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专题三 函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习）
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这是一份专题三 函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》9月刊（江苏专用 适用于高考复习），文件包含专题三函数的概念图像和性质原卷版docx、专题三函数的概念图像和性质解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共79页， 欢迎下载使用。
专题三 函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·四川泸州�高三其他（文））已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断函数的单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，当时，在定义域上单调递增，且，当时，要使，则解得，即
故选：C
【点睛】
本题考查分段函数的性质的应用，属于中档题.
2．（2020·湖南省岳阳县第一中学高三月考）函数的图象大致是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先通过特殊值排除，再根据零点存在定理，可知在时存在零点，排除，可得结果.
【详解】
当时， 选项可排除
当时，
可知，故在上存在零点，选项可排除
本题正确选项：
【点睛】
本题考查由解析式判断函数图像，解决此类问题通常采用排除法，通过单调性、奇偶性、特殊值、零点的方式排除错误选项，得到最终结果.
3．（2020·通榆县第一中学校高二期末（文））设，若，则（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分和两种情况解方程，可得出实数的值.
【详解】
，当时，令，解得；
当时，令，解得.
综上，或.
故选：C.
【点睛】
本题考查分段函数方程的求解，要注意对自变量的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于基础题.
4．（2020·北京市第五中学高三其他）已知函数，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
,
故选A；
5．（2020·福建高三其他（文））已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算，再计算．
【详解】
由题意，所以．
故选：A．
【点睛】
本题考查求分段函数值，最幂与对数的运算，解题关键是要判断自变量的取值范围，根据不同的取值范围选取不同的表达式计算．
6．（2020·枣庄市第三中学高一月考）下列函数中，是同一函数的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】
【分析】
考虑各选项中的函数的定义域和对应法则是否相同后可得正确的选项.
【详解】
A中的函数 ，故两个函数的对应法则不同，故A中的两个函数不是相同的函数；
B中函数的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；
C中的函数的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；
D中的函数定义域相同，对应法则相同，故两个函数为同一函数，
综上，选D.
【点睛】
本题考查两个函数相同的判断方法，应先考虑函数的定义域，再考虑函数的对应法则，这两个相同时才是同一函数.
7．（2020·枣庄市第三中学高一月考）下列函数中，值域是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用反比例函数，复合函数，一次函数，二次函数的单调性即可求得各个函数的值域，可得答案．
【详解】
解：、函数在上是增函数，函数的值域为，故错；
、函数，函数的值域为，故错；
、函数的定义域为，因为，所以，故函数的值域为
、函数的值域为，故错；
故选：C．
【点睛】
本题考查，二次函数，一次函数的值域，考查学生发现问题解决问题的能力，属于基础题．
8．（2020·枣庄市第三中学高一月考）函数的定义域为( )
A．且 B．且 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质结合分母不为0，求出函数的定义域即可.
【详解】
由题意得：，
解得： 且.
故选：.
【点睛】
本题考查了求函数的定义域问题，根据具体函数的本身限制条件列出不等式组是解题的关键，是道基础题.
9．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的定义域为，得，求出的取值范围作为函数的定义域.
【详解】
的定义域为，即，，
所以，函数的定义域为，故选C.
【点睛】
本题考查抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点：
（1）函数的定义域指的是自变量的取值范围；
（2）对于函数和的定义域的求解，和的值域相等，由此列不等式求出的取值范围作为函数的定义域.
10．（2020·湖南省岳阳县第一中学高三月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数在上是增函数
C．函数的图象关于直线x＝1对称
D．函数的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB//x轴
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意分离常数得，结合函数图象的变换可画出函数的图象，数形结合逐项判断即可得解.
【详解】
由题意，
则该函数的图象可由函数的图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到，如图，
由图象可得：
函数的图象关于点中心对称，故A正确；
函数在上是减函数，故B错误；
函数的图象不关于直线x＝1对称，故C错误；
函数的图象上不存在两个点的纵坐标相同，所以不存在两点A，B，使得直线AB//x轴，故D错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数图象的变换及应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题.
11．（2020·安徽庐阳�合肥一中高二开学考试）若函数的最小值3，则实数的值为（ ）
A．5或8 B．或5 C．或 D．或
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.
12．（2020·安徽庐阳�合肥一中高二开学考试）已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意，均满足：．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：时，而也为偶函数，所以，选C.
考点：利用函数性质解不等式
【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
13．（2020·通榆县第一中学校高二期末（文））下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的才能符合条件，要从这两个方面进行判断，这两个方面可以借助于图象，也可以直接利用奇函数的定义和函数单调性的判定方法进行求解.
【详解】
选项A中，设函数，，函数是偶函数，不符合题意；
选项B中，设函数，，则函数为非奇非偶函数，选项B不符合题意；
选项C中，函数的定义域为，则为非奇非偶函数，选项C不符合题意；
选项D中，是单调递增且满足，则是奇函数，符合条件.
故选D.
【点睛】
本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性，注意它们的判定方法，属基础题.
14．（2020·通榆县第一中学校高二期末（文））已知是定义在R上的偶函数，并满足：，当，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由，证明函数为周期为4的周期函数，再利用周期性和对称性，将转化到时求解.
【详解】
，
，
，即函数的一个周期为4．
．
是定义在R上的偶函数，
．
当，，
．
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了函数的周期性和函数的奇偶性，还考查转化求解问题的能力，属于中档题．
15．（2020·全国高三其他（理））已知是定义在上的偶函数，对任意都有，且，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数是偶函数和对称性求出函数的周期，再化简计算得出的值．
【详解】
由，知为周期函数，且周期，则．
故选:A
【点睛】
本题考查函数的性质，涉及到奇偶性，对称性和周期性，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．
16．（2020·黑龙江萨尔图�大庆实验中学高三开学考试（文））函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据函数的奇偶性排除A，C选项，再根据函数在上的单调性排除D.
【详解】
，为偶函数，排除A，C选项；
当时，，，排除D选项，故选B．
故选B
【点睛】
本题考查函数图象的辨别，可以利用函数的定义域、单调性及奇偶性来排除选项，属于基础题.
17．（2020·全国高三其他（文））已知函数为奇函数，且，则（ ）
A． B．7 C．0 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据为奇函数，可求得a，b的值，代入所求，即可得结果.
【详解】
当时，，，又是奇函数，所以，
所以，，
所以，
所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查奇函数定义的应用，分段函数求值问题，考查计算化简的能力，属基础题.
18．（2020·湖北黄石港�黄石一中高二期末）已知三个函数y=x3，y=3x，，则( )
A．定义域都为R B．值域都为R
C．在其定义域上都是增函数 D．都是奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据各选项性质对每个函数进行判断，
【详解】
函数的定义域为（0，+∞），即A错误；
函数y=3x的值域是（0，+∞），即B错误；
函数y=3x和是非奇非偶函数，即D错误，
三个函数在定义域内都是增函数，只有C正确．
故选：C.
【点睛】
本题考查指数函数、对数函数、幂函数的性质，掌握三个基本初等函数的性质是解题基础．
19．（2020·上海高一开学考试）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由奇函数的性质可得出，由此可将所求不等式化为，由函数在上的单调性可得出关于的不等式，解出即可.
【详解】
解：由函数为奇函数，得，
不等式即为，
又在单调递减，所以得，即，
故选：D．
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在解函数不等式时，要将不等式转化为，借助函数的单调性脱去，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．（2020·全国高三课时练习（理））若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】
【分析】
本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】
取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】
本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
21．（2020·山西应县一中高二期中（文））已知关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出函数图像,结合函数图像即可求得方程有两个不等实根时实数的取值范围.
【详解】
由题意,画出的图像如下图所示:
由图像可知,若方程有两个不等实根
则函数图像在轴左侧的最大值大于等于1即可
所以
即
故选:D
【点睛】
本题考查了绝对值函数图像的画法,函数与方程的关系,属于基础题.
22．（2020·全国高一课时练习）高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.
【详解】
根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；
再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
23．（2020·浙江高一课时练习）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【答案】B
【解析】
由图形可知，三点都在函数的图象上，
所以，解得，
所以，因为，所以当时，取最大值，
故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.
考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
24．（2020·浙江高一课时练习）某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
【答案】C
【解析】
【分析】
该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，由此能求出结果．
【详解】
该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，
则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，
解得x≥600．
∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600本．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数的实际应用问题，是基础题．
25．（2020·浙江高一课时练习）一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】
【分析】
由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答．
【详解】
由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．
【点睛】
数形结合是解决此题的关键，本题关键是抓住斜率为解题的突破口．
26．（2020·浙江高一课时练习）某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据出租车的计价方法可知函数图象为分段函数 ,观察图象逐一判定是否符合规则即可判定.
【详解】
出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是 ).
对应的值都是5，
以后毎价为元，
不足按计价，
时，
时，，故选B.
【点睛】
本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
27．（2020·浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，不符合函数的定义，即得解．
【详解】
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数的概念，解题的关键是掌握函数的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
28．（2019·浙江南湖�嘉兴一中高一月考）设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为是定义在上的奇函数,且当时,,则当,有,,可得,即在上是单调递增函数,且满足,结合已知,即可得求答案.
【详解】
是定义在上的奇函数,且当时,
当,有,
即
在上是单调递增函数,且满足
不等式在恒成立,
,恒成立
对恒成立
解得:
则实数的取值范围是:.
故选:A.
【点睛】
本题考查了根据函数不等式恒成立求参数,解题关键是掌握奇函数的性质和函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
29．（2020·宁夏兴庆�银川一中高二期末（文））若偶函数在区间上是增函数，则( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
函数为偶函数，则则，再结合在上是增函数，即可进行判断.
【详解】
函数为偶函数,则.
又函数在区间上是增函数.
则，即
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.
30．（2020·浙江高一课时练习）设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”，若给定函数，，则下列结论不成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据题意写成，的分段函数形式即，A.，，故A成立；B，，故B不成立；C：，，故C成立；D，，故D成立；所以只有B结论不正确，故选B.
点睛：本题属创新类型的函数定义题，主要考察学生的理解能力；本题属创新类型的函数定义题．此题的关键在于理解函数的定义，则根据给定定义写成，的分段函数形式即.
31．（2020·湖南雨花�雅礼中学高三其他（理））《九章算术衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱,乙持钱,丙持钱,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ）
A．甲付的税钱最多 B．乙、丙两人付的税钱超过甲
C．乙应出的税钱约为 D．丙付的税钱最少
【答案】B
【解析】
【分析】
通过阅读可以知道说法的正确性,通过计算可以知道说法的正确性.
【详解】
甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的不超过甲。可知错误:乙应出的税钱为.可知正确.
故选:B
【点睛】
本题考查了数学阅读能力,考查数学运算能力.属于基础题.
32．（2020·浙江高一课时练习）在实数中定义一种运算“”，使其具有下列性质：
（1）对任意，，.
（2）对任意，.
（3）对任意，.则函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据新定义把表示为通常的运算，然后利用函数性质得减区间．
【详解】
在（3）中，令，得，
则，易知函数的单调递减区间为.
故选：D．
【点睛】
本题考查新运算，解题关键是把新定义运算转化为通常的运算，然后利用函数知识得出结论，考查了学生的阅读理解能力，转化与化归能力，创新意识．
33．（2020·浙江高一单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数的图象对分两种情况讨论即可得到.
【详解】
因为函数且,
函数的图象如图:
由图可知:当,即时,,即,
所以,
当即时,即,所以,
综上所述: 实数的取值范围是.
故选:C.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想,根据分段函数的图象解不等式,属于基础题.
34．（2020·浙江高一单元测试）二次函数在区间上为偶函数，又，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据偶函数的性质，定义域关于原点对称，求出，再得到二次函数，再根据其对称性，单调性得到答案.
【详解】
由题意得解得．，．
函数的图象关于直线对称，．
又函数在区间上单调递增，
，．
故选：A.
【点睛】
本题考查了对偶函数的理解，二次函数的对称性、单调性，属于基础题.
35．（2020·浙江高一单元测试）若满足对任意的实数、都有且，则（ ）
A．1008 B．2018 C．2014 D．1009
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可根据得出，然后用同样的方式得出、以及，从而得出，最后通过计算即可得出结果.
【详解】
因为对任意的实数、，都有，且，
所以，即，
同理，即；
，即；
，即；
故，
则，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查抽象函数运算，考查分析、思考与解决问题的能力，考查探究规律的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
二、多选题
36．（2020·江苏海安高级中学高二期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数 B．的周期
C． D．在单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，可判断A的正误；由，令，可得，则，得到的周期，可判断B的正误；又在递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD是否正确.
【详解】
由的图象关于直线对称，则，
即，故是偶函数，A正确；
由，令，可得，则，
则的周期，B正确；
，故C正确；
又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，
故D错误.
故答案为：ABC
【点睛】
本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.
37．（2020·湖南雁峰�衡阳市八中高二期中）给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为；
B．函数的单调递减区间是；
C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数；
D．，是定义域内的任意的两个值，且，若，则是减函数.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据抽象函数定义域及函数单调性定义，逐项判断即可.
【详解】
解：对于A，若函数的定义域为，
则函数的定义域为，故A错误；
对于B，函数的单调递减区间是和，故B错误；
对于C，若定义在上的函数在区间上是单调增函数，
在区间上也是单调增函数，则在上不一定为单调增函数，故C错误；
对于D，为单调性的定义，正确.
故答案为：ABC.
【点睛】
本题主要考查函数定义域和单调性的概念，属于基础题.
38．（2020·浙江高一单元测试）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义与性质判断．
【详解】
由得，A正确；
当时，，则时，，，最大值为1，B正确；
若在上为增函数，则在上为增函数，C错；
若时，，则时，，，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
39．（2020·浙江高一单元测试）函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题可对函数进行分类讨论，分为、、三种情况，然后确定每一种情况下所对应的函数图像，即可得出结果.
【详解】
由题可知，函数，
若，则，选项C可能；
若，则函数定义域为，且，选项B可能；
若，则，选项A可能，
故不可能是选项D，
故选：ABC.
【点睛】
本题考查函数的图像的判断，可通过函数的定义域、值域、特殊值等特征来判断，考查分类讨论思想，考查推理能力，是中档题.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
40．（2020·北京市第五中学高三其他）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x.若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是_____.
【答案】（﹣∞，]；
【解析】
【分析】
因为，可得，分段求解析式，结合图象可得结论．
【详解】
解：因为，，
，时，，，
，时，，，，；
当，时，由解得或，
若对任意，，都有，则．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了函数与方程的综合运用以及数形结合思想的应用，属中档题．
41．（2020·枣庄市第三中学高一月考）已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x)的定义域为_____；函数的定义域是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
（1）满足，求出不等式的解集即可；
（2）令满足的定义域，求出的范围即可.
【详解】
（1）令，
解得，
的定义域为；
（2）的定义域为，
在函数中，满足，
解得，
的定义域为.
故答案为：（1）（2）.
【点睛】
本题主要考查给定函数和复合函数定义域的求法，其中涉及到一元二次不等式的解法，是一道基础题.
42．（2020·广东云浮�高一期末）已知函数，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分段函数,代入自变量即可求解.
【详解】
函数
所以当时,,即无解;
当,,即,解得
综上可知,
故答案为:
【点睛】
本题考查了分段函数的简单应用,根据函数值求自变量,属于基础题.
43．（2020·上海高三其他）函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
可将原函数化为，可设，可判断为奇函数，再根据奇函数与最值性质进行求解即可．
【详解】
因为
设，
所以 ；
则是奇函数，
所以在区间上的最大值为，即，
在区间上的最小值为，即，
∵是奇函数，
∴， 则 .
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键．属于中档题．
44．（2020·北京高二期中）已知函数，若对于任意x∈[t，t+1]，不等式恒成立，那么实数t的最大值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性、单调性，根据函数的单调性进行求解即可.
【详解】
当时，，而，函数单调递增，
当时，，而，函数单调递减，而，
所以函数是实数集上的奇函数且是递增函数，
因此有：，
因为x∈[t，t+1]，所以x∈[，]，
要想对于任意x∈[t，t+1]，不等式恒成立，
则有，实数t的最大值是.
故答案为：
【点睛】
本题考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了奇函数的单调性的应用，考查了数学运算能力.
45．（2020·黑龙江萨尔图�大庆实验中学高三开学考试（文））已知定义域为的偶函数的导函数为，对任意，均满足：.若，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据已知得出函数的单调性，再根据单调性解不等式.
【详解】
因为是上的偶函数，所以是上的偶函数，
在 上单调递增，
，即
解得 ，解集为.
【点睛】
本题主要考查函数与单调性的关系，注意构造的新函数的奇偶性及单调性的判断.
46．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数可得a以及f(x)= f(-x)，并得到b最后可得结果.
【详解】
由题可知：a－1+2a=0，所以
又f(x)= f(-x)，所以，
所以，则
故答案为：
【点睛】
本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握定义，简单计算，属基础题.
47．（2020·内蒙古集宁一中高二期末（理））已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____
【答案】1
【解析】
【分析】
由幂函数的定义可得，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定的值.
【详解】
∵函数是幂函数，
∴，解得或，
又∵该函数是偶函数，
当时，函数是奇函数，
当时，函数是偶函数，
即的值是1，
故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．
48．（2020·浙江高一课时练习）如图，在半径为（单位：）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为____（单位：）.
【答案】
【解析】
【分析】
设BC=x,连结OC，求出OB，得到矩形面积表达式，然后利用基本不等式求出函数的最值即可．
【详解】
设BC=x,连结OC，得OB=，所以AB＝2，
所以矩形面积S＝2，x∈（0，4）,
S＝2 ．
即x2＝16﹣x2，即x＝2时取等号，此时ymax＝16
故答案为16
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，考查利用基本不等式求函数最值问题，考查计算能力．
49．（2020·浙江高三二模）已知奇函数的定义域为且在上连续.若时不等式的解集为，则时的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】
当时，易得的解集为；利用奇函数的性质可得当时，的解集为，令即可得解.
【详解】
由题意可得当时，的解集为，
由奇函数的性质可得当时，的解集为，
令，则的解集为，
即当时，的解集为，
所以的解集为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算能力和推理能力，属于中档题.
50．（2020·浙江高一单元测试）函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意．当,恒有．则称函数为“理想函数”，则下列三个函数中：
（1），
（2），
（3）．
称为“理想函数”的有 （填序号）
【答案】（3）
【解析】
∵函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(−x)=0；
②对于定义域上的任意，当时,恒有,则称函数f(x)为“理想函数”，
∴“理想函数”既是奇函数，又是减函数，
在(1)中,是奇函数,但不是增函数,故(1)不是“理想函数”；
在(2)中,,是偶函数,且在(−∞,0)内是减函数,在(0,+∞)内是增函数,故(2)不是“理想函数”；
在(3)中,是奇函数,且是减函数,故(3)能被称为“理想函数”．
故答案为(3).
四、解答题
51．（2020·北京高二期中）已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝x+m，m∈R．
（Ⅰ）若m＝0，求f（2）的值；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若对于任意x∈[1，e]，都有成立，求m的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）当m＝0时，分别在函数解析式中赋值，令和，列出方程组，解出的值；
（Ⅱ）在原式中，以﹣x代换x，联立两个方程，解出可证明命题成立；
（Ⅲ）由（Ⅱ）代入解析式，参变分离，利用对数函数的单调性求出最值，代入不等式求出m的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）m＝0时，f（x）+2f（﹣x）＝x，
时，
时，，即，代入上式，解得
（Ⅱ）证明：由f（x）+2f（﹣x）＝x+m
可得f（﹣x）+2f（x）＝﹣x+m，解得f（﹣x）＝﹣2f（x）﹣x+m，代入上式，解得
（Ⅲ）由（Ⅱ）
，即
化简得：
又在[1，e]上单调递减
综上：m的取值范围为
【点睛】
本题考查函数不等式的恒成立问题，考查函数解析式的求法，考查学生逻辑思维能力，属于中档题．
52．（2020·全国高一课时练习）已知奇函数f(x)定义域为[－5，5]且在[0，5]上的图象如图所示，求使f(x)<0的x的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，画出函数在[－5，5]上的图象，简单判断即可.
【详解】
由题可知：函数是[－5，5]上的奇函数，
则函数在[－5，5]上图象如下：
所以f(x)<0的解集为
【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性求解不等式，本题关键在于画出函数在定义域中图象，形象直观，属基础题.
53．（2020·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．
（1）f(x)＝2x＋；
（2）f(x)＝2－|x|；
（3）f(x)＝＋；
（4）f(x)＝.
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数．
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性的定义求解.
【详解】
（1）因为函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－2x＋＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，
且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，属于基础题.
54．（2020·广东云浮�高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）若是上的单调函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由奇函数的定义可求得解析式；
（2）由分段函数解析式知，函数在上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即时要是增函数，且端点处函数值不小于0.
【详解】
解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，
当时，，则，
所以，
所以.
（2）若是上的单调函数，且，
则实数满足，
解得，
故实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．
55．（2020·安徽黄山�高一期末）已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于x的不等式，；
（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.
【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）根据韦达定理直接求解即可.
（2）转化为，然后分别对，，，进行讨论即可.
（3）因为对于任意的都有，
转化为，进而得到，然后分别求出，即可.
【详解】
解：（1）因为的解集为，所以的根为，2，
所以，，即，；所以；
（2），化简有，整理，
所以当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，
则有，所以，，
因为对于任意的都有，
即求，转化为，
而，，所以，
此时可得，
所以M的最小值为.
【点睛】
本题主要考查了含参数的一元二次不等式，和不等式的恒成立问题，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论．本题属于难题．
56．（2020·全国高一课时练习）某列火车从A地开往B地，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求离开A地2h时火车行驶的路程.
【答案】，
【解析】
【分析】
首先计算出火车到达终点所需要的时间，再由匀速行驶与路程的关系即可得出关系式.
【详解】
解：因为火车匀速行驶的时间为，
所以.因为火车匀速行驶th所行驶路程为，
所以火车行驶总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是.
离开A地2h时火车行驶的路程.
【点睛】
本题考查了一次函数模型的应用，解题时注意定义域的取值范围，属于基础题.
57．（2020·浙江高一课时练习）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．
（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？
【答案】(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min
【解析】
【分析】
（1）设出对应的函数表达式，将代入列方程组，解方程组求得 对应的函数关系式.（2）设出小明爸爸所走路程与时间的函数关系式，将代入列方程组，解方程组求得明爸爸所走路程与时间的函数关系式，联立这个关系式和（1）中求得的关系式，解方程组求得第三次相遇的时间.（3）先求得小明爸爸全程所用的时间，由此求得小明在步行过程中停留的时间需减少的时间.
【详解】
（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b，
将（30，800），（60，2000）代入得，
，解得，
∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400．
（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n，
则，解得．
即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200，
解方程组，得，
即小明出发37.5min时与爸爸第三次相遇．
（3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75，
∵75–60=15，
∴小明希望比爸爸早18 min到达公园，
则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min．
【点睛】
本小题主要考查一次函数的实际应用问题，考查二元一次方程组的解法，考查图像分析的方法，属于中档题.
58．（2020·浙江高一单元测试）已知函数.
（1）若，求的定义域；
（2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1) 由且结合负数不能开偶次方根有即可求解；
(2)分别对分母大于零和小于零进行分类讨论，根据题意，求出函数在上的单调性结合函数的定义域，化简即可求出实数的取值范围.
【详解】
(1)当且时，由得，即函数的定义域是.
(2)当即时，令
要使在上是减函数，则函数在上为减函数，即，并且且，解得；
当即时 ，令
要使在上是减函数，则函数在为增函数，即
并且，解得
综上可知，所求实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域及其单调性的应用,在解题时,要注意复合函数性质的应用及考虑定义域.
59．（2020·浙江高一单元测试）已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
【详解】
（1）∵数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．
∴，∴＜x＜，
函数g（x）的定义域（，）．
（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，
∴f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），
∴，∴＜x≤2，
故不等式g（x）≤0的解集是 （，2]．
60．（2020·浙江高一课时练习）已知定义在上的函数满足：
①对任意，，；②当时，，且 ．
（1）试判断函数的奇偶性．
（2）判断函数在上的单调性．
（3）求函数在区间上的最大值．
（4）求不等式的解集．
【答案】（1）偶函数；（2）增函数；（3）2；（4）或.
【解析】
【分析】
（1）先用赋值法求，再令，得到，从而得到函数的奇偶性；
（2）任取，，且，则有．得，再运用变形得到单调性；
（3）由奇偶性和单调性，求得函数在区间上的最大值；
（4）将不等式转化为，根据奇偶性和单调性，再转化为，求出解集.
【详解】
（1）令，则，得；再令，
则，得．
对于条件，令，则，
∴．又函数的定义域关于原点对称，
∴函数为偶函数．
（2）任取，，且，则有．
又∵当时，，∴．
而， 即，
∴函数在上是增函数．
（3）∵，且，∴．
又由（1）（2）知函数在区间上是偶函数且在上是增函数，
∴函数在区间上的最大值为．
（4）∵，，
∴原不等式等价于，
又函数为偶函数，且函数在上是增函数，
∴原不等式又等价于，即或，
得或，
得或，
∴不等式的解集为或．
【点睛】
本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性的判断，最值，解抽象函数的不等式，考查了学生的分析推理能力，运算能力，属于中档题.
五、双空题
61．（2020·浙江高一单元测试）函数在区间上的最大值为______，最小值为______．
【答案】9 1
【解析】
【分析】
根据二次函数的开口方向和对称轴，结合函数的定义域，求得函数的最大值和最小值.
【详解】
，该二次函数的开口向上，而，故当时，；当时，．
故答案为：9；1
【点睛】
本小题主要考查二次函数在给定区间上的最大值和最小值的求法，属于基础题.
62．（2020·全国高三其他（理））在实数集中定义一种运算，满足下列性质：
①对任意的，；
②对任意的，，；
③对任意的，，，；
则______，函数的最小值为______．
【答案】12 6
【解析】
【分析】
利用新定义运算，转化，再由性质③，①可得；
这样可得，函数，再由基本不等式可得最小值．
【详解】
根据定义可得；
，当且仅当时等号成立．
故答案为：12；6．
【点睛】
本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义运算，利用定义把新运算转化为熟悉的运算：加减乘除、乘方、开方．
专题三 函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·四川泸州�高三其他（文））已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
首先判断函数的单调性，根据函数的单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可；
【详解】
解：因为，当时，在定义域上单调递增，且，当时，要使，则解得，即
故选：C
【点睛】
本题考查分段函数的性质的应用，属于中档题.
2．（2020·湖南省岳阳县第一中学高三月考）函数的图象大致是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先通过特殊值排除，再根据零点存在定理，可知在时存在零点，排除，可得结果.
【详解】
当时， 选项可排除
当时，
可知，故在上存在零点，选项可排除
本题正确选项：
【点睛】
本题考查由解析式判断函数图像，解决此类问题通常采用排除法，通过单调性、奇偶性、特殊值、零点的方式排除错误选项，得到最终结果.
3．（2020·通榆县第一中学校高二期末（文））设，若，则（ ）
A． B．
C．或 D．
【答案】C
【解析】
【分析】
分和两种情况解方程，可得出实数的值.
【详解】
，当时，令，解得；
当时，令，解得.
综上，或.
故选：C.
【点睛】
本题考查分段函数方程的求解，要注意对自变量的取值进行分类讨论，考查运算求解能力，属于基础题.
4．（2020·北京市第五中学高三其他）已知函数，那么 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
,
故选A；
5．（2020·福建高三其他（文））已知函数，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先计算，再计算．
【详解】
由题意，所以．
故选：A．
【点睛】
本题考查求分段函数值，最幂与对数的运算，解题关键是要判断自变量的取值范围，根据不同的取值范围选取不同的表达式计算．
6．（2020·枣庄市第三中学高一月考）下列函数中，是同一函数的是( )
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】D
【解析】
【分析】
考虑各选项中的函数的定义域和对应法则是否相同后可得正确的选项.
【详解】
A中的函数 ，故两个函数的对应法则不同，故A中的两个函数不是相同的函数；
B中函数的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；
C中的函数的定义域为，而的定义域为，故两个函数不是相同的函数；
D中的函数定义域相同，对应法则相同，故两个函数为同一函数，
综上，选D.
【点睛】
本题考查两个函数相同的判断方法，应先考虑函数的定义域，再考虑函数的对应法则，这两个相同时才是同一函数.
7．（2020·枣庄市第三中学高一月考）下列函数中，值域是的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
利用反比例函数，复合函数，一次函数，二次函数的单调性即可求得各个函数的值域，可得答案．
【详解】
解：、函数在上是增函数，函数的值域为，故错；
、函数，函数的值域为，故错；
、函数的定义域为，因为，所以，故函数的值域为
、函数的值域为，故错；
故选：C．
【点睛】
本题考查，二次函数，一次函数的值域，考查学生发现问题解决问题的能力，属于基础题．
8．（2020·枣庄市第三中学高一月考）函数的定义域为( )
A．且 B．且 C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
根据二次根式的性质结合分母不为0，求出函数的定义域即可.
【详解】
由题意得：，
解得： 且.
故选：.
【点睛】
本题考查了求函数的定义域问题，根据具体函数的本身限制条件列出不等式组是解题的关键，是道基础题.
9．（2020·山东省滕州市第二中学高一月考）已知函数的定义域为，则的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数的定义域为，得，求出的取值范围作为函数的定义域.
【详解】
的定义域为，即，，
所以，函数的定义域为，故选C.
【点睛】
本题考查抽象函数的定义域的求解，解抽象函数的定义域要抓住以下两点：
（1）函数的定义域指的是自变量的取值范围；
（2）对于函数和的定义域的求解，和的值域相等，由此列不等式求出的取值范围作为函数的定义域.
10．（2020·湖南省岳阳县第一中学高三月考）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的图象关于点中心对称
B．函数在上是增函数
C．函数的图象关于直线x＝1对称
D．函数的图象上至少存在两点A，B，使得直线AB//x轴
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意分离常数得，结合函数图象的变换可画出函数的图象，数形结合逐项判断即可得解.
【详解】
由题意，
则该函数的图象可由函数的图象向右平移一个单位，再向上平移两个单位得到，如图，
由图象可得：
函数的图象关于点中心对称，故A正确；
函数在上是减函数，故B错误；
函数的图象不关于直线x＝1对称，故C错误；
函数的图象上不存在两个点的纵坐标相同，所以不存在两点A，B，使得直线AB//x轴，故D错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查了函数图象的变换及应用，考查了数形结合思想的应用，属于基础题.
11．（2020·安徽庐阳�合肥一中高二开学考试）若函数的最小值3，则实数的值为（ ）
A．5或8 B．或5 C．或 D．或
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，①当时，即，，则当时，，解得或（舍）；②当时，即，，则当时，，解得（舍）或；③当时，即，，此时，不满足题意，所以或，故选D.
12．（2020·安徽庐阳�合肥一中高二开学考试）已知定义域为的偶函数，其导函数为，对任意，均满足：．若，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
试题分析：时，而也为偶函数，所以，选C.
考点：利用函数性质解不等式
【方法点睛】利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，构造，构造，构造等
13．（2020·通榆县第一中学校高二期末（文））下列函数既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
选项中所涉及到的函数既是奇函数又是增函数的才能符合条件，要从这两个方面进行判断，这两个方面可以借助于图象，也可以直接利用奇函数的定义和函数单调性的判定方法进行求解.
【详解】
选项A中，设函数，，函数是偶函数，不符合题意；
选项B中，设函数，，则函数为非奇非偶函数，选项B不符合题意；
选项C中，函数的定义域为，则为非奇非偶函数，选项C不符合题意；
选项D中，是单调递增且满足，则是奇函数，符合条件.
故选D.
【点睛】
本题重点考查常见函数的单调性和奇偶性，注意它们的判定方法，属基础题.
14．（2020·通榆县第一中学校高二期末（文））已知是定义在R上的偶函数，并满足：，当，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先由，证明函数为周期为4的周期函数，再利用周期性和对称性，将转化到时求解.
【详解】
，
，
，即函数的一个周期为4．
．
是定义在R上的偶函数，
．
当，，
．
．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查了函数的周期性和函数的奇偶性，还考查转化求解问题的能力，属于中档题．
15．（2020·全国高三其他（理））已知是定义在上的偶函数，对任意都有，且，则的值为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】A
【解析】
【分析】
利用函数是偶函数和对称性求出函数的周期，再化简计算得出的值．
【详解】
由，知为周期函数，且周期，则．
故选:A
【点睛】
本题考查函数的性质，涉及到奇偶性，对称性和周期性，考查学生逻辑推理能力，属于中档题．
16．（2020·黑龙江萨尔图�大庆实验中学高三开学考试（文））函数的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先根据函数的奇偶性排除A，C选项，再根据函数在上的单调性排除D.
【详解】
，为偶函数，排除A，C选项；
当时，，，排除D选项，故选B．
故选B
【点睛】
本题考查函数图象的辨别，可以利用函数的定义域、单调性及奇偶性来排除选项，属于基础题.
17．（2020·全国高三其他（文））已知函数为奇函数，且，则（ ）
A． B．7 C．0 D．2
【答案】B
【解析】
【分析】
根据为奇函数，可求得a，b的值，代入所求，即可得结果.
【详解】
当时，，，又是奇函数，所以，
所以，，
所以，
所以．
故选：B．
【点睛】
本题考查奇函数定义的应用，分段函数求值问题，考查计算化简的能力，属基础题.
18．（2020·湖北黄石港�黄石一中高二期末）已知三个函数y=x3，y=3x，，则( )
A．定义域都为R B．值域都为R
C．在其定义域上都是增函数 D．都是奇函数
【答案】C
【解析】
【分析】
根据各选项性质对每个函数进行判断，
【详解】
函数的定义域为（0，+∞），即A错误；
函数y=3x的值域是（0，+∞），即B错误；
函数y=3x和是非奇非偶函数，即D错误，
三个函数在定义域内都是增函数，只有C正确．
故选：C.
【点睛】
本题考查指数函数、对数函数、幂函数的性质，掌握三个基本初等函数的性质是解题基础．
19．（2020·上海高一开学考试）函数在单调递减，且为奇函数．若，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由奇函数的性质可得出，由此可将所求不等式化为，由函数在上的单调性可得出关于的不等式，解出即可.
【详解】
解：由函数为奇函数，得，
不等式即为，
又在单调递减，所以得，即，
故选：D．
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在解函数不等式时，要将不等式转化为，借助函数的单调性脱去，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
20．（2020·全国高三课时练习（理））若a>b，则
A．ln(a−b)>0 B．3a<3b
C．a3−b3>0 D．│a│>│b│
【答案】C
【解析】
【分析】
本题也可用直接法，因为，所以，当时，，知A错，因为是增函数，所以，故B错；因为幂函数是增函数，，所以，知C正确；取，满足，，知D错．
【详解】
取，满足，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，，所以，故选C．
【点睛】
本题主要考查对数函数性质、指数函数性质、幂函数性质及绝对值意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断．
21．（2020·山西应县一中高二期中（文））已知关于的方程有两个不等实根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据题意画出函数图像,结合函数图像即可求得方程有两个不等实根时实数的取值范围.
【详解】
由题意,画出的图像如下图所示:
由图像可知,若方程有两个不等实根
则函数图像在轴左侧的最大值大于等于1即可
所以
即
故选:D
【点睛】
本题考查了绝对值函数图像的画法,函数与方程的关系,属于基础题.
22．（2020·全国高一课时练习）高为、满缸水量为的鱼缸的轴截面如图所示，现底部有一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为时水的体积为，则函数的大致图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，得到函数图像过原点，再根据鱼缸的形状，得到随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，即可求解.
【详解】
根据题意知，函数的自变量为水深，函数值为鱼缸中水的体积，所以当时，体积，所以函数图像过原点，故排除A、C；
再根据鱼缸的形状，下边较细，中间较粗，上边较细，所以随着水深的增加，体积的变化速度是先慢后快再慢的，故选B.
【点睛】
本题主要考查了函数的使用应用问题，其中解答中根据水缸的形状，得到函数的性质是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
23．（2020·浙江高一课时练习）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”，在特定条件下，可食用率p与加工时间t（单位：分钟）满足函数关系p=at2+bt+c（a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为（ ）
A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟
【答案】B
【解析】
由图形可知，三点都在函数的图象上，
所以，解得，
所以，因为，所以当时，取最大值，
故此时的t=分钟为最佳加工时间，故选B.
考点：本小题以实际应用为背景，主要考查二次函数的解析式的求解、二次函数的最值等基础知识，考查同学们分析问题与解决问题的能力.
24．（2020·浙江高一课时练习）某厂印刷某图书总成本y（元）与图书日印量x（本）的函数解析式为y=5x+3000，而图书出厂价格为每本10元，则该厂为了不亏本，日印图书至少为（ ）
A．200本 B．400本 C．600本 D．800本
【答案】C
【解析】
【分析】
该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，由此能求出结果．
【详解】
该厂为了不亏本，日印图书至少为x本，
则利润函数f（x）=10x-（5x+3000）≥0，
解得x≥600．
∴该厂为了不亏本，日印图书至少为600本．
故选：C．
【点睛】
本题考查函数的实际应用问题，是基础题．
25．（2020·浙江高一课时练习）一水池有两个进水口，一个出水口，每个进水口的进水速度如图甲所示．出水口的出水速度如图乙所示，某天0点到6点，该水池的蓄水量如图丙所示．
给出以下3个论断：①0点到3点只进水不出水；②3点到4点不进水只出水；③4点到6点不进水不出水，则一定正确的是( )
A．① B．①②
C．①③ D．①②③
【答案】A
【解析】
【分析】
由甲，乙图得进水速度1，出水速度2，结合丙图中直线的斜率解答．
【详解】
由甲、乙两图可知进水速度为1，出水速度为2，结合丙图中直线的斜率，只进水不出水时，蓄水量增加速度是2，故①正确；不进水只出水时，蓄水量减少速度是2，故②不正确；两个进水一个出水时，蓄水量减少速度也是0，故③不正确．
【点睛】
数形结合是解决此题的关键，本题关键是抓住斜率为解题的突破口．
26．（2020·浙江高一课时练习）某市出租车起步价为5元(起步价内行驶里程为3 km)，以后每1 km价为1.8元(不足1 km按1 km计价)，则乘坐出租车的费用y(元)与行驶的里程x(km)之间的函数图像大致为( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据出租车的计价方法可知函数图象为分段函数 ,观察图象逐一判定是否符合规则即可判定.
【详解】
出租车起步价为5元（起步价内行驶的里程是 ).
对应的值都是5，
以后毎价为元，
不足按计价，
时，
时，，故选B.
【点睛】
本题主要考查阅读能力及建模能力、分段函数的解析式，属于中档题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答.
27．（2020·浙江高一开学考试）下列各曲线中，不能表示y是x的函数的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
如图，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，不符合函数的定义，即得解．
【详解】
函数的定义：设在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，x是自变量．
如图，C选项中，在x允许的取值范围内取x＝x0，此时函数y与之对应的有2个值，y＝y1，y＝y2，不符合函数的定义.其它三个选项都符合函数的定义.
故选：C．
【点睛】
本题主要考查函数的概念，解题的关键是掌握函数的定义，意在考查学生对该知识的理解掌握水平.
28．（2019·浙江南湖�嘉兴一中高一月考）设是定义在上的奇函数,且当时,,若对任意的,不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
因为是定义在上的奇函数,且当时,,则当,有,,可得,即在上是单调递增函数,且满足,结合已知,即可得求答案.
【详解】
是定义在上的奇函数,且当时,
当,有,
即
在上是单调递增函数,且满足
不等式在恒成立,
,恒成立
对恒成立
解得:
则实数的取值范围是:.
故选:A.
【点睛】
本题考查了根据函数不等式恒成立求参数,解题关键是掌握奇函数的性质和函数不等式恒成立的解法,考查了分析能力和计算能力,属于难题.
29．（2020·宁夏兴庆�银川一中高二期末（文））若偶函数在区间上是增函数，则( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
函数为偶函数，则则，再结合在上是增函数，即可进行判断.
【详解】
函数为偶函数,则.
又函数在区间上是增函数.
则，即
故选：D.
【点睛】
本题考查函数奇偶性和单调性的应用，考查化归与转化的思想，属于基础题.
30．（2020·浙江高一课时练习）设函数在上有定义，对于任一给定的正数，定义函数，则称函数为的“界函数”，若给定函数，，则下列结论不成立的是( )
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
根据题意写成，的分段函数形式即，A.，，故A成立；B，，故B不成立；C：，，故C成立；D，，故D成立；所以只有B结论不正确，故选B.
点睛：本题属创新类型的函数定义题，主要考察学生的理解能力；本题属创新类型的函数定义题．此题的关键在于理解函数的定义，则根据给定定义写成，的分段函数形式即.
31．（2020·湖南雨花�雅礼中学高三其他（理））《九章算术衰分》中有如下问题:“今有甲持钱五百六十,乙持钱三百五十，丙持钱一百八十，凡三人俱出关，关税百钱.欲以钱数多少衰出之,问各几何?”翻译为“今有甲持钱,乙持钱,丙持钱,甲、乙、丙三个人一起出关，关税共计钱,要按个人带钱多少的比例交税,问三人各应付多少税?”则下列说法中错误的是（ ）
A．甲付的税钱最多 B．乙、丙两人付的税钱超过甲
C．乙应出的税钱约为 D．丙付的税钱最少
【答案】B
【解析】
【分析】
通过阅读可以知道说法的正确性,通过计算可以知道说法的正确性.
【详解】
甲付的税钱最多、丙付的税钱最少，可知正确:乙、丙两人付的税钱占总税钱的不超过甲。可知错误:乙应出的税钱为.可知正确.
故选:B
【点睛】
本题考查了数学阅读能力,考查数学运算能力.属于基础题.
32．（2020·浙江高一课时练习）在实数中定义一种运算“”，使其具有下列性质：
（1）对任意，，.
（2）对任意，.
（3）对任意，.则函数的单调递减区间是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据新定义把表示为通常的运算，然后利用函数性质得减区间．
【详解】
在（3）中，令，得，
则，易知函数的单调递减区间为.
故选：D．
【点睛】
本题考查新运算，解题关键是把新定义运算转化为通常的运算，然后利用函数知识得出结论，考查了学生的阅读理解能力，转化与化归能力，创新意识．
33．（2020·浙江高一单元测试）已知函数，若，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数的图象对分两种情况讨论即可得到.
【详解】
因为函数且,
函数的图象如图:
由图可知:当,即时,,即,
所以,
当即时,即,所以,
综上所述: 实数的取值范围是.
故选:C.
【点睛】
本题考查了分类讨论思想,根据分段函数的图象解不等式,属于基础题.
34．（2020·浙江高一单元测试）二次函数在区间上为偶函数，又，则，，的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据偶函数的性质，定义域关于原点对称，求出，再得到二次函数，再根据其对称性，单调性得到答案.
【详解】
由题意得解得．，．
函数的图象关于直线对称，．
又函数在区间上单调递增，
，．
故选：A.
【点睛】
本题考查了对偶函数的理解，二次函数的对称性、单调性，属于基础题.
35．（2020·浙江高一单元测试）若满足对任意的实数、都有且，则（ ）
A．1008 B．2018 C．2014 D．1009
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可根据得出，然后用同样的方式得出、以及，从而得出，最后通过计算即可得出结果.
【详解】
因为对任意的实数、，都有，且，
所以，即，
同理，即；
，即；
，即；
故，
则，
故选：B.
【点睛】
本题主要考查抽象函数运算，考查分析、思考与解决问题的能力，考查探究规律的能力，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.
二、多选题
36．（2020·江苏海安高级中学高二期末）已知函数对任意都有，若的图象关于直线对称，且对任意的，，且，都有，则下列结论正确的是（ ）．
A．是偶函数 B．的周期
C． D．在单调递减
【答案】ABC
【解析】
【分析】
由的图象关于直线对称，则，即，故是偶函数，可判断A的正误；由，令，可得，则，得到的周期，可判断B的正误；又在递增，结合奇偶性，周期性，再判断CD是否正确.
【详解】
由的图象关于直线对称，则，
即，故是偶函数，A正确；
由，令，可得，则，
则的周期，B正确；
，故C正确；
又在递增，则递减，由周期，则在单调递增，
故D错误.
故答案为：ABC
【点睛】
本题考查了抽象函数的性质，综合考查了函数的对称性，奇偶性，周期性，单调性，属于中档题.
37．（2020·湖南雁峰�衡阳市八中高二期中）给出下列命题，其中是错误命题的是（ ）
A．若函数的定义域为，则函数的定义域为；
B．函数的单调递减区间是；
C．若定义在R上的函数在区间上是单调增函数，在区间上也是单调增函数，则在R上是单调增函数；
D．，是定义域内的任意的两个值，且，若，则是减函数.
【答案】ABC
【解析】
【分析】
根据抽象函数定义域及函数单调性定义，逐项判断即可.
【详解】
解：对于A，若函数的定义域为，
则函数的定义域为，故A错误；
对于B，函数的单调递减区间是和，故B错误；
对于C，若定义在上的函数在区间上是单调增函数，
在区间上也是单调增函数，则在上不一定为单调增函数，故C错误；
对于D，为单调性的定义，正确.
故答案为：ABC.
【点睛】
本题主要考查函数定义域和单调性的概念，属于基础题.
38．（2020·浙江高一单元测试）函数是定义在R上的奇函数，下列说法正确的是（ ）
A．
B．若在上有最小值，则在上有最大值1
C．若在上为增函数，则在上为减函数
D．若时，，则时，
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据奇函数的定义与性质判断．
【详解】
由得，A正确；
当时，，则时，，，最大值为1，B正确；
若在上为增函数，则在上为增函数，C错；
若时，，则时，，，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查函数的奇偶性，掌握奇函数的定义是解题关键．
39．（2020·浙江高一单元测试）函数的图像可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【解析】
【分析】
本题可对函数进行分类讨论，分为、、三种情况，然后确定每一种情况下所对应的函数图像，即可得出结果.
【详解】
由题可知，函数，
若，则，选项C可能；
若，则函数定义域为，且，选项B可能；
若，则，选项A可能，
故不可能是选项D，
故选：ABC.
【点睛】
本题考查函数的图像的判断，可通过函数的定义域、值域、特殊值等特征来判断，考查分类讨论思想，考查推理能力，是中档题.
第II卷（非选择题）
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三、填空题
40．（2020·北京市第五中学高三其他）设函数f（x）的定义域为R，满足f（x+1）＝2f（x），且当x∈（0，1]时，f（x）＝2x2﹣2x.若对任意x∈（﹣∞，m]，都有f（x）≥﹣，则m的取值范围是_____.
【答案】（﹣∞，]；
【解析】
【分析】
因为，可得，分段求解析式，结合图象可得结论．
【详解】
解：因为，，
，时，，，
，时，，，，；
当，时，由解得或，
若对任意，，都有，则．
故答案为：，．
【点睛】
本题考查了函数与方程的综合运用以及数形结合思想的应用，属中档题．
41．（2020·枣庄市第三中学高一月考）已知函数f(x)＝，则函数y＝f(x)的定义域为_____；函数的定义域是_____.
【答案】
【解析】
【分析】
（1）满足，求出不等式的解集即可；
（2）令满足的定义域，求出的范围即可.
【详解】
（1）令，
解得，
的定义域为；
（2）的定义域为，
在函数中，满足，
解得，
的定义域为.
故答案为：（1）（2）.
【点睛】
本题主要考查给定函数和复合函数定义域的求法，其中涉及到一元二次不等式的解法，是一道基础题.
42．（2020·广东云浮�高一期末）已知函数，若，则______.
【答案】
【解析】
【分析】
根据分段函数,代入自变量即可求解.
【详解】
函数
所以当时,,即无解;
当,,即,解得
综上可知,
故答案为:
【点睛】
本题考查了分段函数的简单应用,根据函数值求自变量,属于基础题.
43．（2020·上海高三其他）函数，在区间上的最大值为，最小值为.则_____.
【答案】
【解析】
【分析】
可将原函数化为，可设，可判断为奇函数，再根据奇函数与最值性质进行求解即可．
【详解】
因为
设，
所以 ；
则是奇函数，
所以在区间上的最大值为，即，
在区间上的最小值为，即，
∵是奇函数，
∴， 则 .
故答案为：2．
【点睛】
本题主要考查奇函数的性质，利用奇函数最值性质进行转化是解决本题的关键．属于中档题．
44．（2020·北京高二期中）已知函数，若对于任意x∈[t，t+1]，不等式恒成立，那么实数t的最大值是_____．
【答案】
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性、单调性，根据函数的单调性进行求解即可.
【详解】
当时，，而，函数单调递增，
当时，，而，函数单调递减，而，
所以函数是实数集上的奇函数且是递增函数，
因此有：，
因为x∈[t，t+1]，所以x∈[，]，
要想对于任意x∈[t，t+1]，不等式恒成立，
则有，实数t的最大值是.
故答案为：
【点睛】
本题考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了奇函数的单调性的应用，考查了数学运算能力.
45．（2020·黑龙江萨尔图�大庆实验中学高三开学考试（文））已知定义域为的偶函数的导函数为，对任意，均满足：.若，则不等式的解集是__________．
【答案】
【解析】
【分析】
先根据已知得出函数的单调性，再根据单调性解不等式.
【详解】
因为是上的偶函数，所以是上的偶函数，
在 上单调递增，
，即
解得 ，解集为.
【点睛】
本题主要考查函数与单调性的关系，注意构造的新函数的奇偶性及单调性的判断.
46．（2020·全国高一课时练习）已知f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义在[a－1，2a]上的偶函数，则a＋b＝________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数为偶函数可得a以及f(x)= f(-x)，并得到b最后可得结果.
【详解】
由题可知：a－1+2a=0，所以
又f(x)= f(-x)，所以，
所以，则
故答案为：
【点睛】
本题考查根据函数奇偶性求参数，掌握定义，简单计算，属基础题.
47．（2020·内蒙古集宁一中高二期末（理））已知函数是幂函数，且该函数是偶函数，则的值是____
【答案】1
【解析】
【分析】
由幂函数的定义可得，解出方程，最后根据该函数是偶函数确定的值.
【详解】
∵函数是幂函数，
∴，解得或，
又∵该函数是偶函数，
当时，函数是奇函数，
当时，函数是偶函数，
即的值是1，
故答案为：1.
【点睛】
本题主要考查幂函数的定义与简单性质，函数奇偶性的判断，属于基本知识的考查．
48．（2020·浙江高一课时练习）如图，在半径为（单位：）的半圆形（为圆心）铁皮上截取一块矩形材料，其顶点在直径上，顶点在圆周上，则矩形面积的最大值为____（单位：）.
【答案】
【解析】
【分析】
设BC=x,连结OC，求出OB，得到矩形面积表达式，然后利用基本不等式求出函数的最值即可．
【详解】
设BC=x,连结OC，得OB=，所以AB＝2，
所以矩形面积S＝2，x∈（0，4）,
S＝2 ．
即x2＝16﹣x2，即x＝2时取等号，此时ymax＝16
故答案为16
【点睛】
本题考查函数解析式的求法，考查利用基本不等式求函数最值问题，考查计算能力．
49．（2020·浙江高三二模）已知奇函数的定义域为且在上连续.若时不等式的解集为，则时的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】
当时，易得的解集为；利用奇函数的性质可得当时，的解集为，令即可得解.
【详解】
由题意可得当时，的解集为，
由奇函数的性质可得当时，的解集为，
令，则的解集为，
即当时，的解集为，
所以的解集为.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了函数奇偶性的应用，考查了运算能力和推理能力，属于中档题.
50．（2020·浙江高一单元测试）函数同时满足：①对于定义域上的任意，恒有；②对于定义域上的任意．当,恒有．则称函数为“理想函数”，则下列三个函数中：
（1），
（2），
（3）．
称为“理想函数”的有 （填序号）
【答案】（3）
【解析】
∵函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x,恒有f(x)+f(−x)=0；
②对于定义域上的任意，当时,恒有,则称函数f(x)为“理想函数”，
∴“理想函数”既是奇函数，又是减函数，
在(1)中,是奇函数,但不是增函数,故(1)不是“理想函数”；
在(2)中,,是偶函数,且在(−∞,0)内是减函数,在(0,+∞)内是增函数,故(2)不是“理想函数”；
在(3)中,是奇函数,且是减函数,故(3)能被称为“理想函数”．
故答案为(3).
四、解答题
51．（2020·北京高二期中）已知函数f（x）满足f（x）+2f（﹣x）＝x+m，m∈R．
（Ⅰ）若m＝0，求f（2）的值；
（Ⅱ）求证：；
（Ⅲ）若对于任意x∈[1，e]，都有成立，求m的取值范围．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）．
【解析】
【分析】
（Ⅰ）当m＝0时，分别在函数解析式中赋值，令和，列出方程组，解出的值；
（Ⅱ）在原式中，以﹣x代换x，联立两个方程，解出可证明命题成立；
（Ⅲ）由（Ⅱ）代入解析式，参变分离，利用对数函数的单调性求出最值，代入不等式求出m的取值范围．
【详解】
（Ⅰ）m＝0时，f（x）+2f（﹣x）＝x，
时，
时，，即，代入上式，解得
（Ⅱ）证明：由f（x）+2f（﹣x）＝x+m
可得f（﹣x）+2f（x）＝﹣x+m，解得f（﹣x）＝﹣2f（x）﹣x+m，代入上式，解得
（Ⅲ）由（Ⅱ）
，即
化简得：
又在[1，e]上单调递减
综上：m的取值范围为
【点睛】
本题考查函数不等式的恒成立问题，考查函数解析式的求法，考查学生逻辑思维能力，属于中档题．
52．（2020·全国高一课时练习）已知奇函数f(x)定义域为[－5，5]且在[0，5]上的图象如图所示，求使f(x)<0的x的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性，画出函数在[－5，5]上的图象，简单判断即可.
【详解】
由题可知：函数是[－5，5]上的奇函数，
则函数在[－5，5]上图象如下：
所以f(x)<0的解集为
【点睛】
本题考查根据函数的奇偶性求解不等式，本题关键在于画出函数在定义域中图象，形象直观，属基础题.
53．（2020·全国高一课时练习）判断下列函数的奇偶性．
（1）f(x)＝2x＋；
（2）f(x)＝2－|x|；
（3）f(x)＝＋；
（4）f(x)＝.
【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）既是奇函数又是偶函数；（4）非奇非偶函数．
【解析】
【分析】
利用函数的奇偶性的定义求解.
【详解】
（1）因为函数f(x)的定义域是{x|x≠0}，关于原点对称，
又f(－x)＝－2x＋＝－＝－f(x)．
∴f(x)为奇函数．
(2)∵函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，
又f(－x)＝2－|－x|＝2－|x|＝f(x)，
∴f(x)为偶函数．
(3)∵函数f(x)的定义域为{－1，1}，关于原点对称，
且f(x)＝0，又∵f(－x)＝－f(x)，f(－x)＝f(x)，
∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
(4)显然函数f(x)的定义域为{x|x≠1}，不关于原点对称，
∴f(x)是非奇非偶函数．
【点睛】
本题主要考查函数奇偶性的判断，属于基础题.
54．（2020·广东云浮�高一期末）已知函数是定义在上的奇函数，当时，.
（1）求的解析式；
（2）若是上的单调函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由奇函数的定义可求得解析式；
（2）由分段函数解析式知，函数在上单调，则为单调增函数，结合二次函数对称轴和最值可得参数范围．即时要是增函数，且端点处函数值不小于0.
【详解】
解：（1）因为函数是定义在上的奇函数，所以，
当时，，则，
所以，
所以.
（2）若是上的单调函数，且，
则实数满足，
解得，
故实数的取值范围是.
【点睛】
本题考查函数的奇偶性与单调性，分段函数在整个定义域上单调，则每一段的单调性相同，相邻端点处函数值满足相应的不等关系．
55．（2020·安徽黄山�高一期末）已知函数，且的解集为.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于x的不等式，；
（3）设，若对于任意的都有，求M的最小值.
【答案】（1）（2）答案不唯一，具体见解析（3）
【解析】
【分析】
（1）根据韦达定理直接求解即可.
（2）转化为，然后分别对，，，进行讨论即可.
（3）因为对于任意的都有，
转化为，进而得到，然后分别求出，即可.
【详解】
解：（1）因为的解集为，所以的根为，2，
所以，，即，；所以；
（2），化简有，整理，
所以当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
当时，不等式的解集为，
（3）因为时，根据二次函数的图像性质，有，
则有，所以，，
因为对于任意的都有，
即求，转化为，
而，，所以，
此时可得，
所以M的最小值为.
【点睛】
本题主要考查了含参数的一元二次不等式，和不等式的恒成立问题，在解决含参数的不等式时首先要对参数进行讨论．本题属于难题．
56．（2020·全国高一课时练习）某列火车从A地开往B地，全程277km.火车出发10min开出13km后，以120km/h的速度匀速行驶试写出火车行驶的总路程s与匀速行驶的时间t之间的关系，并求离开A地2h时火车行驶的路程.
【答案】，
【解析】
【分析】
首先计算出火车到达终点所需要的时间，再由匀速行驶与路程的关系即可得出关系式.
【详解】
解：因为火车匀速行驶的时间为，
所以.因为火车匀速行驶th所行驶路程为，
所以火车行驶总路程s与匀速行驶时间t之间的关系是.
离开A地2h时火车行驶的路程.
【点睛】
本题考查了一次函数模型的应用，解题时注意定义域的取值范围，属于基础题.
57．（2020·浙江高一课时练习）小明和爸爸从家步行去公园，爸爸先出发一直匀速前行，小明后出发匀速前行，且途中休息一段时间后继续以原速前行．家到公园的距离为2000m，如图是小明和爸爸所走的路程s（m）与步行时间t（min）的函数图象．
（1）直接写出BC段图象所对应的函数关系式（不用写出t的取值范围）_______．
（2）小明出发多长时间与爸爸第三次相遇？
（3）在速度都不变的情况下，小明希望比爸爸早18分钟到达公园，则小明在步行过程中停留的时间需减少多少分钟？
【答案】(1) s=40t–400 (2) 37.5min (3) 3min
【解析】
【分析】
（1）设出对应的函数表达式，将代入列方程组，解方程组求得 对应的函数关系式.（2）设出小明爸爸所走路程与时间的函数关系式，将代入列方程组，解方程组求得明爸爸所走路程与时间的函数关系式，联立这个关系式和（1）中求得的关系式，解方程组求得第三次相遇的时间.（3）先求得小明爸爸全程所用的时间，由此求得小明在步行过程中停留的时间需减少的时间.
【详解】
（1）设直线BC所对应的函数表达式为s=kt+b，
将（30，800），（60，2000）代入得，
，解得，
∴直线BC所对应的函数表达式为s=40t–400．
（2）设小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式为s=mt+n，
则，解得．
即小明的爸爸所走路程s与时间t的函数关系式是s=24t+200，
解方程组，得，
即小明出发37.5min时与爸爸第三次相遇．
（3）当s=2000时，2000=24t+200，得t=75，
∵75–60=15，
∴小明希望比爸爸早18 min到达公园，
则小明在步行过程中停留的时间需要减少3min．
【点睛】
本小题主要考查一次函数的实际应用问题，考查二元一次方程组的解法，考查图像分析的方法，属于中档题.
58．（2020·浙江高一单元测试）已知函数.
（1）若，求的定义域；
（2）若在区间上是减函数，求实数的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】
(1) 由且结合负数不能开偶次方根有即可求解；
(2)分别对分母大于零和小于零进行分类讨论，根据题意，求出函数在上的单调性结合函数的定义域，化简即可求出实数的取值范围.
【详解】
(1)当且时，由得，即函数的定义域是.
(2)当即时，令
要使在上是减函数，则函数在上为减函数，即，并且且，解得；
当即时 ，令
要使在上是减函数，则函数在为增函数，即
并且，解得
综上可知，所求实数的取值范围是.
【点睛】
本题主要考查函数的定义域及其单调性的应用,在解题时,要注意复合函数性质的应用及考虑定义域.
59．（2020·浙江高一单元测试）已知函数f(x)的定义域为(－2,2)，函数g(x)＝f(x－1)＋f(3－2x)．
(1)求函数g(x)的定义域；
(2)若f(x)是奇函数，且在定义域上单调递减，求不等式g(x)≤0的解集．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】
【详解】
（1）∵数f（x）的定义域为（﹣2，2），函数g（x）=f（x﹣1）+f（3﹣2x）．
∴，∴＜x＜，
函数g（x）的定义域（，）．
（2）∵f（x）是奇函数且在定义域内单调递减，不等式g（x）≤0，
∴f（x﹣1）≤﹣f（3﹣2x）=f（2x﹣3），
∴，∴＜x≤2，
故不等式g（x）≤0的解集是 （，2]．
60．（2020·浙江高一课时练习）已知定义在上的函数满足：
①对任意，，；②当时，，且 ．
（1）试判断函数的奇偶性．
（2）判断函数在上的单调性．
（3）求函数在区间上的最大值．
（4）求不等式的解集．
【答案】（1）偶函数；（2）增函数；（3）2；（4）或.
【解析】
【分析】
（1）先用赋值法求，再令，得到，从而得到函数的奇偶性；
（2）任取，，且，则有．得，再运用变形得到单调性；
（3）由奇偶性和单调性，求得函数在区间上的最大值；
（4）将不等式转化为，根据奇偶性和单调性，再转化为，求出解集.
【详解】
（1）令，则，得；再令，
则，得．
对于条件，令，则，
∴．又函数的定义域关于原点对称，
∴函数为偶函数．
（2）任取，，且，则有．
又∵当时，，∴．
而， 即，
∴函数在上是增函数．
（3）∵，且，∴．
又由（1）（2）知函数在区间上是偶函数且在上是增函数，
∴函数在区间上的最大值为．
（4）∵，，
∴原不等式等价于，
又函数为偶函数，且函数在上是增函数，
∴原不等式又等价于，即或，
得或，
得或，
∴不等式的解集为或．
【点睛】
本题考查了抽象函数的奇偶性、单调性的判断，最值，解抽象函数的不等式，考查了学生的分析推理能力，运算能力，属于中档题.
五、双空题
61．（2020·浙江高一单元测试）函数在区间上的最大值为______，最小值为______．
【答案】9 1
【解析】
【分析】
根据二次函数的开口方向和对称轴，结合函数的定义域，求得函数的最大值和最小值.
【详解】
，该二次函数的开口向上，而，故当时，；当时，．
故答案为：9；1
【点睛】
本小题主要考查二次函数在给定区间上的最大值和最小值的求法，属于基础题.
62．（2020·全国高三其他（理））在实数集中定义一种运算，满足下列性质：
①对任意的，；
②对任意的，，；
③对任意的，，，；
则______，函数的最小值为______．
【答案】12 6
【解析】
【分析】
利用新定义运算，转化，再由性质③，①可得；
这样可得，函数，再由基本不等式可得最小值．
【详解】
根据定义可得；
，当且仅当时等号成立．
故答案为：12；6．
【点睛】
本题考查新定义运算，解题关键是正确理解新定义运算，利用定义把新运算转化为熟悉的运算：加减乘除、乘方、开方．
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