2020年广东深圳市中考数学一轮复习 四边形补充练习解析版

2020年深圳市中考数学一轮复习之四边形补充练习解析版
一、选择题
1.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，M是对角线BD上的动点，过点M作ME⊥BC于点E，连接AM，当△ADM是等腰三角形时，ME的长为（   ）
A. 32                                   B. 65                                  C. 32 或 35                                  D. 32 或 65
2.如图，在□ABCD中，全等三角形的对数共有(    )


A. 2对                                       B. 3对                                       C. 4对                                       D. 5对
3.下列命题中，假命题是(    )
A. 矩形的对角线相等                                             B. 矩形对角线交点到四个顶点的距离相等
C. 矩形的对角线互相平分                                      D. 矩形对角线交点到四条边的距离相等
4.下列四个命题：①两直线平行，内错角相等；②对顶角相等；③等腰三角形的两个底角相等；④菱形的对角线互相垂直，其中逆命题是真命题的是（    ）
A. ①②③④                                  B. ①③④                                  C. ①③                                 D. ①
5.如图，直线 EF 是矩形 ABCD 的对称轴，点 P 在 CD 边上，将 ΔBCP 沿 BP 折叠，点 C 恰好落在线段 AP 与 EF 的交点 Q 处， BC=43 ，则线段 AB 的长是（    ）

A. 8                                        B. 82                                        C. 83                                        D. 10
6.如图，四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O ，且互相平分.添加下列条件，仍不能判定四边形 ABCD 为菱形的是（    ）

A. AC⊥BD                    B. AB=AD                    C. AC=BD                   D. ∠ABD=∠CBD
7.一个菱形的边长是方程 x2−8x+15=0 的一个根，其中一条对角线长为8，则该菱形的面积为（   ）
A. 48                                    B. 24                                    C. 24或40                                    D. 48或80
8.下列说法正确的是（   ）
A. 立方根等于它本身的数一定是 1 和 0
B. 顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形
C. 在函数 y=kx+b(k≠0) 中， y 的值随着 x 值的增大而增大
D. 如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等
9.如图，正方形 ABCD ，点 F 在边 AB 上，且 AF:FB=1:2 ， CE⊥DF ，垂足为 M ，且交 AD 于点 E ， AC 与 DF 交于点 N ，延长 CB 至 G ，使 BG=12BC ，连接 CM ．有如下结论：① DE=AF ；② AN=24AB ；③ ∠ADF=∠GMF ；④ SΔANF:S四边形CNFB=1:8 ．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ）

A. ①②                                  B. ①③                                  C. ①②③                                  D. ②③④
10.矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知 B(23,2) ，点A在x轴上，点C在y轴上，P是对角线OB上一动点（不与原点重合），连接PC，过点P作 PD⊥PC ，交x轴于点D．下列结论：① OA=BC=23 ；②当点D运动到OA的中点处时， PC2+PD2=7 ；③在运动过程中， ∠CDP 是一个定值；④当△ODP为等腰三角形时，点D的坐标为 (233,0) ．其中正确结论的个数是（    ）

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
11.如图，在矩形ABCD中，AD＝ 22 AB.将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G.下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝ 62 MP；④BP＝ 22 AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心.其中正确的个数为（  ）

A. 2个                                       B. 3个                                       C. 4个                                       D. 5个
12.如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB= 12 BC=1，则下列结论：
①∠CAD=30°   ②BD= 7    ③S平行四边形ABCD=AB•AC     ④OE= 14 AD     ⑤S△APO= 312 ，正确的个数是（   ）

A. 2                                           B. 3                                           C. 4                                           D. 5
13.如图，在正方形ABCD中，E、F分别为BC、CD的中点，连接AE，BF交于点G，将△BCF沿BF对折，得到△BPF，延长FP交BA延长线于点Q，下列结论正确的个数是（　　）

①AE=BF；②AE⊥BF；③sin∠BQP= 45 ；④S四边形ECFG=2S△BGE ．

A. 4                                          B. 3                                           C. 2                                           D. 1
14.如图，在 ABCD中，CD=2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S四边形DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个数共有（    ）。

A. 1个                                       B. 2个                                       C. 3个                                       D. 4个
15.如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上.O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH.以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③ BCCG=2 ﹣1；④ S△HOMS△HOG ＝2﹣ 2 ，其中正确的结论是（   ）

A. ①②③                                B. ①②④                                C. ①③④                                D. ②③④
二、填空题
16.八边形的内角和为________度．
17.若一个多边形的内角和比外角和多 900∘ ，则该多边形的边数是________．
18.如图,点E在正方形ABCD的边AB上,若EB=1,EC=2,那么正方形ABCD的面积为________.

19.如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC= 13 ，AC=6，则BD的长是________．

20.如图，矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O，AC＝10，P、Q分别为AO、AD的中点，则PQ的的长度为________.

21.如图，在▱ABCD中，∠A=70°，DC=DB，则∠CDB=________．

22.如图，在菱形ABCD中，∠ABC=120°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处（不与B、D重合），折痕为EF，若DG=2，BG=6，则BE的长为________．

23.如图，把一张长为 4 ，宽为 2 的矩形纸片，沿对角线折叠，则重叠部分的面积为________.

24.如图， △ABC 是等边三角形，点D为BC边上一点， BD=12DC=2 ，以点D为顶点作正方形DEFG，且 DE=BC ，连接AE，AG.若将正方形DEFG绕点D旋转一周，当AE取最小值时，AG的长为________.

三、解答题
25.如图，在平行四边形 ABCD 中， DB=DA ，点 F 是 AB 的中点，连接 DF 并延长，交 CB 的延长线于点 E ，连接 AE .

（1）求证：四边形 AEBD 是菱形；
（2）若 DC=10 ， tan∠DCB=3 ，求菱形 AEBD 的面积.
26.如图，在▱ABCD中，过B点作BM⊥AC于点E，交CD于点M，过D点作DN⊥AC于点F，交AB于点N．

（1）求证：四边形BMDN是平行四边形；
（2）已知AF=12，EM=5，求AN的长．
27.如图，在四边形 ABCD 中， AB∥DC ， AB=AD ，对角线 AC ， BD 交于点 O ， AC 平分 ∠BAD ，过点 C 作 CE⊥AB 交 AB 的延长线于点 E ，连接 OE ．

（1）求证：四边形 ABCD 是菱形；
（2）若 AB=5 ， BD=2 ，求 OE 的长．

28.如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．

（1）求证：四边形AECD是菱形；
（2）若AB=6，BC=10，求EF的长．
29.如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是 BC 上的一点，点 F 是 CD 延长线上的一点，且 BE=DF ，连结 AE,AF,EF ．

（1）求证： ΔABE ≌ ΔADF ；
（2）若 AE=5 ，请求出 EF 的长．
30.如图，正方形ABCD ， 点E ， F分别在AD ， CD上，且DE＝CF ， AF与BE相交于点G ．

（1）求证：BE＝AF；
（2）若AB＝4，DE＝1，求AG的长．
31.如图，在四边形ABCD中，点E和点F是对角线AC上的两点，AE＝CF，DF＝BE，且DF∥BE，过点C作CG⊥AB交AB的延长线于点G.

（1）求证：四边形ABCD是平行四边形；
（2）若tan∠CAB＝ 25 ，∠CBG＝45°，BC＝4 2 ，则▱ABCD的面积是________.
32.如图，已知矩形 ABCD 中，点 E,F 分别是 AD,AB 上的点， EF⊥EC ，且 AE=CD .

（1）求证： AF=DE ；
（2）若 DE=25AD ，求 tan∠AFE .
33.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在边CD，AD上，且AF＝CE.

（1）求证：△ABF≌△CBE；
（2）若AB＝4，AF＝1，求四边形BEDF的面积.
34.平行四边形ABCD中，∠A=60°，AB=2AD，BD的中垂线分别交AB，CD于点E，F，垂足为O．

（1）求证：OE=OF；
（2）若AD=6，求tan∠ABD的值．
35.如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ=DP，连接AP、BQ、PQ．

（1）求证：△APD≌△BQC；
（2）若∠ABP+∠BQC=180°，求证：四边形ABQP为菱形．


答案
一、选择题
1.解：如图，

①当 AD=DM 时.
∵ 四边形 ABCD 是矩形，
∴∠C=90° ， CD=AB=3 ， AD=BC=4 ，
∴BD=CD2+BC2=5 ，
∴BM=BD=DM=5−4=1 ，
∵ME⊥BC ， DC⊥BC ，
∴ME//CD ，
∴ BMBD=MECD ，
∴ 15=ME3 ，
∴ME=35 .
②当 M′A=M′D 时，易证 M′E′ 是 ΔBDC 的中位线，
∴M′E′=12CD=32 ，
故答案为： C .
2.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC：OD=OB，OA=OC：
∵OD=OB，OA=OC，∠AOD=∠BOC：
∴△AOD≌△COB(SAS)；①同理可得出△AOB≌△COD(SAS)；②
∵BC=AD，CD=AB，BD=BD：
∴△ABD≌△CDB(SSS)；③同理可得：△ACD≌△CAB(SSS).④
因此本题共有4对全等三角形。
故答案为：C。
3.A、矩形的对角线相等，是真命题；
B、矩形的对角线的交点到四个顶点的距离相等，是真命题；
C、矩形的对角线互相平分，是真命题；
D、矩形的对角线的交点到一组对边的距离相等，是假命题.
故答案为： D .
4.解：①两直线平行，内错角相等；其逆命题：内错角相等，两直线平行，是真命题；
②对顶角相等，其逆命题：相等的角是对顶角，是假命题；
③等腰三角形的两个底角相等，其逆命题：有两个角相等的三角形是等腰三角形，是真命题；
④菱形的对角线互相垂直，其逆命题：对角线互相垂直的四边形是菱形，是假命题。
故答案为：C。
5.解：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠C=90∘ ，
由题意得： BF=12BC ， EF//AB ，
∴ ∠ABQ=∠BQF ，
由折叠的性质得： ∠BQP=∠C=90° ， BQ=BC ，
∴ ∠AQB=90° ， BF=12BQ ，
∴ ∠BQF=30° ，
∴ ∠ABQ=30° ，
在 RtΔABQ 中， AB=2AQ ， BQ=3AQ=43 ，
∴ AQ=4 ， AB=8 。
故答案为：A。
6.解：∵四边形 ABCD 的两条对角线相交于点 O ，且互相平分，
∴四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ AD//BC ，
当 AB=AD 或 AC⊥BD 时，均可判定四边形 ABCD 是菱形；
当 AC=BD 时，可判定四边形 ABCD 是矩形；
当 ∠ABD=∠CBD 时，
由 AD//BC 得： ∠CBD=∠ADB ，
∴ ∠ABD=∠ADB ，
∴ AB=AD ，
∴四边形 ABCD 是菱形。
故答案为：C。
7.解： (x−5)(x−3)=0 ，
所以 x1=5 ， x2=3 ，
∵菱形一条对角线长为8，
∴菱形的边长为5，
∴菱形的另一条对角线为 252−42=6 ，
∴菱形的面积 =12×6×8=24 ．
故答案为：B ．
8.解：A、立方根等于它本身的数一定是 ±1 和 0 ，故不符合题意；
B、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形，故符合题意；
C、在函数 y=kx+b(k≠0) 中，当 k>0 时， y 的值随着 x 值的增大而增大，故不符合题意；
D、在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，那么它们所对的弧长一定相等，故不符合题意．
故答案为：B ．
9.
∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AD=AB=CD=BC ， ∠CDE=∠DAF=90° ，
∵ CE⊥DF ，
∴∠DCE+∠CDF=∠ADF+∠CDF=90° ，
∴∠ADF=∠DCE ，
在 ΔADF 与 ΔDCE 中，
{∠DAF=∠CDE=90°AD=CD∠ADF=∠DCE ，
∴ΔADF≅ΔDCE(ASA) ，
∴DE=AF ；故①符合题意；
∵ AB//CD ，
∴AFCD=ANCN ，
∵ AF:FB=1:2 ，
∴AF:AB=AF:CD=1:3 ，
∴ANCN=13 ，
∴ANAC=14 ，
∵ AC=2AB ，
∴AN2AB=14 ，
∴AN=24AB ；故②符合题意；
作 GH⊥CE 于 H ，设 AF=DE=a ， BF=2a ，则 AB=CD=BC=3a ， EC=10a ，

由 ΔCMD∼ΔCDE ，可得 CM=91010a ，
由 ΔGHC∼ΔCDE ，可得 CH=91020a ，
∴CH=MH=12CM ，
∵ GH⊥CM ，
∴GM=GC ，
∴∠GMH=∠GCH ，
∵ ∠FMG+∠GMH=90° ， ∠DCE+∠GCM=90° ，
∴∠FEG=∠DCE ，
∵ ∠ADF=∠DCE ，
∴∠ADF=∠GMF ；故③符合题意，
设 ΔANF 的面积为 m ，
∵ AF//CD ，
∴AFCD=FNDN=13 ， ΔAFN~ΔCDN ，
∴ΔADN 的面积为 3m ， ΔDCN 的面积为 9m ，
∴ΔADC 的面积 =ΔABC 的面积 =12m ，
∴SΔANF:S四边形CNFB=1:11 ，故④不符合题意，
故答案为：C．
10.解：①∵四边形OABC是矩形， B(23,2) ，
∴OA=BC=23 ；故①符合题意；
②∵点D为OA的中点，
∴OD=12OA=3 ，
∴PC2+PD2＝CD2＝OC2+OD2＝22+（3）2＝7 ，故②符合题意；
③如图，过点P作 PF⊥OA A于F，FP的延长线交BC于E，

∴PE⊥BC ，四边形OFEC是矩形，
∴EF＝OC＝2 ，
设 PE＝a ，则 PF＝EF﹣PE＝2﹣a ，
在 RtΔBEP 中， tan∠CBO=PEBE=OCBC=33 ，
∴BE=3PE=3a ，
∴CE=BC−BE=23−3a=3(2−a) ，
∵PD⊥PC ，
∴∠CPE∠FPD=90° ，
∵∠CPE+∠PCE=90° ，
∴∠FPD=∠ECP, ，
∵∠CEP=∠PFD=90° ，
∴ΔCEP∽ΔPFD ，
∴PEFD=CPPD ，
∴aFD=3(2−a)2−a ，
∴FD=a3 ，
∴tan∠PDC=PCPD=aa3=3 ，
∴∠PDC=60° ，故③符合题意；
④ ∵B(23,2) ，四边形OABC是矩形，
∴OA=23,AB=2 ，
∵tan∠AOB=ABOA=33 ，
∴∠AOB=30° ，
当 ΔODP 为等腰三角形时，
Ⅰ、 OD＝PD，
∴∠DOP＝∠DPO＝30∘，
∴∠ODP＝60∘，
∴∠ODC＝60∘，
∴OD=33OC=233
Ⅱ、 OP=OD
∴∠ODP＝∠OPD＝75∘ ，
∵∠COD＝∠CPD＝90∘，
∴∠OCP＝105∘>90∘ ，故不合题意舍去；
Ⅲ、 OP＝PD ，
∴∠POD＝∠PDO＝30∘ ，
∴∠OCP＝150∘>90∘ 故不合题意舍去，
∴当 ΔODP 为等腰三角形时，点D的坐标为 (233,0) ．故④符合题意，
故答案为：D．
11.解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠DMC＝∠EMC，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠AMP＝∠EMP，
∵∠AMD＝180°，
∴∠PME+∠CME＝12×180°＝90°，
∴△CMP是直角三角形；故①正确；
∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠D＝∠MEC＝90°，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠MEG＝∠A＝90°，
∴∠GEC＝180°，
∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；
∵AD＝22AB，
∴设AB＝x，则AD＝22x，
∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；
∴DM=12AD=2x
∴CM=DM2+CD2=3x ∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，
∴CM2＝CN•CP，
∴CP=3x22x=32x=322x
∴PN=CP−CN=22x
∴PM=MN2+PN2=62x
∴PCPM=32x62x=3 ，
∴PC=3MP 故③错误；
∵PC=32x=322x
∴PB=22x−32x=22x
∴ABPB=x22x
∴PB=22AB 故④正确；
∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，
∴CE＝EG，
∵∠CEM＝∠G＝90°，
∴FE∥PG，
∴CF＝PF，
∵∠PMC＝90°，
∴CF＝PF＝MF，
∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；
故答案为：B.
12.①∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=∠DAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，
∴∠DAE=∠BEA，
∴∠BAE=∠BEA，
∴AB=BE=1，
∴△ABE是等边三角形，
∴AE=BE=1，
∵BC=2，
∴EC=1，
∴AE=EC，
∴∠EAC=∠ACE，
∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，
∴∠ACE=30°，
∵AD∥BC，
∴∠CAD=∠ACE=30°，
故①正确；
②∵BE=EC，OA=OC，
∴OE= 12 AB= 12 ，OE∥AB，
∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，
Rt△EOC中，OC= 12−(12)2=32 ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BCD=∠BAD=120°，
∴∠ACB=30°，
∴∠ACD=90°，
Rt△OCD中，OD= 12+(32)2=72 ，
∴BD=2OD= 7 ，故②正确；
③由②知：∠BAC=90°，
∴S▱ABCD=AB•AC，
故③正确；
④由②知：OE是△ABC的中位线，
又AB= 12 BC，BC=AD，，
∴OE= 12 AB= 14 AD，故④正确；
⑤∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC= 32 ，
∴S△AOE=S△EOC= 12 OE•OC= 12 × 12 × 32=38 ，
∵OE∥AB，
∴ EPAP=OEAB=12 ，
∴ S△POES△AOP=12 ，
∴S△AOP= 23  S△AOE= 23×38 = 312 ，故⑤正确；
本题正确的有：①②③④⑤，5个，
故答案为：D．
13.解：∵E，F分别是正方形ABCD边BC，CD的中点，

∴CF=BE，
在△ABE和△BCF中，
{AB=BC∠ABE=∠BCFBE=CF ，
∴Rt△ABE≌Rt△BCF（SAS），
∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，故①正确；
又∵∠BAE+∠BEA=90°，
∴∠CBF+∠BEA=90°，
∴∠BGE=90°，
∴AE⊥BF，故②正确；
根据题意得，FP=FC，∠PFB=∠BFC，∠FPB=90°
∵CD∥AB，
∴∠CFB=∠ABF，
∴∠ABF=∠PFB，
∴QF=QB，
令PF=k（k＞0），则PB=2k
在Rt△BPQ中，设QB=x，
∴x2=（x﹣k）2+4k2 ，
∴x= 5k2 ，
∴sin=∠BQP= BPQB = 45 ，故③正确；
∵∠BGE=∠BCF，∠GBE=∠CBF，
∴△BGE∽△BCF，
∵BE= 12 BC，BF= 52 BC，
∴BE：BF=1： 5 ，
∴△BGE的面积：△BCF的面积=1：5，
∴S四边形ECFG=4S△BGE ， 故④错误．
故选：B．
14.解：①∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC，AD∥BC,
∴∠CFB=∠ABF，
又∵CD=2AD，F为CD中点，
∴CF=DF=AD=BC，
∴∠CFB=∠CBF，
∴∠ABF=∠CBF，
∴BF平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABF，
故①正确.
②延长EF交BC于点G，

∵AD∥BC,
∴∠D=∠FCG,
在△DEF和△CGF中，
∵ {∠D=∠FCGDF=CF∠DFE=∠CFG ,
∴△DEF≌△CGF（ASA），
∴EF=FG，
又∵BE⊥AD，AD∥BC,
∴∠AEB=∠EBC=90°，
∴△BEG为直角三角形，
又∵F为EG中点，
∴EF=BF，
故②正确.
③由②知△DEF≌△CGF，
 ∴S△DEF=S△CGF ，
∴S四DEBC=S△BEG ，
又∵F为EG中点，
∴S△BEF=S△BGF ，
∴S△BEG=2S△BEF ，
即S四DEBC=2S△BEF ，
故③正确.
④设∠FEB=x，
由②知EF=BF,
∴∠FBE=∠FEB=x，
∴∠BFE=180°-2x，
又∵∠BED=∠AED=∠EBC=90°，
∴∠DEF=∠CBF=90°-x，
∵CF=BC,
∴∠CFB=∠CBF=90°-x，
又∵∠CFE=∠CFB+∠BFE，
∴∠CFE=90°-x+180°-2x，
       =270°-3x，
          =3（90°-x），
       =3∠DEF.
故④正确.
故答案为:D.
15.解：如图，

∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
{BC=CD∠BCE=∠DCGCE=CG
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE＝90°，
∴GH⊥BE.
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH＝OG＝OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF＝FG，
∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，
∴△EHM∽△GHF，
故②正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴BH＝EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO∥BG，
∴△DHN∽△DGC，
∴DNDC=HNCG
设EC和OH相交于点N.
设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，
∴b−2a2a=a2b
即a2+2ab﹣b2＝0，
解得：a＝b＝（﹣1+ 2 ）b，或a＝（﹣1﹣ 2 ）b（舍去），
∴2a2b=2−1
∴BCCG=2−1
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG＝BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO＝ 12 BG，
∴HO＝ 12 EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG＝2 2 b，
∴HO＝ 2 b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO△MFE，
∴ OMEM=OHEF=2b2b=22 ，
∴EM＝ 2 OM，
∴ OMOE=OM(1+2)OM=11+2=2−1 ，
∴ SΔHOMSΔHOE=2−1
∵EO＝GO，
∴S△HOE＝S△HOG ，
∴ SΔHOMSΔHOG=2−1
故④错误，
故答案为：A.
二、填空题
16.解：八边形的内角和= 180°×(8−2)=1080°
故答案为：1080°.
17.解：设这个多边形的边数是 n ，
则 (n−2)⋅180°−360°=900° ，
解得 n=9.
故答案为：9.
18.解：在△EBC中，由勾股定理得BC2=22-12=3, 则正方形的面积为BC2=3
19.解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6，
∴AC⊥BD，OA= 12 AC=3，BD=2OB．
在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°，
∴tan∠BAC= OBOA=13 ，
∴OB=1，
∴BD=2．
故答案为2．
20.解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD=10，BO=DO= 12 BD，
∴OD= 12 BD=5，
∵点P、Q是AO，AD的中点，
∴PQ是△AOD的中位线，
∴PQ= 12 DO=2.5．
故答案为：2.5．
21.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C=70°，
∵DC=DB，
∴∠C=∠DBC=70°，
∴∠CDB=180°﹣70°﹣70°=40°，
故答案为40°．
22.解：作EH⊥BD于H，

由折叠的性质可知，EG=EA，
由题意得，BD=DG+BG=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=AB，∠ABD=∠CBD= 12 ∠ABC=60°，
∴△ABD为等边三角形，
∴AB=BD=8，
设BE=x，则EG=AE=8﹣x，
在Rt△EHB中，BH= 12 x，EH= 32 x，
在Rt△EHG中，EG2=EH2+GH2 ， 即（8﹣x）2=（ 32 x）2+（6﹣x）2 ，
解得，x=2.8，即BE=2.8，
故答案为：2.8．
23.解：设 BF 长为 x ，则 FD＝4﹣x ，
如图，

∵∠ACB＝∠BCE＝∠CBD ，
∴ΔBCF 为等腰三角形， BF＝CF＝x ，
在 RtΔCDF 中， （4﹣x）2+22＝x2 ，
解得： x＝2.5 ，
∴BF＝2.5 ，
∴SΔBFC＝12BF×CD＝12×2.5×2＝2.5 .
即重叠部分面积为 2.5 .
故答案为： 2.5 .
24.解：过点A作 AM⊥BC 于M，

∵ BD=12DC=2 ，
∴ DC=4 ，
∴ BC=BD+DC=2+4=6 ，
∵ △ABC 是等边三角形，
∴ AB=AC=BC=6 ，
∵ AM⊥BC ，
∴ BM=12BC=12×6=3 ，
∴ DM=BM−BD=3−2=1 ，
在 Rt△ABM 中， AM=AB2−BM2=62−32=33 ，
当正方形DEFG绕点D旋转到点E、A、D在同一条直线上时， AD+AE=DE ，
即此时AE取最小值，
在 Rt△ADM 中， AD=DM2+AM2=12+(33)2=27 ，
∴在 Rt△ADG 中， AG=AD2+DG2=(27)2+62=8 ；
故答案为：8.
三、解答题
25.（1）解：∵四边形 ABCD 是平行四边形
∴ AD//BC ，∴ ∠ADE=∠DEB
∵ F 是 AB 的中点，∴ AF=BF
∴在 ΔAFD 与 ΔBFE 中， ∠ADE=∠DEB,AF=BF,∠AFD=∠BFE ∴△AFD≌△BFE,∴AD=BE,
又∵ AD//BC ，∴四边形 AEBD 是平行四边形
∵ DB=DA ，∴四边形 AEBD 是菱形 

（2）解：∵四边形 AEBD 是菱形，
∴AB⊥DE,
∵四边形 A B C D 是平行四边形
∴AB∥CD
∴DE⊥DC
∵ DC=10 ， tan∠DCB=3
∴ DEDC=3 ， DC=310
∴ SAEBD=AB⋅DE÷2=10⋅310÷2=15
26.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∵BM⊥AC，DN⊥AC，
∴DN∥BM，
∴四边形BMDN是平行四边形
（2）解：∵四边形BMDN是平行四边形，
∴DM=BN，
∵CD=AB，CD∥AB，
∴CM=AN，∠MCE=∠NAF，
∵∠CEM=∠AFN=90°，
∴△CEM≌△AFN，
∴FN=EM=5，
在Rt△AFN中，AN= AF2+FN2 = 52+122 =13
27.（1）证明：∵ AB ∥ CD ，
∴ ∠CAB=∠ACD
∵ AC 平分 ∠BAD
∴ ∠CAB=∠CAD ，
∴ ∠CAD=∠ACD
∴ AD=CD
又∵ AD=AB
∴ AB=CD
又∵ AB ∥ CD ，
∴四边形 ABCD 是平行四边形
又∵ AB=AD
∴ ▱ABCD 是菱形  

（2）解：∵四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC 、 BD 交于点 O ．
∴ AC⊥BD ． OA=OC=12AC ， OB=OD=12BD ，
∴ OB=12BD=1 ．
在 Rt△AOB 中， ∠AOB=90° ．
∴ OA=AB2−OB2=2 ．
∵ CE⊥AB ，
∴ ∠AEC=90° ．
在 Rt△AEC 中， ∠AEC=90° ． O 为 AC 中点．
∴ OE=12AC=OA=2
28.（1）证明：∵AD∥BC，AE∥DC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴AE=CE= 12 BC，
∴四边形AECD是菱形
（2）证明：过A作AH⊥BC于点H，

∵∠BAC=90°，AB=6，BC=10，
∴AC= 102−62=8 ，
∵ S△ABC=12BC⋅AH=12AB⋅AC ，
∴AH= 6×810=245 ，
∵点E是BC的中点，BC=10，四边形AECD是菱形，
∴CD=CE=5，
∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF，
∴EF=AH= 245
29. （1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴ AB=AD ， ∠ABC=∠ADC=∠ADF=90° ，
在 ΔABE 和 ΔADF 中，
{AB=AD∠ABE=∠ADFBE=DF ，
∴ ΔABE ≌ ΔADF （ SAS ）；

（2）解：∵ ΔABE ≌ ΔADF ，
∴ AE=AF ， ∠BAE=∠DAF ，
∵ ∠BAE+∠EAD=90∘ ，
∴ ∠DAF+∠EAD=90∘ ，即 ∠EAF=90∘ ，
∴ EF=2AE=52
30. （1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD，
∵DE=CF，
∴AE=DF，
在△BAE和△ADF中，
∵ {AB=AD∠BAE=∠ADFAE=DF ，
∴△BAE≌△ADF ，
∴BE=AF

（2）解：由（1）得：△BAE≌△ADF，
∴∠EBA=∠FAD，
∴∠GAE+∠AEG=90°，
∴∠AGE=90°，
∵AB=4，DE=1，
∴AE=3，
∴BE=AB2+AE2=42+(4−1)2=5 ，
在 Rt△ABE 中， 12AB⋅AE=12BE⋅AG
∴AG=4×35=125 ，
31. （1）证明：∵AE＝CF，
∴AE+EF＝CF+EF，
即AF＝CE，
∵DF∥BE，
∴∠DFA＝∠BEC，
∵DF＝BE，
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AD＝CB，∠DAF＝∠BCE，
∴AD∥CB，
∴四边形ABCD是平行四边形；
（2）24.
（2）解：∵CG⊥AB，
∴∠G＝90°，
∵∠CBG＝45°，
∴△BCG是等腰直角三角形，
∵BC＝4 2 ，
∴BG＝CG＝4，
∵tan∠CAB＝ 25 ，
∴AG＝10，
∴AB＝6，
∴▱ABCD的面积＝6×4＝24，
故答案为：24。
32. （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ ∠A=∠D=90° ，
∵ EF⊥CE ，
∴ ∠FEC=90° ，
∴ ∠AFE+∠AEF=∠AEF+∠DEC=90° ，
∴ ∠AFE=∠DEC ，
在 ΔAEF 与 ΔDCE 中， {∠A=∠D∠AFE=∠DECAE=CD ，
∴ ΔAEF ≌ ΔDCE (AAS) ，
∴ AF=DE

（2）解：∵ DE=25AD ，
∴ AE=32DE ，
∵ AF=DE ，
∴ tan∠AFE=32DEDE=32
33. （1）解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠A=∠C=90°，
在△ABF和△CBE中 {AB=BC∠A=∠C=90∘AF=CE
∴△ABF≌△CBE（SAS）；

（2）解：由已知可得正方形ABCD面积为：4×4=16，
△ABF面积＝△CBE面积＝ 12 ×4×1＝2.
∴四边形BEDF的面积为16﹣2×2＝12
34.（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，∴∠1=∠2．∵EF是BD的中垂线，∴OD=OB，∠3=∠4=90°，∴△DOF≌△BOE，∴OE=OF
（2）解：作DG⊥AB，垂足为G． ∵∠A=60°，AD=6，∴∠ADG=30°，∴AG= 12 AD=3，∴DG= 62−32=33 ． ∵AB=2AD，∴AB=2×6=12，BG=AB﹣AG=12﹣3=9，∴tan∠ABD= DGBG=339=33 ．
35.（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵CQ∥DB，
∴∠BCQ=∠DBC，
∴∠ADB=∠BCQ，
∵DP=CQ，
∴△ADP≌△BCQ

（2）证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，
∴四边形CQPD是平行四边形，
∴CD=PQ，CD∥PQ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD，
∴AB=PQ，AB∥PQ，
∴四边形ABQP是平行四边形，
∵△ADP≌△BCQ，
∴∠APD=∠BQC，
∵∠APD+∠APB=180°，
∴∠ABP=∠APB，
∴AB=AP，
∴四边形ABQP是菱形．\