专题三 函数的概念、图像和性质-2021届高三《新题速递•数学》11月刊（江苏专用 适用于高考复习）

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专题三 函数的概念、图像和性质
一、单选题
1．（2020·湖北宜昌·高二月考）已知函数在上单调递增，且函数是偶函数，则下列结论成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由函数是偶函数可推出关于对称,所以,,再利用在上的单调性即可比较大小.
【详解】
因为函数是偶函数,
所以,即函数关于对称,
所以,,
又函数在上单调递增,
所以,
即,
故选:C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性和对称性比较大小问题,需要学生综合运用各项性质答题,难度不大.
2．（2020·江西二模（理））函数的图象大致是 （ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
首先通过特殊值排除，再根据零点存在定理，可知在时存在零点，排除，可得结果.
【详解】
当时， 选项可排除
当时，


可知，故在上存在零点，选项可排除
本题正确选项：
【点睛】
本题考查由解析式判断函数图像，解决此类问题通常采用排除法，通过单调性、奇偶性、特殊值、零点的方式排除错误选项，得到最终结果.
3．（2020·湖南永州·月考）已知为定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出，利用奇函数得到，再求得为上单增函数得不等式的解.
【详解】
当时，
因为,在单增,所以为单增函数
因为为定义在上的奇函数, ，为单增函数
,
故选：D
【点睛】
本题考查利用函数奇偶性及单调性解不等式，属于基础题.
4．（2018·安徽淮北·月考（理））定义在实数集上的奇函数满足，当时，若，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据抽象函数关系式和奇函数的定义可整理求得的周期为，利用周期和奇偶性可整理得到，由此构造方程求得结果.
【详解】
由得：，
又为上的奇函数，即，，
，
是以为周期的周期函数，
，，
，解得：.
故选：
【点睛】
本题考查利用函数的周期性和奇偶性求解参数值的问题，解题关键是能够利用奇偶性和抽象函数关系式确定函数的周期，进而利用周期性和奇偶性求得函数值.
5．（2020·江西其他）定义在R上的奇函数满足，且对任意的正数a、b（），有，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
易知函数在上单调递减，令，将不等式等价为或，进一步求出答案.
【详解】
∵对任意的正数a、b（），有，
∴函数在上单调递减，
∴在上单调递减.
又∵，∴
令
所以不等式等价为或
∴或，
∴或，
∴或，
即不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】
本题考查抽象函数的单调性和奇偶性以及不等式的知识点，考查逻辑思维能力，属于基础题.
6．（2020·江西其他）已知函数为偶函数，且在区间上单调递增，若，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由偶函数的性质可得出函数在区间上的单调性，由偶函数的性质得出，将不等式化为，变形为，再利用函数在区间上的单调性求解.
【详解】
由于函数是偶函数，且在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，且有，
，由，得，则有，，
解得，因此，不等式的解集为，故选B.
【点睛】
本题考查利用函数的奇偶性与单调性解函数不等式，在函数为偶函数的前提下，充分利用性质，借助函数在上的单调性求解，可简化计算，考查分析问题的和解决问题的能力，属于中等题.
7．（2020·江西其他）已知是定义在上的增函数，且，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
函数的单调性和定义域，得出相应的不等式组，即可求解.
【详解】
由题意，函数是定义在上的增函数，
因为，可得，解得,
所以x的取值范围是.
故选：A.
【点睛】
本题主要考查了函数的单调性的应用，其中解答中熟练应用函数的单调性和定义域，得出相应的不等式组是解答的关键，着重考查推理与运算能力.
8．（2020·河南信阳·高三月考（理））已知定义在上的函数，满足，函数的图象关于点中心对称，对于任意、，，都有成立.则的解集为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据题意可知函数为奇函数，构造函数，推导出函数在区间上单调递增，且函数为偶函数，分和两种情况结合函数的单调性可解不等式.
【详解】
由于函数的图象关于点中心对称，则函数的图象关于原点对称，
所以，函数是定义在上的奇函数，
令，则，
所以，函数为偶函数，
对于任意、，，都有成立，即.
设，则，所以，函数在区间上单调递增，且.
①当时，由可得，解得；
②当时，由于偶函数在区间上单调递增，则该函数在区间上单调递减，且.
由可得，解得.
综上所述，不等式的解集为.
故选：C.
【点睛】
本题考查利用函数的单调性与奇偶性解函数不等式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
9．（2019·福建厦门一中高一月考）已知函数的定义域为，且满足，且，如果对任意的、，都有，那么不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
计算出，并由可得出函数在上为减函数，再由，可得出，再由函数在上的单调性可得出，解出该不等式即可.
【详解】
由于对任意的实数、，且.
令，可得，且，解得.
令，则，，.
.
设，则，由，得.
所以，函数在上为减函数，由，可得.
所以，即，解得.
因此，不等式的解集为.
故选B.
【点睛】
本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
10．（2020·江西高三其他（文））若函数，当时，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先判断函数的单调性，然后解答不等式，在恒成立的条件下求出结果
【详解】
依题意得：函数在上单调递减，
因为，所以，即，在上恒成立，
所以，即，故选B．
【点睛】
本题考查了函数的单调性的应用，结合函数的单调性求解不等式，需要掌握解题方法
11．（2019·安徽淮北·高三一模（文））函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
先根据条件分析出的奇偶性，然后取特殊值计算函数值分析得到的大致图象.
【详解】
因为，且的定义域为关于原点对称，
所以是奇函数，所以排除BC，
又因为当且较小时，可取，所以，所以排除D，
故选：A.
【点睛】
本题考查根据函数解析式辨别函数图象，难度一般.辨别函数图象的常用方法：分析函数的奇偶性、单调性，计算特殊值的大小等.
12．（2020·广西南宁三中高三其他（理））已知函数，函数满足，若函数恰有个零点，则所有这些零点之和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由奇偶性定义可知为奇函数且，由此可得关于对称；由可知关于对称且，由此可知关于对称且，由对称性可知除外，其余零点关于对称，由此可求得结果.
【详解】
为奇函数，图象关于对称且
图象关于对称
图象关于对称
令得：
图象关于对称且
有一个零点为，其余零点关于对称
所有零点之和为
故选：
【点睛】
本题考查函数奇偶性和对称性的应用，关键是能够通过函数解析式和抽象函数关系式确定函数的对称中心，从而可确定零点所具有的对称关系.
13．（2020·云南文山·高三其他（理））对于奇函数，若对任意的，，且，则当时，实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据奇偶性，可将不等式转化为，根据函数的单调性，可列出不等式组，求解即可.
【详解】
∵是奇函数，
∴可转化为，
又∵对任意的，，且，
∴在上为单调递增函数，
∴，解得.
故选：D.
【点睛】
本题考查函数单调性、奇偶性的应用，考查学生的推理能力与计算能力，属于中档题.
14．（2020·山东高三月考）已知函数的定义域为，是奇函数，为偶函数，当，则以下各项中最小的是（ ）.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由是奇函数，得到，由为偶函数，得到，进而推出函数的周期为8求解.
【详解】
∵是奇函数，
∴的图象关于点对称，
即.
又∵为偶函数，
∴的图象关于直线对称，
即.
∵，
∴，
∴，即函数的周期为8，
∴，
，
，
，
故最小.
故选：D
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性和周期性的综合应用，还考查转化求解问题的能力，属于中档题.
15．（2020·上海崇明·高三月考）关于函数的周期有如下三个命题：
甲：已知函数和定义域均为，最小正周期分别为、，如果，则函数一定是周期函数；
乙：不是周期函数，一定不是周期函数；
丙：函数在上是周期函数，则函数在上也是周期函数.
其中正确的命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
【分析】
根据周期的定义，依次判断即可.
【详解】
对甲：设，，则，设，对于任意的，则
，故甲说法正确；
对乙：不是周期函数，但是周期函数，故乙说法错误；
对丙：函数在上是周期函数，则存在非零常数，对任意都有，故当时，也有，
即仍是周期为的函数，故丙说法正确.
故选：C
【点睛】
本题主要考查对周期的定义的运用，属于中档题.
16．（2020·山东潍坊·高三月考）函数是定义域为的奇函数，且，当时，，．则下列四个判断正确的是（ ）
A．函数的最小值为
B．函数的图像关于对称
C．对于任意的正整数，
D．对于任意的正整数，存在，使得成立
【答案】B
【解析】
【分析】
根据函数是奇函数和周期性，结合函数变化的性质，依次判断即可.
【详解】
，是以4为周期的函数，则也是以4为周期的函数，故也是以4为周期的函数，故只需考虑在的情况，可知当时，，，则，画出图象如下，

由图可知，的最小值为，故A正确；的图象关于不对称，故B错误；
对于C，因为函数是定义域为的奇函数，且，所以，，因为，所以，则，所以，故C正确；
对于D，当时，恒成立，故D正确.
故选：ACD.
【点睛】
本题考查函数性质的综合应用，属于中档题.
17．（2020·河南高三月考（文））已知函数的定义域为，为奇函数，当时，，若函数在上单调递减，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由为奇函数得关于点成中心对称，则可判断在上单调递减，继而由二次函数的性质可求出范围.
【详解】
因为为奇函数，所以函数的图象关于点成中心对称，
又函数在上单调递减，所以函数在上单调递减，
因为当时，，所以，解得，
故实数的取值范围为.
故选：A.
【点睛】
本题考查奇函数对称性的应用，考查函数的单调性求参数，属于基础题.

二、多选题
18．（2020·重庆月考）已知定义域为的函数是奇函数，且满足，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．的最小正周期为2
B．时，
C．在上单调递增
D．
【答案】BCD
【解析】
【分析】
根据对称性以及奇偶性求周期，判断A;根据奇偶性求上解析式，判断B;根据周期转化到，结合上解析式，判断C;根据周期以及对称性求解析式，判断D.
【详解】

因为是奇函数，所以,
，即A错误；
时，因为是奇函数，所以
因为定义域为的函数是奇函数，所以
因此时，，即B正确；
因为周期为4，所以在上单调性与在上单调性相同，因为时，单调递增，所以在上单调递增，即C正确；
因为周期为4，所以
当时，
因为时，，
所以时，，
时，
即时，
当时，
综上，，即D正确；
故选：BCD
【点睛】
本题考查函数对称性、奇偶性、周期性、单调性、解析式，考查综合分析求解能力，属中档题.
19．（2020·江苏月考）已知函数，，若对任意，总存在，使，则实数a的值可以是（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】ACD
【解析】
【分析】
先求函数的值域，再让其是函数的值域的子集可得答案.
【详解】
，
对任意，，
则在上单调递增，
所以在上的值域是.
由题意可得是的值域的子集，
当时，的值域是，符合题意；
当时，的值域是，符合题意；
当时，的值域是，要符合题意.
则，或，
解得或，
综上可得实数的取值范围是或.
故选：ACD.
【点睛】
对任意，总存在，使，可转化为的值域是的子集即可.
20．（2020·广东月考）若，则下列命题正确的是（ ）
A．是偶函数
B．在区间上是减函数，在上是增函数
C．没有最大值
D．没有最小值
【答案】ABC
【解析】
【分析】
首先根据奇偶性的定义判断A，然后作出的图像，观察图像可知函数的单调性和最值，进而判断BCD.
【详解】
由
对于A，，所以是偶函数；
对于BCD，作出的图像，如下图，

由图像可知在上是减函数，在上是增函数，函数存在最小值0，不存在最大值.
故选：ABC.
【点睛】
本题考查了利用定义判断函数的奇偶性，函数的单调性以及最值，考查学生的逻辑思维能力与数形结合思想，属于常考题.
21．（2021·山东滕州市第一中学新校高三月考）已知是定义在上的偶函数，且，若当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．
C．的图像关于点对称 D．函数有个零点
【答案】ABD
【解析】
【分析】
根据函数的奇偶性和周期性判定AB正确，结合图象可得D正确，利用反例推翻C选项，或者作图得C选项错误.
【详解】
已知是定义在上的偶函数，且，即该函数周期为4，
由题：时，，
当时，，，所以A选项正确；
，所以B选项正确；
的图象关于点对称，则，
但是，与矛盾，所以C选项错误；

作出函数的图象即可得到，
函数有个零点，所以D选项正确.
故选：ABD
【点睛】
此题考查函数周期性与奇偶性的综合应用，利用性质求函数值，根据函数图象解决零点个数问题.
22．（2020·江苏淮安·高三月考）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数“为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是　　
A．是偶函数 B．是奇函数
C．在上是增函数 D．的值域是
【答案】BC
【解析】
【分析】
由判断错误；由奇函数的定义证明正确；把的解析式变形，由的单调性结合复合函数的单调性判断正确；求出的范围，进一步求得的值域判断．
【详解】
解：，
，
，则不是偶函数，故错误；
的定义域为，

，为奇函数，故正确；
，
又在上单调递增，在上是增函数，故正确；
，，则，可得，
即．
，，故错误．
故选：．
【点睛】
本题考查命题的真假判断与应用，考查函数性质的判定及函数值域的求法，属于中档题．

第II卷（非选择题）
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三、填空题
23．（2020·四川成都·月考（理））对于定义在区间上的函数，若满足对，且时都有，则称函数为区间上的“非减函数”，若为区间上的“非减函数”且，，又当，恒成立，有下列命题
①
② ，
③
④ 当时，
其中正确的所有命题的序号为______.
【答案】① ③ ④
【解析】
【分析】
利用已知条件和函数的性质对①②③ ④逐一判断即可得正确答案.
【详解】
因为，所以令得，所以，故①正确；
由当，恒成立，令，则，由为区间上的“非减函数”，则，所以，则，，故② 错误；
由当，，可得，同理可得，，由， ，，则，则，故③正确；
当时，，令，则，，
则，即，故④ 正确.
故答案为：① ③ ④
【点睛】
本题主要考查了抽象函数及其应用，考查了函数新定义的理解，属于中档题.
24．（2020·北京期末）已知函数给出下列三个结论：
①是偶函数；
②有且仅有3个零点；
③的值域是.
其中，正确结论的序号是______.
【答案】②③
【解析】
【分析】
判断函数的奇偶性判断①；求出函数的零点判断②；函数的值域判断③.
【详解】
函数，
①由于，所以是非奇非偶函数，所以①不正确；
②，可得，，，所以函数有且仅有3个零点；所以②正确；
③函数，的值域是，正确；
正确结论的序号是：②③.
故答案为：②③.
【点睛】
本小题主要考查函数的奇偶性、零点、值域.
25．（2020·广东中山纪念中学月考）设函数，则满足的x的取值集合为___________
【答案】
【解析】
【分析】
根据的单调性化简，由此求得所求的集合.
【详解】
，
当时，是减函数，
当时，.
要使，则
或或，
解得或或.
综上所述，的取值集合为.
故答案为：
【点睛】
本小题主要考查函数的单调性，属于中档题.
26．（2020·宝山·上海交大附中高三月考）函数与的图象拼成如图所示的“”字形折线段，不含､､､､五个点，若的图象关于原点对称的图形即为的图象，则其中一个函数的解析式可以为__________.

【答案】
【解析】
【分析】
先根据图象可以得出f (x)的图象可以在OC或CD中选取一个，再在AB或OB中选取一个，即可得出函数f (x) 的解析式.
【详解】
由图可知，线段OC与线段OB是关于原点对称的，线段CD与线段BA也是关于原点对称的，根据题意，f (x) 与g (x) 的图象关于原点对称，所以f (x)的图象可以在OC或CD中选取一个，再在AB或OB中选取一个，比如其组合形式为: OC和AB， CD和OB,
不妨取f (x)的图象为OC和AB，
OC的方程为: ，AB的方程为: ，
所以，
故答案为：
【点睛】
本题主要考查了函数解析式的求法，涉及分段函数的表示和函数图象对称性的应用，属于中档题.
27．（2020·浙江西湖·学军中学高一月考）已知αR，函数在区间[1，4]上的最大值是5，则 的取值范围是___________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据当时，，分，和讨论求解.
【详解】
因为当时，，
当时，，
函数的最大值，
（舍去）；
当时，，此时命题成立；
当时，，
则或，
解得或，
综上可得，实数的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查分段函数的最值问题，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
28．（2019·贵州贵阳一中高二月考）若函数在定义域D内的某区间M上是增函数，且在M上是减函数，则称在M上是“弱增函数”.已知函数在上是“弱增函数”，则实数a的值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
由在上的单调性求出a的一个范围，再令，则在上是减函数，分类讨论根据的单调性求参数a的范围，两范围取交集即可得解.
【详解】
由题意可知函数在上是增函数，
，解得，
令，则在上是减函数，
①当时，在上为增函数，不符合题意；
②当时，由对勾函数的性质可知在上单调递减，
，解得，又，.
故答案为：4
【点睛】
本题考查函数的单调性、一元二次函数的单调性，属于中档题.
29．（2020·河南高三月考（理））若函数在定义域内满足：对任意的，，且，有，则称函数为“类单调递增函数”．下列函数是“类单调递增函数”的有填写所有满足题意的函数序号）．__________.
①；②；③；④．
【答案】①④
【解析】
【分析】
根据“类单调递增函数”的定义，一一判断即可；
【详解】
解：对于①，显然，
即，是“类单调递增函数”；
对于②，取，，此时，，
即，不是“类单调递增函数”；
对于③，取，此时，，
即，不是“类单调递增函数”；
对于④，，若，
则，
若，则，
，
即，是“类单调递增函数”.
所以是“类单调递增函数”的有①④.
故答案为：①④
【点睛】
本题函数新定义问题，考查分析问题的能力，属于中档题.

四、解答题
30．（2020·湖南学业考试）已知函数，其中，且.
（1）判断的奇偶性，并说明理由;
（2）若不等式对都成立，求a的取值范围;
（3）设，直线与的图象交于两点，直线与的图象交于两点，得到四边形ABCD.证明:存在实数，使四边形为正方形.
【答案】（1）偶函数，理由见解析；（2）；（3）证明见解析
【解析】
【分析】
（1）利用函数的奇偶性做出判断;
（2）对都成立，可求出a的范围
（3）由，求出，由已知得到，求得得证.
【详解】
(1) 是偶函数
,是偶函数
（2）
当时 满足题意，
当时 不满足题意
所以
（3）

因为四边形为正方形，所以 ,设 则
，又


故存在实数当使得四边形为正方形.
【点睛】
本题考查函数奇偶性、不等式求参数范围及利用函数图象交点判断方程有解，属于中档题.
31．（2020·安徽月考（理））已知函数，且.
（1）求实数m的值，并求函数的值域；
（2）函数，若对任意，总存在，使得成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；值域为；（2）或.
【解析】
【分析】
（1）由求出得到，再利用单调性可求出值域；
（2）对于任意，总存在，使得成立，
转化为的值域是值域的子集可求得答案.
【详解】
（1），.

在上递减，在上递增，
且，.
值域为.
（2）对于任意，总存在，使得成立，
则的值域是值域的子集；
依题意知，
当时，，.
..
当时，，.
..
故或.
【点睛】
本题考查了利用函数的单调性求值域，考查了对于任意，总存在，使得成立，转化为则的值域是值域的子集问题求解.
32．（2020·河南南阳·月考）已知二次函数的图象过点，对任意满足，且有最小值是.
（1）求的解析式；
（2）在区间上，的图象恒在函数的图象上方，试确定实数m的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）根据题意可知函数关于直线对称，设二次函数的顶点式，然后利用待定系数法求解；
（2）将函数的解析式代入，使在上横成立，只需使在上恒成立.
【详解】
解：（1）由题知二次函数图象的对称轴为，又最小值是
则可设
又图象过点，
则，解得，
∴.
（2）由已知，对恒成立，
∴在恒成立，
∴.
∵在上的最小值为.
∴.
【点睛】
本题考查函数解析式的求解问题，考查根据不等式的成立问题求参数的取值范围，难度一般.
33．（2020·河南南阳·月考）已知函数，，.
（1）若集合为单元素集，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，对任意，存在，使成立，试求实数b的取值范围.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）转化为一元二次方程只有一个实数解，利用求解；
（2）使即可，然后通过参变分离法求解.
【详解】
解：（1）由题意知，有唯一实数解
即有两个相等的实数根，
所以，∴.
（2），
∵当时，为递增函数
∴；
∵当任意，存在使成立
∴存在"，使成立，即.
∵函数在上单调递增，
∴
∴b的取值范围为.
【点睛】
本题考查根据函数零点的个数求参，考查函数与双变量问题的综合，难度一般.解答时注意函数与方程思想的运用，注意将双变量问题转化为函数最值问题求解.
34．（2019·福建厦门一中高一月考）已知二次函数对一切实数，都有成立，且，，.
（1）求的解析式；
（2）记函数在上的最大值为，最小值为，若，当时，求的最大值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由题意可得出二次函数的对称轴为直线，结合可得出该二次函数的顶点坐标为，可设，再由求出实数的值，由此可得出函数的解析式；
（2）求出函数的解析式，分析该二次函数图象的对称轴与区间的位置关系，分析函数在区间上的单调性，求出和，然后解不等式，求出实数的取值范围，即可得出实数的最大值.
【详解】
（1）对一切实数，都有成立，则二次函数的对称轴为直线，又，则二次函数图象的顶点坐标为，
设，则，因此，；
（2），对称轴为直线，，则.
当时，即当时，函数在区间上单调递增，
则，，则，得，此时；
当时，即当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，所以，，，，且，，
则，整理得，解得，此时，.
因此，，则实数的最大值为.
【点睛】
本题考查二次函数解析式的求法，同时也考查了二次函数在定区间上最值的求法，当对称轴位置不确定时，需要分析对称轴与定义域的位置关系，结合单调性得出二次函数的最值，考查分类讨论思想的应用，属于中等题.
35．（2020·上海崇明·高三月考）已知，.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若是奇函数，求的值.
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
（1）由化简得到，然后将不等式转化为，利用分式不等式求解.
（2）根据是奇函数，由恒成立求解.
【详解】
（1）当时，，
所以不等式化为：
，
所以，
所以，
即，
解得，
所以不等式的解集是；
（2）因为是奇函数，
所以恒成立，
所以恒成立，
解得.
【点睛】
本题主要考查分式不等式的加法以及函数奇偶性的运用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.
36．（2019·广东广州·高一期末）已知函数.
（1）判断函数的奇偶性；
（2）若对任意的，不等式均成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）奇函数；（2）.
【解析】
【分析】
（1）先计算函数的定义域，然后计算，最后根据奇偶性的概念简单判断可得结果.
（2）根据函数的单调性，可得，然后使用分离参数的方法进行计算可得结果.
【详解】
（1）由题可知：函数的定义域为
∵，
∴，
所以函数为奇函数
（2）由（1）可知：函数为奇函数

∵在单调递减，
所以在恒成立，
当时，恒成立，
当时，则，
又在单调递减
所以，则
当时，则，
由（当且仅当时取等号）
所以，故
所以
【点睛】
本题考查函数的奇偶性的判断以及不等式恒成立的问题，正确分析问题，考查理解与分析，属中档题.