|≤2)；
（2）y＝2x2－4x－3(0≤x<3).
【答案】（1）图象见解析，值域为；（2）图象见解析，值域为.
【解析】
【分析】（1）由题意可转化条件为，求出对应的的取值，结合一次函数的图象即可得函数图象，由函数图象即可得函数的值域；
（2）由题意可转化条件为，结合二次函数的图象可得函数图象，由函数图象即可得函数的值域.
【详解】（1）因为x∈Z且|x|≤2，所以，
当时，；当时，；
当时，；当时，；
当时，.
所以该函数图象为一条直线上孤立的点，如图：

由图象可知，，
所以该函数的值域为；
（2）因为，
所以当时，；当时，；
当时，；
因为，所以该函数图象为抛物线的一部分，如图：

由图象可知，，
所以该函数的值域为.
【点睛】本题考查了常见函数图象的绘制及利用函数图象求函数的值域，熟练掌握常见函数的图象是解题关键，属于基础题.
55．（2020·全国高一课时练习）画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题.
（1）比较f(0)，f（1），f（3）的大小；
（2）若x1 （3）求函数f(x)的值域；
（4）若关于x的方程f(x)＝k在[－1，2]内仅有一个实根，求k的取值范围.
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）或.
【解析】
【分析】（1）由题意结合二次函数的图象与性质画出函数图象，数形结合即可得解；
（2）由函数图象可得函数在时的单调性，即可得解；
（3）由函数图象数形结合即可得解；
（4）转化条件为直线与函数在上的图象仅有一个交点，数形结合即可得解.
【详解】由题意，
可画出函数的图象如图：

（1）由图象可知，，，，
所以；
（2）根据图象可知，当时，函数单调递增，
因为，所以；
（3）由图象可知，函数的最大值为，
所以函数的值域为；
（4）若关于x的方程f(x)＝k在[－1，2]内仅有一个实根，
则直线与函数在上的图象仅有一个交点，且，
数形结合可知或.
【点睛】本题考查了二次函数图象的绘制及应用，考查了函数与方程的关系及数形结合思想、转化化归思想，属于基础题.
56．（2020·全国高一课时练习）求证：函数f(x)＝x＋在[1，＋∞)上是增函数.
【答案】证明见详解.
【解析】
【分析】根据函数单调性定义，计算，确定其正负，即可证明.
【详解】证明：在区间上任取，
则


因为，故可得；
又因为，故可得.
故，即.
故在区间上单调递增.
【点睛】本题考查用函数单调性的定义证明函数的单调性，属基础题.
57．（2020·全国高一课时练习）证明在其定义域上是增函数.
【答案】证明见解析；
【解析】
【分析】直接利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；
【详解】证明：函数的定义域为
设且，

因为，所以，所以，即
所以在其定义域上是增函数.
【点睛】本题考查定义法证明函数的单调性，属于基础题.
58．（2020·浙江高一课时练习）已知函数.
（1）用定义证明在区间上是增函数.
（2）求该函数在区间上的最大值与最小值.
【答案】（1）证明见解析；（2），.
【解析】
【分析】（1）用单调性定义证明，任取，，且，然后证明；
（2）由（1）的单调性易得最值．
【详解】（1）任取，，且，则.
∵，∴，，
∵，即，
故函数在区间上是增函数.
（2）由（1）知函数在区间上是增函数，
∴，.
【点睛】本题考查函数的单调性，掌握单调性的定义是解题关键．
59．（2020·全国高一课时练习）已知一元二次函数．
（1）写出该函数的顶点坐标；
（2）如果该函数在区间上的最小值为，求实数的值.
【答案】（1）；（2）或.
【解析】
【分析】（1）根据二次函数的顶点坐标公式可求出二次函数图象的顶点坐标；
（2）分析二次函数的开口方向和对称轴，就对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分析二次函数在区间上的增减性，可求出二次函数在上的最小值，从而可解出实数的值.
【详解】（1）由二次函数顶点的坐标公式，
顶点横坐标，顶点纵坐标.
所以抛物线的顶点坐标为；
（2）二次函数图象开口向上，对称轴为，在区间上的最小值，分情况：
①当时，即当时，二次函数在区间上随着的增大而增大，
该函数在处取得最小值，即，
解得，又，所以；
②当时，即当时，二次函数在区间上随着的增大而减小，在区间上随着的增大而增大，该函数在处取得最小值，即，
解得，舍去；
③当时，即当时，二次函数在区间上随着的增大而减小，
该函数在处取得最小值，即，
解得，又，解的.
综上，或.
【点睛】本题考查二次函数的顶点坐标的计算，考查二次函数在定区间上的最值，解题时要注意对二次函数的对称轴与区间的位置关系进行分类讨论，分析函数的增减性，利用增减性求解，考查分类讨论数学思想的应用，属于中等题.
60．（2020·浙江高一课时练习）已知函数，其中是非零实数，.求的单调区间.
【答案】当时，在，上递增，在，递减；当时，在，上单调递减.
【解析】
【分析】求定义域，对分，和讨论，当时，为对勾函数，得到单调区间，当和可根据单调性的性质得到单调区间.
【详解】函数的定义域为，
当时，为对勾函数.在单调递增，
在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增.
当时，，在，上单调递减.
当时，，在，上单调递减.
故当时，在，上递增，
在，递减；
当时，在，上单调递减.
【点睛】本题考查了函数的单调性，单调性的性质，对勾函数的单调区间，还考查了分类讨论思想，属于中档题.
61．（2020·浙江高一课时练习）用定义法证明函数在定义域内是减函数．
【答案】见解析
【解析】
【分析】直接利用函数单调性的定义进行证明，设在R上任取两个数x1，x2，且x1＞x2，然后判定f（x1）﹣f（x2）的符号，从而得到结论．
【详解】设在R上任取两个数x1，x2，且x1>x2；
则f（x1）–f（x2）=–x1–（–x2）
=–+（x2–x1）
=+（x2–x1）
=（x1–x2）（–1）
∵x1>x2，∴x1–x2>0，–1<0，
则f（x1）–f（x2）<0，
∴函数在R上是减函数．
【点睛】本题主要考查了函数单调性的证明，解题的关键是化简判定符号，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．
62．（2019·浙江瓯海�温州中学高一月考）已知函数是奇函数，且当时，，
（1）求函数的表达式
（2）求不等式的解集
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】（1）求出函数x＜0的解析式，即得解；（2）分三种情况解不等式最后综合得解.
【详解】解：（1）根据题意，函数是奇函数，则，
当时，，则，
又由函数为奇函数，则，
则，
（2）根据题意，，
当时，，此时即，解可得，此时不等式的解集为，
当时，，成立；此时不等式的解集为，
当时，，此时即，解可得，此时不等式的解集为，
综合可得：不等式的解集或．
【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查分类讨论解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
63．（2020·全国高一月考）已知是定义域为的偶函数，且当时，．
（1）当时，求函数的表达式；
（2）求证：在区间上是减函数，在上是增函数，并写出函数取得最小值时的取值．
【答案】（1）；（2）见解析，当时，函数取值最小值.
【解析】
【分析】（1）设，可得，由偶函数的定义可得，进而可求得结果；
（2）设，作差，化简变形、因式分解，然后分和两种情况讨论的符号，即可得出题干中的结论，结合单调性与奇偶性可得出函数取值最小值时对应的值.
【详解】（1）当时，，由已知得．
函数是偶函数，；
（2）设，则．
当时，，，，
，即，所以，函数在上是减函数；
当时，，，，即，所以，函数在上是增函数．
由函数是偶函数，及单调性知当时，函数取得最小值.
【点睛】本题考查利用函数的奇偶性求解析式，同时也考查了利用定义证明函数的单调性以及利用函数的基本性质求函数的最值，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
64．（2019·纳雍县第五中学高一期中）函数的定义域为,且对任意,有,且当时.
（1）证明:是奇函数;
（2）证明:在上是减函数;
（3）求在区间上的最大值和最小值.
【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) 最大值是6,最小值是-6.
【解析】
【分析】（1）令x＝y＝0，则可得f（0）＝0；y＝﹣x，即可证明f（x）是奇函数，
（2）设x1＞x2，由已知可得f（x1﹣x2）＜0，再利用f（x+y）＝f（x）+f（y），及减函数的定义即可证明．
（3）由（2）的结论可知f（﹣3）、f（3）分别是函数y＝f（x）在[﹣3、3]上的最大值与最小值，故求出f（﹣3）与f（3）就可得所求值域．
【详解】（1）因为的定义域为,且,
令得,所以;
令,则,所以,
从而有,所以,所以是奇函数.
（2）任取,且,
则
,
因为,所以,所以,所以,
所以,从而在上是减函数.
（3）由于在上是减函数,
故在区间上的最大值是,最小值是,
由于,所以
,
由于为奇函数知， ,
从而在区间上的最大值是6,最小值是6.
【点睛】本题考查了抽象函数的奇偶性和单调性，深刻理解函数奇偶性和单调性的定义及充分利用已知条件是解决问题的关键．
65．（2020·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．
（1）f(x)＝2x＋；　　　　　　（2）f(x)＝2－|x|；
（3）f(x)＝＋； （4）f(x)＝.
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数.
【解析】
【分析】（1）先求定义域，然后计算，可得，可得结果.
（2）先求定义域，然后计算，可得，可得结果.
（3）先求定义域，然后计算，可得，可得结果.
（4）先求定义域，简单判断可得结果.
【详解】（1）函数的定义域为，
由，
所以函数为奇函数
（2）函数的定义域为
由
所以函数为偶函数
（3）由，所以函数的定义域为
又，所以函数既是奇函数又是偶函数
（4）由，所以函数的定义域为
因为定义域不关于原点对称，所以函数为非奇非偶函数.
【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，主要两点：（1）函数定义域；（2）与之间的关系，属基础题.
66．（2020·浙江高一单元测试）已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【详解】（1）∵数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．
∴，∴＜x＜，
函数g（x）的定义域（，）．
（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，
∴f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），
∴，∴＜x≤2，
故不等式g（x）≤0的解集是 （，2]．