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2020年广东深圳市中考数学一轮复习 图形的相似补充练习解析版
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2020年深圳市中考数学一轮复习之图形的相似补充练习解析版
一、选择题
1.沿一张矩形纸较长两边中点将纸一分为二，所得两张矩形纸与原来的矩形纸相似，那么原来那张纸的长和宽的比是（ ）
A. 2:1 B. 3:1 C. 2:1 D. 3:1
2.如图，已知在△ABC中，点D为BC边上一点（不与点B，点C重合），连结AD，点E、点F分别为AB、AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG，并延长BG交AC于点H.已知 AEBE =2，①若AD为BC边上的中线， BGBH 的值为 23 ；②若BH⊥AC，当BC＞2CD时， BHAD ＜2sin∠DAC.则（ ）
A. ①正确；②不正确 B. ①正确；②正确 C. ①不正确；②正确 D. ①不正确；②正确
3.如图，直线l1 ∥ l2 ∥ l3 ， 直线AC分别交l1 ， l2 ， l3于A，B，C；直线DF分别交l1 ， l2 ， l3于D，E，F.已知 ABAC=13 ，则（ ）
A. ABBC=13 B. ADFC=13 C. DEEF=12 D. BEFC=12
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，那么下列结论错误的是（ ）
A. ABAD=ACAE B. ADAB=AFAD C. ABAF=ACAE D. EFDC=DEBC
5.如图，在 △ABC 中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且 DE//BC ，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是 ( )
A. ADAB=AEEC B. AGGF=AEBD C. ODOC=AEAC D. AGAF=ACEC
6.如图，在 ΔABC 中， D,E 分别为 AB、AC 边上的中点，则 ΔADE 与 ΔABC 的面积之比是（ ）
A. 1：4 B. 1:3 C. 1:2 D. 2:1
7.如图，在四边形ABCD中， ∠DAB=90° ， AD∥BC ， BC=12AD ，AC与BD交于点E， AC⊥BD ，则 tan∠BAC 的值是（ ）
A. 14 B. 24 C. 22 D. 13
8.如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的 12 ，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（ ）
A. （4，3） B. （3，4） C. （5，3） D. （4，4）
9.如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上.O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH.以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③ BCCG=2 ﹣1；④ S△HOMS△HOG ＝2﹣ 2 ，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
10.如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 的中点， BD ， AE 交于点 O ，若随机向平行四边形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A. 116 B. 112 C. 18 D. 16
11.如图，正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG.以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝ 43 ；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
12.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E ． 使得 ∠CDE=15° ，连接BE并延长BE到F ， 使 CF=CB ，BF与CD相交于点H ， 若 AB=1 ，有下列结论：① BE=DE ；② CE+DE=EF ；③ SΔDEC=14−312 ；④ DHHC=23−1 ．则其中正确的结论有（ ）
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①③④
13.如图，在平行四边形 ABCD 中， ∠BAC=90∘ ， AB=AC ，过点 A 作边 BC 的垂线 AF 交 DC 的延长线于点 E ，点 F 是垂足，连接 BE 、 DF ， DF 交 AC 于点 O ．则下列结论：①四边形 ABEC 是正方形；② CO:BE=1:3 ；③ DE=2BC ；④ S四边形OCEF=SΔAOD ，正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
14.如图，正方形 ABCD 的边长为4，延长 CB 至 E 使 EB=2 ，以 EB 为边在上方作正方形 EFGB ，延长 FG 交 DC 于 M ，连接 AM 、 AF ， H 为 AD 的中点，连接 FH 分别与 AB 、 AM 交于点 N 、 K .则下列结论：① ΔANH≅ΔGNF ；② ∠AFN=∠HFG ；③ FN=2NK ；④ SΔAFN:SΔADM=1:4 .其中符合题意的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
15.如图，四边形 ABCD 是边长为1的正方形， ΔBPC 是等边三角形，连接 DP 并延长交 CB 的延长线于点H ， 连接 BD 交 PC 于点Q ， 下列结论：
① ∠BPD=135° ；② ΔBDP∽ΔHDB ；③ DQ:BQ=1:2 ；④ SΔBDP=3−14 ．
其中符合题意的有（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
二、填空题
16.如图，在 RtΔABC 中， ∠ACB＝90° ，点 D 是边 AB 上的一点， CD⊥AB 于 D，AD＝2，BD＝6 ，则边 AC 的长为________.
17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E.若AC=8，BC=6，则线段DE的长度为________.
18.如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比 35 进行缩小，得到的直角三角形的面积是__.
19.如图， l1∥l2∥l3 ，直线a、b与 l1 、 l2 、 l3 分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若 AB=3 ， DE=2 ， BC=6 ，则 EF= ________.
20.如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是________.
21.如图，在等腰 RtΔABC 中， ∠C=90∘ ， AC=15 ，点 E 在边 CB 上， CE=2EB ，点 D 在边 AB 上， CD⊥AE ，垂足为 F ，则 AD 长为________．
22.如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ACB=90∘,AB=10,BC=6 , CD ∥ AB , ∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于 E , DE = ________.
23.如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6。先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为________。
24.已知三个边长分别为2 cm ，3 cm ，5 cm 的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为________．
25.若 x+yx=32 ，则 yx= ________．
26.如图，正方形ABCD中， AB=12，AE=14AB ，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作 PQ⊥EP ，交CD于点Q，则CQ的最大值为________．
27.如图， ▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O ， CE 平分 ∠BCD 交 AB 于点 E ，交 BD 于点 F ，且 ∠ABC=60°,AB=2BC ，连接 OE ．下列结论：① EO⊥AC ；② S△AOD=4S△OCF ；③ AC:BD=21:7 ；④ FB2=OF•DF ．其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）
28.如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E ， 连接CF并延长，交AB于点D ， 过点F作FG∥BC ， 交AC于点G ． 设三角形EFG ， 四边形FBCG的面积分别为S1 ， S2 ， 则S1：S2＝________．
29.如图，在矩形ABCD中， AB=1 ， BC=a ，点E在边BC上，且 BE=35α .连接AE，将 ΔABE 沿AE折叠，若点B的对应点 B′ 落在矩形ABCD的边上，则a的值为________.
30.如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE= 13 AB，CF= 13 CB，AG= 13 AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于________．
三、解答题
31.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值.
（3）当PH＝2时，求点P的坐标.
32.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣ 34 x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E.
（1）求抛物线的函数表达式
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点.连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.
33.在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项.
（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；
（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；
（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长.
34.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接DG，若AC∥EF时.
①求证：△KGD∽△KEG；
②若 cosC=45 ，AK= 10 ，求BF的长.
35.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝5cm，BC＝6cm，点E.F.G分别从A.B.C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E.F.G运动的时间为t（单位：s）.
（1）当t等于多少s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B’与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
答案
一、选择题
1.设原来矩形的长为x，宽为y，如图，
则对折后的矩形的长为y，宽为 x2 ，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y： x2 ，
解得x：y= 2 ：1.
故答案为：A.
2.解：①∵EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，
∵ AEBE =2，
∴ EGBD=AEAB=23 ，
同理易证△GHF∽△BHC，
∵D为BC中点，
∴ HGHB=GFBC=13 ，
∴ BGBH = 23 ，故①正确；
②同理∵ AEBE =2，
∴ AGAD=23 ，即AD= 32 AG
∵BC＞2CD，即EF＞2GF，
∴EG＞GF，
∴ GHBH<13 ，即BH＞3GH，
∴ BHAD>3GHAD =2 GHAG ，
又∵BH⊥AC，
∴sin∠DAC= GHAG ，
∴ BHAD ＞2sin∠DAC，故②不正确.
故答案为：A.
3.解：∵直线l1 ∥ l2 ∥ l3 ， ABAC=13 ，
∴ ABBC=12 ，故A选项错误；
DEEF=12 ，故C选项正确；
ADFC ， BEFC 无法确定，故B、D选项错误.
故答案为：C.
4.∵DE∥BC、EF∥CD，∴△ADE∽△ABC、△AFE∽△ADC，则 ABAD = ACAE = BCDE 、 ACAE = ADAF = DCEF ，故A正确；
∴ ABAD = ADAF ，即 ADAB = AFAD ，故B正确；
由 ACAE = BCDE 、 ACAE = DCEF 知 BCDE = DCEF ，即 EFDC = DEBC ，故D正确.
故答案为：C.
5.A.∵ DE//BC ，
∴ ADAB=AEAC ,故不正确；
B. ∵ DE//BC ，
∴ AGGF=AEEC ,故不正确；
C. ∵ DE//BC ，
∴ △ADE ∽ △ABC ， △DEO ∽ △CBO ,
∴DEBC=AEAC ， DEBC=ODOC .
∴ODOC=AEAC ，故正确；
D.∵ DE//BC ，
∴ AGAF=AEAC ,故不正确；
故答案为：C.
6.解：由题意可知： DE 是 ΔABC 的中位线，
∴DE//BC，DE＝12BC ，
∴ΔADE∽ΔABC ，
∴SΔADESΔABC=(DEBC)2=14 ，
故答案为：A.
7.解：∵ AD∥BC ， ∠DAB=90° ，
∴ ∠ABC=180°−∠DAB=90° ， ∠BAC+∠EAD=90° ，
∵ AC⊥BD ，
∴ ∠AED=90° ，
∴ ∠ADB+∠EAD=90° ，
∴ ∠BAC=∠ADB ，
∴ △ABC∽△DAB ，
∴ ABDA=BCAB ，
∵ BC=12AD ，
∴ AD=2BC ，
∴ AB2=BC×AD=BC×2BC=2BC2 ，
∴ AB=2BC ，
在 Rt△ABC 中， tan∠BAC=BCAB=BC2BC=22 ；
故答案为：C.
8.解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的 12 ，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）.
故答案为：A.
9.解：如图，
∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
{BC=CD∠BCE=∠DCGCE=CG
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE＝90°，
∴GH⊥BE.
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH＝OG＝OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF＝FG，
∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，
∴△EHM∽△GHF，
故②正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴BH＝EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO∥BG，
∴△DHN∽△DGC，
∴DNDC=HNCG
设EC和OH相交于点N.
设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，
∴b−2a2a=a2b
即a2+2ab﹣b2＝0，
解得：a＝b＝（﹣1+ 2 ）b，或a＝（﹣1﹣ 2 ）b（舍去），
∴2a2b=2−1
∴BCCG=2−1
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG＝BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO＝ 12 BG，
∴HO＝ 12 EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG＝2 2 b，
∴HO＝ 2 b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO△MFE，
∴ OMEM=OHEF=2b2b=22 ，
∴EM＝ 2 OM，
∴ OMOE=OM(1+2)OM=11+2=2−1 ，
∴ SΔHOMSΔHOE=2−1
∵EO＝GO，
∴S△HOE＝S△HOG ，
∴ SΔHOMSΔHOG=2−1
故④错误，
故答案为：A.
10.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC=AD，
∴△BOE∽△DOA，
∴ BOOD=OEAO=BEAD
又∵ E 为 BC 的中点，
∴ BOOD=OEAO=BEAD=12 ，
∴ BOBD=13 ，
∴ S△BOE=12S△AOB ， S△AOB=13S△ABD ，
∴ S△BOE=16S△ABD=112S▱ABCD ，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为 112 。
故答案为：B。
11.解：∵正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点
∴AD＝DC＝BC＝AB＝6，AE＝BE＝3，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°
∵△ADE沿DE翻折得到△FDE
∴∠AED＝∠FED，AD＝FD＝6，AE＝EF＝3，∠A＝∠DFE＝90°
∴BE＝EF＝3，∠DFG＝∠C＝90°
∴∠EBF＝∠EFB
∵∠AED+∠FED＝∠EBF+∠EFB
∴∠DEF＝∠EFB
∴BF∥ED
故结论①正确；
∵AD＝DF＝DC＝6，∠DFG＝∠C＝90°，DG＝DG
∴Rt△DFG≌Rt△DCG
∴结论②正确；
∵FH⊥BC，∠ABC＝90°
∴AB∥FH，∠FHB＝∠A＝90°
∵∠EBF＝∠BFH＝∠AED
∴∠FBH=∠ADE，
∴△FHB∽△EAD
∴结论③正确；
∵Rt△DFG≌Rt△DCG
∴FG＝CG
设FG＝CG＝x，则BG＝6﹣x，EG＝3+x
在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+(6﹣x)2＝(3+x)2
解得：x＝2
∴BG＝4
∴tan∠GEB＝ BGBE=43
故结论④正确；
∵△FHB∽△EAD，且 AEAD=12
∴BH＝2FH
设FH＝a，则HG＝4﹣2a
在Rt△FHG中，由勾股定理得：a2+(4﹣2a)2＝22
解得：a＝2(舍去)或a＝ 65
∴S△BFG＝ 12 ×4× 65 ＝2.4
故结论⑤错误；
故答案为：C。
12.证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD ， ∠ABC=∠ADC=90° ， ∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45° ．
在 ΔABE 和 ΔADE 中，
{AB=AD∠BAC=∠DACAE=AE ，
∴ ΔABE≅ΔADE(SAS) ，
∴ BE=DE ，故①符合题意；
②在EF上取一点G ， 使 EG=EC ，连结CG ，
∵ ΔABE≅ΔADE ，
∴ ∠ABE=∠ADE ．
∴ ∠CBE=∠CDE ，
∵ BC=CF ，
∴ ∠CBE=∠F ，
∴ ∠CBE=∠CDE=∠F ．
∵ ∠CDE=15° ，
∴ ∠CBE=15° ，
∴ ∠CEG=60° ．
∵ CE=GE ，
∴ ΔCEG 是等边三角形．
∴ ∠CGE=60° ， CE=GC ，
∴ ∠GCF=45° ，
∴ ∠ECD=GCF ．
在 ΔDEC 和 ΔFGC 中，
{CE=GC∠ECD=∠GCFCD=CF ，
∴ ΔDEC≅ΔEGC(SAS) ，
∴ DE=GF ．
∵ EF=EG+GF ，
∴ EF=CE+ED ，故②符合题意；
③过D作 DM⊥AC 交于M ，
根据勾股定理求出 AC=2 ，
由面积公式得： 12AD×DC=12AC×DM ，
∴ DM=22 ，
∵ ∠DCA=45° ， ∠AED=60° ，
∴ CM=22 ， EM=66 ，
∴ CE=CM−EM=22−66
∴ SΔDEC=12CE×DM=14−312 ，故③符合题意；
④在 RtΔDEM 中， DE=2ME=63 ，
∵ ΔECG 是等边三角形，
∴ CG=CE=22−66 ，
∵ ∠DEF=∠EGC=60° ，
∴ DE∥CG ，
∴ ΔDEH∽ΔCGH ，
∴ DHHC=DECG=632266=3+1 ，故④不符合题意；
综上，正确的结论有①②③，
故答案为：A ．
13.① ∵∠BAC=90∘ ， AB=AC ，
∴BF=CF ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//DE ，
∴∠BAF=∠CEF ，
∵∠AFB=∠CFE ，
∴ΔABF≅ΔECF=(AAS) ，
∴AB=CE ，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形，
∵∠BAC=90∘ ， AB=AC ，
∴ 四边形 ABEC 是正方形，故此题结论符合题意；
② ∵OC//AD ，
∴ΔOCF~ΔOAD ，
∴OC:OA=CF:AD=CF:BC=1:2 ，
∴OC:AC=1:3 ， ∵AC=BE ，
∴OC:BE=1:3 ，故此小题结论符合题意；
③∵AB＝CD＝EC ∵AB=CD=EC ，
∴DE=2AB ，
∵AB=AC ， ∠BAC=90∘ ，
∴AB=22BC ，
∴DE=2×22BC=2BC ，故此小题结论符合题意；
④ ∵ΔOCF~ΔOAD ，
∴SΔOCFSΔOAD=(12)2=14 ∴，
∴SΔOCF=14SΔOAD ∴，
∵OC:AC=1:3 ，
∴3SΔDCF=SΔACF∵SΔACF=SΔCEF ，
∴SΔCEF=3SΔOCF=34SΔOAD ，
∴S四边形OCEF=SΔOCF+SΔCEF=(14+34)SΔOAD=SΔOAD ，故此小题结论符合题意．
故答案为：D．
14.∵四边形ABCD、BEFG是正方形，
∴∠BAD=∠C=∠E=∠EFB=∠BGF=90°，AD//BC，
∴四边形CEFM是矩形，∠AGF=180°-∠BGF=90°
∴FM=EC，CM=EF=2，FM//EC，
∴AD//FM，DM=2，
∵H为AD中点，AD=4，
∴AH=2，
∵FG=2，
∴AH=FG，
∵∠NAH=∠NGF，∠ANH=∠GNF，
∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①符合题意；
∴∠NFG=∠AHN，NH=FN，AN=NG，
∵AF>FG，
∴AF≠AH，
∴∠AFN≠∠AHN，即∠AFN≠∠HFG，故②不符合题意；
∵EC=BC+BE=4+2=6，
∴FM=6，
∵AD//FM，
∴△AHK∽△MFK，
∴ FKKH=FMAH=62=3 ，
∴FK=3HK，
∵FH=FK+KH，FN=NH，FN+NH=FH，
∴FN=2NK，故③符合题意；
∵AN=NG，AG=AB-BG=4-2=2，
∴AN=1，
∴S△ANF= 12AN·FG=12×1×2=1 ，S△AMD= 12AD·DM=12×4×2=4 ，
∴S△ANF：S△AMD=1：4，故④符合题意，
故答案为： C.
15.解：∵ ΔPBC 是等边三角形，四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠PCB=∠CPB=60° ， ∠PCD=30° ， BC=PC=CD ，
∴ ∠CPD=∠CDP=75° ，
则 ∠BPD=∠BPC+∠CPD=135° ，故①符合题意；
∵ ∠CBD=∠CDB=45° ，
∴ ∠DBP=∠DPB=135° ，
又∵ ∠PDB=∠BDH ，
∴ ΔBDP∽ΔHDB ，故②符合题意；
如图，过点Q作 QE⊥CD 于E ，
设 QE=DE=x ，则 QD=2x ， CQ=2QE=2x ，
∴ CE=3x ，
由 CE+DE=CD 知 x+3x=1 ，
解得 x=3−12 ，
∴ QD=2x=6−22 ，
∵ BD=2 ，
∴ BQ=BD−DQ=2−6−22=32−62 ，
则 DQ:BQ=6−22:32−62≠1:2 ，故③不符合题意；
∵ ∠CDP=75° ， ∠CDQ=45° ，
∴ ∠PDQ=30° ，
又∵ ∠CPD=75 ，
∴ ∠DPQ=∠DQP=75° ，
∴ DP=DQ=6−22 ，
∴ SΔBDP=12BD·PDsin∠BDP=12×2×6−22×12=3−14 ，故④符合题意；
故答案为：D．
二、填空题
16.解：由射影定理得， AC2＝AD•AB＝2×（2+6） ，
解得： AC＝4 ，
故答案为： 4 .
17.解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2 = 82+62 =10，
∵DE垂直平分AB，
∴∠DEA=90°，AE= 12AB=12×10 =5，
∴∠DEA=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴ AEAC=DEBC ，
即 58=DE6
∴DE= 154 .
故答案为： 154 .
18.解：设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为 a 、 b(a
解得 a=3 ， b=6 ，
所以 12ab=12×3×6=9 .
∴ 缩小后的直角三角形的面积为9.
故答案为：9.
19.解：∵ l1∥l2∥l3 ，
∴ ABBC=DEEF ，
又 AB=3 ， DE=2 ， BC=6 ，
∴ EF=4 。
故答案为：4。
20.解：如图，作FH⊥PE于H.
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5 2 ，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝ 2 ，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4 2 ，AE＝ 2 ，
∴EH＝5 2 ，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5 2 ）2+（ 2 ）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴ EFEP=ECEF ，
∴EF2＝EC•EP，
∴EP＝ 5242=1322
故答案为： 1322。
21.过 D 作 DH⊥AC 于 H ，则∠AHD=90°
∵ 在等腰 RtΔABC 中， ∠C=90∘ ， AC=15 ，
∴AC=BC=15 ， ∠CAD=45∘ ，
∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD，
∴AH=DH ，
∴CH=AC-AH=15-DH，
∵CF⊥AE ，
∴∠DHA=∠DFA=90∘ ，
又∵∠ANH=∠DNF，
∴∠HAF=∠HDF ，
∴ΔACE~ΔDHC ，
∴DHAC=CHCE ，
∵CE=2EB ，CE+BE=BC=15，
∴ CE=10 ，
∴ DH15=15−DH10 ，
∴DH=9 ，
∴AD=AH2+DH2=92 ，
故答案为： 92 ．
22.∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠D=∠ABE，
∴∠D=∠CBE，
∴CD=BC=6，
∴△AEB∽△CED，
∴ AEEC=BEED=ABCD=106=53 ，
∴ CE=38AC=38×8=3 ，
BE=BC2+CE2=62+32=35 ，
DE=35BE=35×35=955 ，
故答案为： 955 ．
23.解：根据题意可知，BE=2，AB=4，AF=62+62=62
∵四边形ABCD为矩形
∴AB∥CD
∴△ABG∽△FCG
∴FCAB=FGAG
设FG为x，则AG=62-x
解得x=22
∴在直角三角形GCF中，FG=22,FC=2
由勾股定理得，GC=（22）2-22=2
∴△GCF的周长=2+2+22=4+22。
故答案为：4+22。
24.解：如图，
对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知 510=x5 ，
解得 x=2.5 ，
即阴影梯形的上底就是 3−2.5=0.5 （ cm ）．
再根据相似的性质可知 25=y2.5 ，
解得： y=1 ，
所以梯形的下底就是 3−1=2(cm) ，
所以阴影梯形的面积是 (2+0.5)×3÷2=3.75(cm2) ．
故答案为： 3.75cm2 ．
25. ∵x+yx=32 ，
∴2x+2y=3x ，
故2y=x，
则 yx=12 ，
故答案为： 12 ．
26.解： ∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ．
又 ∠B＝∠C＝90°，
∴ΔBPE∽ΔCQP．
∴BEPC=BPCQ
设 CQ＝y，BP＝x ，则 CP＝12﹣x ．
∴912−x=xy ，化简得 y=−19(x2−12x) ，
整理得 y=−19(x−6)2+4 ，
所以当 x＝6 时，y有最大值为4．
故答案为4．
27.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ CD∥AB,OD=OB,OA=OC ，
∴ ∠DCB+∠ABC=180° ，
∵ ∠ABC=60° ，
∴ ∠DCB=120° ，
∵ EC 平分 ∠DCB ，
∴ ∠ECB=12∠DCB=60° ，
∴ ∠EBC=∠BCE=∠CEB=60° ，
∴ △ECB 是等边三角形，
∴ EB=BC ，
∵ AB=2BC ，
∴ EA=EB=EC ，
∴ ∠ACB=90° ，
∵ OA=OC,EA=EB ，
∴ OE∥BC ，
∴ ∠AOE=∠ACB=90° ，
∴ EO⊥AC ，故①正确，
∵ OE∥BC ，
∴ △OEF∽△BCF ，
∴ OEBC=OFFB=12 ，
∴ OF=13OB ，
∴ S△AOD=S△BOC=3S△OCF ，故②错误，
设 BC=BE=EC=a ，则 AB=2a ， AC=3a ， OD=OB=a2+(32a)2=72a ，
∴ BD=7a ，
∴ AC:BD=3a:7a=21:7 ，故③正确，
∵ OF=13OB=76a ，
∴ BF=73a ，
∴ BF2=79a2,OF⋅DF=76a⋅(72a+76a)=79a2 ，
∴ BF2=OF⋅DF ，故④正确，
故答案为①③④．
28.∵点F是△ABC的重心，
∴BF＝2EF ，
∴BE＝3EF ，
∵FG∥BC ，
∴△EFG∽△EBC ，
∴ EFBE=13 ， S1S△EBC= （ 13 ）2 =19 ，
∴S1：S2；
故答案为： 18 ．
29.解：分两种情况：
①当点 B′ 落在AD边上时，如图1.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90° ，
∵ 将 ΔABE 沿AE折叠，点B的对应点 B′ 落在AD边上，
∴∠BAE=∠B′AE=12∠BAD=45° ，
∴AB=BE ，
∴35a=1 ，
∴a=53 ；
②当点 B′ 落在CD边上时，如图2.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90° ， AD=BC=a .
∵ 将 ΔABE 沿AE折叠，点B的对应点 B′ 落在CD边上，
∴∠B=∠AB′E=90° ， AB=AB′=1 ， EB=EB′=35a ，
∴DB′=B′A2−AD2=1−a2 ， EC=BC−BE=a−35a=25 .
在 ΔADB′ 与 ΔB′CE 中，
{∠B′AD=∠EB′C=90°−∠AB′D∠D=∠C=90° ，
∴ΔADB'∽ΔB'CE ，
∴DB′CE=AB′B′E ，即 1−a225a=135a ，
解得 a1=53 ， a2=0 （舍去）。
综上，所求a的值为 53 或 53。
故答案为 53 或 53 。
30.如图，在CD上截取一点H，使得CH= 13 CD，连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P，
∵AE= 13 AB，AG= 13 AD，
∴ AEAB=AGAD ，
∴EG∥BD，同法可证：FH∥BD，
∴EG∥FH，同法可证EF∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EG，
∴四边形EFGH是矩形，易证点O在线段FG上，四边形EQOP是矩形，
∵S△EFG=6，
∴S矩形EQOP=3，即OP•OQ=3，
∵OP：OA=BE：AB=2：3，
∴OA= 32 OP，同法可证OB=3OQ，
∴S菱形ABCD= 12 •AC•BD= 12 ×3OP×6OQ=9OP×OQ=27，
故答案为：27．
三、解答题
31. （1）解：点C（0，4），则c＝4，
二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4
（2）解：tan∠ACO＝ AOCO ＝ 14 ，
△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，
即：tan∠FEB＝ 14 或4，
∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，
EB＝4﹣a，
则 a4−a=14 或 a4−a=4 ，
解得：a＝ 165 或 45
（3）解：令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；
分别延长CF、HP交于点N，
∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，
∴∠FPN＝∠NFB，
∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，
∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，
∴△PNF≌△BEF（AAS），
∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，
∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），
∵PH＝2，
即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，
解得：a＝1或 12 或 3+174 或 3−174 （舍去），
故：点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（ 3+172 ，4）.
32. （1）解：在 y=−34x+3 中，令 x=0 ，得 y=3 ，令 y=0 ，得 x=4 ，
∴A(4,0) ， B(0,3) ，
将 A(4,0) ， B(0,3) 分别代入抛物线 y=−x2+bx+c 中，得： {−42+4b+c=0c=3 ，解得： {b=134c=3 ，
∴ 抛物线的函数表达式为： y=−x2+134x+3
（2）解：存在.如图1，过点 B 作 BH⊥CD 于 H ，设 C(t,0) ，则 D(t,−t2+134t+3) ， E(t,−34t+3) ， H(t,3) ；
∴EC=−34t+3 ， AC=4−t ， BH=t ， DH=−t2+134t ， DE=−t2+4t
∵ΔBDE 和 ΔACE 相似， ∠BED=∠AEC
∴ΔBDE∽ΔACE 或 ΔDBE∽ΔACE
①当 ΔBDE∽ΔACE 时， ∠BDE=∠ACE=90° ，
∴ BDDE=ACCE ，即： BD·CE=AC·DE
∴t(−34t+3)=(4−t)×(−t2+4t) ，解得： t1=0 （舍去）， t2=4 （舍去）， t3=134 ，
∴D(134 ， 3)
②当 ΔDBE∽ΔACE 时， ∠BDE=∠CAE
∵BH⊥CD
∴∠BHD=90° ，
∴ BHDH=tan∠BDE=tan∠CAE=CEAC ，即： BH·AC=CE·DH
∴t(4−t)=(−34t+3)(−t2+134t) ，解得： t1=0 （舍 ) ， t2=4 （舍 ) ， t3=2312 ，
∴D(2312 ， 509) ；
综上所述，点 D 的坐标为 (134 ， 3) 或 (2312 ， 509)
（3）解：如图3， ∵ 四边形 DEGF 是平行四边形
∴DE//FG ， DE=FG
设 D(m,−m2+134m+3) ， E(m,−34m+3) ， F(n,−n2+134n+3) ， G(n,−34n+3) ，
则： DE=−m2+4m ， FG=−n2+4n ，
∴−m2+4m=−n2+4n ，即： (m−n)(m+n−4)=0 ， ∵m−n≠0
∴m+n−4=0 ，即： m+n=4
过点 G 作 GK⊥CD 于 K ，则 GK//AC
∴∠EGK=∠BAO
∴ GKEG=cos∠EGK=cos∠BAO=AOAB ，即： GK·AB=AO·EG
∴5(n−m)=4EG ，即： EG=54(n−m)
∴DEGF 周长 =2(DE+EG)=2[(−m2+4m)+54(n−m)]=−2(m−34)2+898
∵−2<0 ，
∴ 当 m=34 时， ∴▱DEGF 周长最大值 =898 ，
∴G(134 ， 916) .
33. （1）解：∵AE是AM和AN的比例中项
∴ AMAE＝AEAN ，
∵∠A＝∠A，
∴△AME∽△AEN，
∴∠AEM＝∠ANE，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE＋∠DEC＝90°，
∵EM⊥BC，
∴∠AEM＋∠DEC＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∴∠ANE＝∠DCE
（2）解：∵AC与NE互相垂直，
∴∠EAC＋∠AEN＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ANE＋∠AEN＝90°，
∴∠ANE＝∠EAC，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠EAC，
∴tan∠DCE＝tan∠DAC，
∴ DEDC＝DCAD ，
∵DC＝AB＝6，AD＝8，
∴DE＝ 92 ，
∴AE＝8﹣ 92 ＝ 72 ，
由（1）得∠AEM＝∠DCE，
∴tan∠AEM＝tan∠DCE，
∴ AMAE＝DEDC ，
∴AM＝ 218 ，
∵ AMAE＝AEAN ，
∴AN＝ 143 ，
∴MN＝ 4924
（3）解：∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，
又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠NME，
当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时
①∠ENM＝∠EAC，如图2，
∴∠ANE＝∠EAC，
由（2）得：DE＝ 92 ；
②∠ENM＝∠ECA，
如图3，
过点E作EH⊥AC，垂足为点H，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，
∴∠ECA＝∠DCE，
∴HE＝DE，
又tan∠HAE＝ EHAH＝DCAD＝68 ，
设DE＝3x，则HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，
又AE＋DE＝AD，
∴5x＋3x＝8，
解得x＝1，
∴DE＝3x＝3，
综上所述，DE的长分别为 92 或3
34. （1）证明：如图，连接OG.∵EG=EK，
∴∠KGE=∠GKE=∠AKH，
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∴EF是⊙O的切线.
（2）解：①∵AC∥EF，∴∠E=∠C，
又∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD，
又∠DKG=∠CKE，
∴△KGD∽△KGE.
②连接OG，如图所示.∵ cosC=45 ，AK= 10 ，
设 cosC=45=CHAC=k ，∴ CH=4k ， AC=5k ，则 AH=3k
KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK－CH=k.
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2 ，
即 (3k)2+k2=(10)2 ， k=1 ， CH=4 ， AC=5 ，则 AH=3 ，
设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R－3k，CH=4k，
由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2 ， (R−3)2+42=R2 ，∴ R=256
在Rt△OGF中， cosC=cos∠GOF=45=OGOF ，∴ OF=12524 ，
∴ BF=OF−OB=12524−256=2524
35. （1）解：若四边形EBFB′为正方形，则BE＝BF，BE＝5﹣t，BF＝3t，
即：5﹣t＝3t，
解得t＝1.25；
故答案为：1.25
（2）解：分两种情况，讨论如下：
①若△EBF∽△FCG，
则有 EBFC=BFCG ，即 5−t6−3t=3t1.5t ，
解得：t＝1.4；
②若△EBF∽△GCF，
则有 EBCG=BFFC ，即 5−t1.5t=3t6−3t ，
解得：t＝﹣7﹣ 69 （不合题意，舍去）或t＝﹣7+ 69 .
∴当t＝1.4s或t＝（﹣7+ 69 ）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似.
（3）解：假设存在实数t，使得点B′与点O重合.
如图，过点O作OM⊥BC于点M，
则在Rt△OFM中，OF＝BF＝3t，FM＝ 12 BC﹣BF＝3﹣3t，OM＝2.5，
由勾股定理得：OM2+FM2＝OF2 ，
即：2.52+（3﹣3t）2＝（3t）2
解得：t＝ 6172 ；
过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE＝BE＝5﹣t，EN＝BE﹣BN＝5﹣t﹣2.5＝2.5﹣t，ON＝3，
由勾股定理得：ON2+EN2＝OE2 ，
即：32+（2.5﹣t）2＝（5﹣t）2
解得：t＝ 3920 .
∵ 6172 ≠ 3920 ，
∴不存在实数t，使得点B′与点O重合
一、选择题
1.沿一张矩形纸较长两边中点将纸一分为二，所得两张矩形纸与原来的矩形纸相似，那么原来那张纸的长和宽的比是（ ）
A. 2:1 B. 3:1 C. 2:1 D. 3:1
2.如图，已知在△ABC中，点D为BC边上一点（不与点B，点C重合），连结AD，点E、点F分别为AB、AC上的点，且EF∥BC，交AD于点G，连结BG，并延长BG交AC于点H.已知 AEBE =2，①若AD为BC边上的中线， BGBH 的值为 23 ；②若BH⊥AC，当BC＞2CD时， BHAD ＜2sin∠DAC.则（ ）
A. ①正确；②不正确 B. ①正确；②正确 C. ①不正确；②正确 D. ①不正确；②正确
3.如图，直线l1 ∥ l2 ∥ l3 ， 直线AC分别交l1 ， l2 ， l3于A，B，C；直线DF分别交l1 ， l2 ， l3于D，E，F.已知 ABAC=13 ，则（ ）
A. ABBC=13 B. ADFC=13 C. DEEF=12 D. BEFC=12
4.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥CD，那么下列结论错误的是（ ）
A. ABAD=ACAE B. ADAB=AFAD C. ABAF=ACAE D. EFDC=DEBC
5.如图，在 △ABC 中，点D，E分别为AB，AC边上的点，且 DE//BC ，CD、BE相较于点O，连接AO并延长交DE于点G，交BC边于点F，则下列结论中一定正确的是 ( )
A. ADAB=AEEC B. AGGF=AEBD C. ODOC=AEAC D. AGAF=ACEC
6.如图，在 ΔABC 中， D,E 分别为 AB、AC 边上的中点，则 ΔADE 与 ΔABC 的面积之比是（ ）
A. 1：4 B. 1:3 C. 1:2 D. 2:1
7.如图，在四边形ABCD中， ∠DAB=90° ， AD∥BC ， BC=12AD ，AC与BD交于点E， AC⊥BD ，则 tan∠BAC 的值是（ ）
A. 14 B. 24 C. 22 D. 13
8.如图，点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的 12 ，得到△A′B′C′，点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为（ ）
A. （4，3） B. （3，4） C. （5，3） D. （4，4）
9.如图，正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C，D，E在同一条直线上，顶点B，C，G在同一条直线上.O是EG的中点，∠EGC的平分线GH过点D，交BE于点H，连接FH交EG于点M，连接OH.以下四个结论：①GH⊥BE；②△EHM∽△GHF；③ BCCG=2 ﹣1；④ S△HOMS△HOG ＝2﹣ 2 ，其中正确的结论是（ ）
A. ①②③ B. ①②④ C. ①③④ D. ②③④
10.如图，在平行四边形 ABCD 中， E 为 BC 的中点， BD ， AE 交于点 O ，若随机向平行四边形 ABCD 内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为（ ）
A. 116 B. 112 C. 18 D. 16
11.如图，正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点，将△ADE沿DE翻折得到△FDE，延长EF交BC于G，FH⊥BC，垂足为H，连接BF、DG.以下结论：①BF∥ED；②△DFG≌△DCG；③△FHB∽△EAD；④tan∠GEB＝ 43 ；⑤S△BFG＝2.6；其中正确的个数是( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
12.如图，在正方形ABCD的对角线AC上取一点E ． 使得 ∠CDE=15° ，连接BE并延长BE到F ， 使 CF=CB ，BF与CD相交于点H ， 若 AB=1 ，有下列结论：① BE=DE ；② CE+DE=EF ；③ SΔDEC=14−312 ；④ DHHC=23−1 ．则其中正确的结论有（ ）
A. ①②③ B. ①②③④ C. ①②④ D. ①③④
13.如图，在平行四边形 ABCD 中， ∠BAC=90∘ ， AB=AC ，过点 A 作边 BC 的垂线 AF 交 DC 的延长线于点 E ，点 F 是垂足，连接 BE 、 DF ， DF 交 AC 于点 O ．则下列结论：①四边形 ABEC 是正方形；② CO:BE=1:3 ；③ DE=2BC ；④ S四边形OCEF=SΔAOD ，正确的个数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
14.如图，正方形 ABCD 的边长为4，延长 CB 至 E 使 EB=2 ，以 EB 为边在上方作正方形 EFGB ，延长 FG 交 DC 于 M ，连接 AM 、 AF ， H 为 AD 的中点，连接 FH 分别与 AB 、 AM 交于点 N 、 K .则下列结论：① ΔANH≅ΔGNF ；② ∠AFN=∠HFG ；③ FN=2NK ；④ SΔAFN:SΔADM=1:4 .其中符合题意的结论有( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
15.如图，四边形 ABCD 是边长为1的正方形， ΔBPC 是等边三角形，连接 DP 并延长交 CB 的延长线于点H ， 连接 BD 交 PC 于点Q ， 下列结论：
① ∠BPD=135° ；② ΔBDP∽ΔHDB ；③ DQ:BQ=1:2 ；④ SΔBDP=3−14 ．
其中符合题意的有（ ）
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
二、填空题
16.如图，在 RtΔABC 中， ∠ACB＝90° ，点 D 是边 AB 上的一点， CD⊥AB 于 D，AD＝2，BD＝6 ，则边 AC 的长为________.
17.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点D是AC边上的一点，DE垂直平分AB，垂足为点E.若AC=8，BC=6，则线段DE的长度为________.
18.如果把两条直角边长分别为5，10的直角三角形按相似比 35 进行缩小，得到的直角三角形的面积是__.
19.如图， l1∥l2∥l3 ，直线a、b与 l1 、 l2 、 l3 分别相交于点A、B、C和点D、E、F.若 AB=3 ， DE=2 ， BC=6 ，则 EF= ________.
20.如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE＝4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB＝5，CF＝2，则线段EP的长是________.
21.如图，在等腰 RtΔABC 中， ∠C=90∘ ， AC=15 ，点 E 在边 CB 上， CE=2EB ，点 D 在边 AB 上， CD⊥AE ，垂足为 F ，则 AD 长为________．
22.如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ACB=90∘,AB=10,BC=6 , CD ∥ AB , ∠ABC 的平分线 BD 交 AC 于 E , DE = ________.
23.如图，有一张矩形纸片ABCD，AB=8，AD=6。先将矩形纸片ABCD折叠，使边AD落在边AB上，点D落在点E处，折痕为AF;再将△AEF沿EF翻折，AF与BC相交于点G，则△GCF的周长为________。
24.已知三个边长分别为2 cm ，3 cm ，5 cm 的正方形如图排列，则图中阴影部分的面积为________．
25.若 x+yx=32 ，则 yx= ________．
26.如图，正方形ABCD中， AB=12，AE=14AB ，点P在BC上运动（不与B、C重合），过点P作 PQ⊥EP ，交CD于点Q，则CQ的最大值为________．
27.如图， ▱ABCD 的对角线 AC,BD 交于点 O ， CE 平分 ∠BCD 交 AB 于点 E ，交 BD 于点 F ，且 ∠ABC=60°,AB=2BC ，连接 OE ．下列结论：① EO⊥AC ；② S△AOD=4S△OCF ；③ AC:BD=21:7 ；④ FB2=OF•DF ．其中正确的结论有________（填写所有正确结论的序号）
28.如图，已知点F是△ABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E ， 连接CF并延长，交AB于点D ， 过点F作FG∥BC ， 交AC于点G ． 设三角形EFG ， 四边形FBCG的面积分别为S1 ， S2 ， 则S1：S2＝________．
29.如图，在矩形ABCD中， AB=1 ， BC=a ，点E在边BC上，且 BE=35α .连接AE，将 ΔABE 沿AE折叠，若点B的对应点 B′ 落在矩形ABCD的边上，则a的值为________.
30.如图，点E、F、G分别在菱形ABCD的边AB，BC，AD上，AE= 13 AB，CF= 13 CB，AG= 13 AD．已知△EFG的面积等于6，则菱形ABCD的面积等于________．
三、解答题
31.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和点C（0，4），交x轴正半轴于点B，连接AC，点E是线段OB上一动点（不与点O，B重合），以OE为边在x轴上方作正方形OEFG，连接FB，将线段FB绕点F逆时针旋转90°，得到线段FP，过点P作PH∥y轴，PH交抛物线于点H，设点E（a，0）.
（1）求抛物线的解析式.
（2）若△AOC与△FEB相似，求a的值.
（3）当PH＝2时，求点P的坐标.
32.如图1，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣ 34 x+3的图象与x轴交于点A，与y轴交于B点，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过A，B两点，在第一象限的抛物线上取一点D，过点D作DC⊥x轴于点C，交直线AB于点E.
（1）求抛物线的函数表达式
（2）是否存在点D，使得△BDE和△ACE相似？若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如图2，F是第一象限内抛物线上的动点（不与点D重合），点G是线段AB上的动点.连接DF，FG，当四边形DEGF是平行四边形且周长最大时，请直接写出点G的坐标.
33.在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，点E是边AD上一点，EM⊥EC交AB于点M，点N在射线MB上，且AE是AM和AN的比例中项.
（1）如图1，求证：∠ANE＝∠DCE；
（2）如图2，当点N在线段MB之间，联结AC，且AC与NE互相垂直，求MN的长；
（3）连接AC，如果△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似，求DE的长.
34.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，G为⊙O上一点，连接AG交CD于K，在CD的延长线上取一点E，使EG=EK，EG的延长线交AB的延长线于F.
（1）求证：EF是⊙O的切线；
（2）连接DG，若AC∥EF时.
①求证：△KGD∽△KEG；
②若 cosC=45 ，AK= 10 ，求BF的长.
35.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB＝5cm，BC＝6cm，点E.F.G分别从A.B.C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s，点F的运动速度为3cm/s，点G的运动速度为1.5cm/s，当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，△EBF关于直线EF的对称图形是△EB′F.设点E.F.G运动的时间为t（单位：s）.
（1）当t等于多少s时，四边形EBFB′为正方形；
（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似，求t的值；
（3）是否存在实数t，使得点B’与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.
答案
一、选择题
1.设原来矩形的长为x，宽为y，如图，
则对折后的矩形的长为y，宽为 x2 ，
∵得到的两个矩形都和原矩形相似，
∴x：y=y： x2 ，
解得x：y= 2 ：1.
故答案为：A.
2.解：①∵EF∥BC，
∴△AEG∽△ABD，
∵ AEBE =2，
∴ EGBD=AEAB=23 ，
同理易证△GHF∽△BHC，
∵D为BC中点，
∴ HGHB=GFBC=13 ，
∴ BGBH = 23 ，故①正确；
②同理∵ AEBE =2，
∴ AGAD=23 ，即AD= 32 AG
∵BC＞2CD，即EF＞2GF，
∴EG＞GF，
∴ GHBH<13 ，即BH＞3GH，
∴ BHAD>3GHAD =2 GHAG ，
又∵BH⊥AC，
∴sin∠DAC= GHAG ，
∴ BHAD ＞2sin∠DAC，故②不正确.
故答案为：A.
3.解：∵直线l1 ∥ l2 ∥ l3 ， ABAC=13 ，
∴ ABBC=12 ，故A选项错误；
DEEF=12 ，故C选项正确；
ADFC ， BEFC 无法确定，故B、D选项错误.
故答案为：C.
4.∵DE∥BC、EF∥CD，∴△ADE∽△ABC、△AFE∽△ADC，则 ABAD = ACAE = BCDE 、 ACAE = ADAF = DCEF ，故A正确；
∴ ABAD = ADAF ，即 ADAB = AFAD ，故B正确；
由 ACAE = BCDE 、 ACAE = DCEF 知 BCDE = DCEF ，即 EFDC = DEBC ，故D正确.
故答案为：C.
5.A.∵ DE//BC ，
∴ ADAB=AEAC ,故不正确；
B. ∵ DE//BC ，
∴ AGGF=AEEC ,故不正确；
C. ∵ DE//BC ，
∴ △ADE ∽ △ABC ， △DEO ∽ △CBO ,
∴DEBC=AEAC ， DEBC=ODOC .
∴ODOC=AEAC ，故正确；
D.∵ DE//BC ，
∴ AGAF=AEAC ,故不正确；
故答案为：C.
6.解：由题意可知： DE 是 ΔABC 的中位线，
∴DE//BC，DE＝12BC ，
∴ΔADE∽ΔABC ，
∴SΔADESΔABC=(DEBC)2=14 ，
故答案为：A.
7.解：∵ AD∥BC ， ∠DAB=90° ，
∴ ∠ABC=180°−∠DAB=90° ， ∠BAC+∠EAD=90° ，
∵ AC⊥BD ，
∴ ∠AED=90° ，
∴ ∠ADB+∠EAD=90° ，
∴ ∠BAC=∠ADB ，
∴ △ABC∽△DAB ，
∴ ABDA=BCAB ，
∵ BC=12AD ，
∴ AD=2BC ，
∴ AB2=BC×AD=BC×2BC=2BC2 ，
∴ AB=2BC ，
在 Rt△ABC 中， tan∠BAC=BCAB=BC2BC=22 ；
故答案为：C.
8.解：∵点P（8，6）在△ABC的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将△ABC缩小到原来的 12 ，得到△A′B′C′，
∴点P在A′C′上的对应点P′的的坐标为：（4，3）.
故答案为：A.
9.解：如图，
∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形，
∴BC＝CD，CE＝CG，∠BCE＝∠DCG，
在△BCE和△DCG中，
{BC=CD∠BCE=∠DCGCE=CG
∴△BCE≌△DCG（SAS），
∴∠BEC＝∠BGH，
∵∠BGH+∠CDG＝90°，∠CDG＝∠HDE，
∴∠BEC+∠HDE＝90°，
∴GH⊥BE.
故①正确；
∵△EHG是直角三角形，O为EG的中点，
∴OH＝OG＝OE，
∴点H在正方形CGFE的外接圆上，
∵EF＝FG，
∴∠FHG＝∠EHF＝∠EGF＝45°，∠HEG＝∠HFG，
∴△EHM∽△GHF，
故②正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴BH＝EH，
又∵O是EG的中点，
∴HO∥BG，
∴△DHN∽△DGC，
∴DNDC=HNCG
设EC和OH相交于点N.
设HN＝a，则BC＝2a，设正方形ECGF的边长是2b，则NC＝b，CD＝2a，
∴b−2a2a=a2b
即a2+2ab﹣b2＝0，
解得：a＝b＝（﹣1+ 2 ）b，或a＝（﹣1﹣ 2 ）b（舍去），
∴2a2b=2−1
∴BCCG=2−1
故③正确；
∵△BGH≌△EGH，
∴EG＝BG，
∵HO是△EBG的中位线，
∴HO＝ 12 BG，
∴HO＝ 12 EG，
设正方形ECGF的边长是2b，
∴EG＝2 2 b，
∴HO＝ 2 b，
∵OH∥BG，CG∥EF，
∴OH∥EF，
∴△MHO△MFE，
∴ OMEM=OHEF=2b2b=22 ，
∴EM＝ 2 OM，
∴ OMOE=OM(1+2)OM=11+2=2−1 ，
∴ SΔHOMSΔHOE=2−1
∵EO＝GO，
∴S△HOE＝S△HOG ，
∴ SΔHOMSΔHOG=2−1
故④错误，
故答案为：A.
10.解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴BC//AD，BC=AD，
∴△BOE∽△DOA，
∴ BOOD=OEAO=BEAD
又∵ E 为 BC 的中点，
∴ BOOD=OEAO=BEAD=12 ，
∴ BOBD=13 ，
∴ S△BOE=12S△AOB ， S△AOB=13S△ABD ，
∴ S△BOE=16S△ABD=112S▱ABCD ，
∴米粒落在图中阴影部分的概率为 112 。
故答案为：B。
11.解：∵正方形ABCD中，AB＝6，E为AB的中点
∴AD＝DC＝BC＝AB＝6，AE＝BE＝3，∠A＝∠C＝∠ABC＝90°
∵△ADE沿DE翻折得到△FDE
∴∠AED＝∠FED，AD＝FD＝6，AE＝EF＝3，∠A＝∠DFE＝90°
∴BE＝EF＝3，∠DFG＝∠C＝90°
∴∠EBF＝∠EFB
∵∠AED+∠FED＝∠EBF+∠EFB
∴∠DEF＝∠EFB
∴BF∥ED
故结论①正确；
∵AD＝DF＝DC＝6，∠DFG＝∠C＝90°，DG＝DG
∴Rt△DFG≌Rt△DCG
∴结论②正确；
∵FH⊥BC，∠ABC＝90°
∴AB∥FH，∠FHB＝∠A＝90°
∵∠EBF＝∠BFH＝∠AED
∴∠FBH=∠ADE，
∴△FHB∽△EAD
∴结论③正确；
∵Rt△DFG≌Rt△DCG
∴FG＝CG
设FG＝CG＝x，则BG＝6﹣x，EG＝3+x
在Rt△BEG中，由勾股定理得：32+(6﹣x)2＝(3+x)2
解得：x＝2
∴BG＝4
∴tan∠GEB＝ BGBE=43
故结论④正确；
∵△FHB∽△EAD，且 AEAD=12
∴BH＝2FH
设FH＝a，则HG＝4﹣2a
在Rt△FHG中，由勾股定理得：a2+(4﹣2a)2＝22
解得：a＝2(舍去)或a＝ 65
∴S△BFG＝ 12 ×4× 65 ＝2.4
故结论⑤错误；
故答案为：C。
12.证明：①∵四边形ABCD是正方形，
∴ AB=AD ， ∠ABC=∠ADC=90° ， ∠BAC=∠DAC=∠ACB=∠ACD=45° ．
在 ΔABE 和 ΔADE 中，
{AB=AD∠BAC=∠DACAE=AE ，
∴ ΔABE≅ΔADE(SAS) ，
∴ BE=DE ，故①符合题意；
②在EF上取一点G ， 使 EG=EC ，连结CG ，
∵ ΔABE≅ΔADE ，
∴ ∠ABE=∠ADE ．
∴ ∠CBE=∠CDE ，
∵ BC=CF ，
∴ ∠CBE=∠F ，
∴ ∠CBE=∠CDE=∠F ．
∵ ∠CDE=15° ，
∴ ∠CBE=15° ，
∴ ∠CEG=60° ．
∵ CE=GE ，
∴ ΔCEG 是等边三角形．
∴ ∠CGE=60° ， CE=GC ，
∴ ∠GCF=45° ，
∴ ∠ECD=GCF ．
在 ΔDEC 和 ΔFGC 中，
{CE=GC∠ECD=∠GCFCD=CF ，
∴ ΔDEC≅ΔEGC(SAS) ，
∴ DE=GF ．
∵ EF=EG+GF ，
∴ EF=CE+ED ，故②符合题意；
③过D作 DM⊥AC 交于M ，
根据勾股定理求出 AC=2 ，
由面积公式得： 12AD×DC=12AC×DM ，
∴ DM=22 ，
∵ ∠DCA=45° ， ∠AED=60° ，
∴ CM=22 ， EM=66 ，
∴ CE=CM−EM=22−66
∴ SΔDEC=12CE×DM=14−312 ，故③符合题意；
④在 RtΔDEM 中， DE=2ME=63 ，
∵ ΔECG 是等边三角形，
∴ CG=CE=22−66 ，
∵ ∠DEF=∠EGC=60° ，
∴ DE∥CG ，
∴ ΔDEH∽ΔCGH ，
∴ DHHC=DECG=632266=3+1 ，故④不符合题意；
综上，正确的结论有①②③，
故答案为：A ．
13.① ∵∠BAC=90∘ ， AB=AC ，
∴BF=CF ，
∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB//DE ，
∴∠BAF=∠CEF ，
∵∠AFB=∠CFE ，
∴ΔABF≅ΔECF=(AAS) ，
∴AB=CE ，
∴ 四边形 ABEC 是平行四边形，
∵∠BAC=90∘ ， AB=AC ，
∴ 四边形 ABEC 是正方形，故此题结论符合题意；
② ∵OC//AD ，
∴ΔOCF~ΔOAD ，
∴OC:OA=CF:AD=CF:BC=1:2 ，
∴OC:AC=1:3 ， ∵AC=BE ，
∴OC:BE=1:3 ，故此小题结论符合题意；
③∵AB＝CD＝EC ∵AB=CD=EC ，
∴DE=2AB ，
∵AB=AC ， ∠BAC=90∘ ，
∴AB=22BC ，
∴DE=2×22BC=2BC ，故此小题结论符合题意；
④ ∵ΔOCF~ΔOAD ，
∴SΔOCFSΔOAD=(12)2=14 ∴，
∴SΔOCF=14SΔOAD ∴，
∵OC:AC=1:3 ，
∴3SΔDCF=SΔACF∵SΔACF=SΔCEF ，
∴SΔCEF=3SΔOCF=34SΔOAD ，
∴S四边形OCEF=SΔOCF+SΔCEF=(14+34)SΔOAD=SΔOAD ，故此小题结论符合题意．
故答案为：D．
14.∵四边形ABCD、BEFG是正方形，
∴∠BAD=∠C=∠E=∠EFB=∠BGF=90°，AD//BC，
∴四边形CEFM是矩形，∠AGF=180°-∠BGF=90°
∴FM=EC，CM=EF=2，FM//EC，
∴AD//FM，DM=2，
∵H为AD中点，AD=4，
∴AH=2，
∵FG=2，
∴AH=FG，
∵∠NAH=∠NGF，∠ANH=∠GNF，
∴△ANH≌△GNF(AAS)，故①符合题意；
∴∠NFG=∠AHN，NH=FN，AN=NG，
∵AF>FG，
∴AF≠AH，
∴∠AFN≠∠AHN，即∠AFN≠∠HFG，故②不符合题意；
∵EC=BC+BE=4+2=6，
∴FM=6，
∵AD//FM，
∴△AHK∽△MFK，
∴ FKKH=FMAH=62=3 ，
∴FK=3HK，
∵FH=FK+KH，FN=NH，FN+NH=FH，
∴FN=2NK，故③符合题意；
∵AN=NG，AG=AB-BG=4-2=2，
∴AN=1，
∴S△ANF= 12AN·FG=12×1×2=1 ，S△AMD= 12AD·DM=12×4×2=4 ，
∴S△ANF：S△AMD=1：4，故④符合题意，
故答案为： C.
15.解：∵ ΔPBC 是等边三角形，四边形 ABCD 是正方形，
∴ ∠PCB=∠CPB=60° ， ∠PCD=30° ， BC=PC=CD ，
∴ ∠CPD=∠CDP=75° ，
则 ∠BPD=∠BPC+∠CPD=135° ，故①符合题意；
∵ ∠CBD=∠CDB=45° ，
∴ ∠DBP=∠DPB=135° ，
又∵ ∠PDB=∠BDH ，
∴ ΔBDP∽ΔHDB ，故②符合题意；
如图，过点Q作 QE⊥CD 于E ，
设 QE=DE=x ，则 QD=2x ， CQ=2QE=2x ，
∴ CE=3x ，
由 CE+DE=CD 知 x+3x=1 ，
解得 x=3−12 ，
∴ QD=2x=6−22 ，
∵ BD=2 ，
∴ BQ=BD−DQ=2−6−22=32−62 ，
则 DQ:BQ=6−22:32−62≠1:2 ，故③不符合题意；
∵ ∠CDP=75° ， ∠CDQ=45° ，
∴ ∠PDQ=30° ，
又∵ ∠CPD=75 ，
∴ ∠DPQ=∠DQP=75° ，
∴ DP=DQ=6−22 ，
∴ SΔBDP=12BD·PDsin∠BDP=12×2×6−22×12=3−14 ，故④符合题意；
故答案为：D．
二、填空题
16.解：由射影定理得， AC2＝AD•AB＝2×（2+6） ，
解得： AC＝4 ，
故答案为： 4 .
17.解：∵∠C=90°，AC=8，BC=6，
∴AB= AC2+BC2 = 82+62 =10，
∵DE垂直平分AB，
∴∠DEA=90°，AE= 12AB=12×10 =5，
∴∠DEA=∠C，
又∵∠A=∠A，
∴△AED∽△ACB，
∴ AEAC=DEBC ，
即 58=DE6
∴DE= 154 .
故答案为： 154 .
18.解：设缩小后的直角三角形的两条直角边分别为 a 、 b(a
解得 a=3 ， b=6 ，
所以 12ab=12×3×6=9 .
∴ 缩小后的直角三角形的面积为9.
故答案为：9.
19.解：∵ l1∥l2∥l3 ，
∴ ABBC=DEEF ，
又 AB=3 ， DE=2 ， BC=6 ，
∴ EF=4 。
故答案为：4。
20.解：如图，作FH⊥PE于H.
∵四边形ABCD是正方形，AB＝5，
∴AC＝5 2 ，∠ACD＝∠FCH＝45°，
∵∠FHC＝90°，CF＝2，
∴CH＝HF＝ 2 ，
∵CE＝4AE，
∴EC＝4 2 ，AE＝ 2 ，
∴EH＝5 2 ，
在Rt△EFH中，EF2＝EH2+FH2＝（5 2 ）2+（ 2 ）2＝52，
∵∠GEF＝∠GCF＝90°，
∴E，G，F，C四点共圆，
∴∠EFG＝∠ECG＝45°，
∴∠ECF＝∠EFP＝135°，
∵∠CEF＝∠FEP，
∴△CEF∽△FEP，
∴ EFEP=ECEF ，
∴EF2＝EC•EP，
∴EP＝ 5242=1322
故答案为： 1322。
21.过 D 作 DH⊥AC 于 H ，则∠AHD=90°
∵ 在等腰 RtΔABC 中， ∠C=90∘ ， AC=15 ，
∴AC=BC=15 ， ∠CAD=45∘ ，
∴∠ADH=90°-∠CAD=45°=∠CAD，
∴AH=DH ，
∴CH=AC-AH=15-DH，
∵CF⊥AE ，
∴∠DHA=∠DFA=90∘ ，
又∵∠ANH=∠DNF，
∴∠HAF=∠HDF ，
∴ΔACE~ΔDHC ，
∴DHAC=CHCE ，
∵CE=2EB ，CE+BE=BC=15，
∴ CE=10 ，
∴ DH15=15−DH10 ，
∴DH=9 ，
∴AD=AH2+DH2=92 ，
故答案为： 92 ．
22.∵∠ACB=90°，AB=10，BC=6，
∴AC=8，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CDE，
∵CD∥AB，
∴∠D=∠ABE，
∴∠D=∠CBE，
∴CD=BC=6，
∴△AEB∽△CED，
∴ AEEC=BEED=ABCD=106=53 ，
∴ CE=38AC=38×8=3 ，
BE=BC2+CE2=62+32=35 ，
DE=35BE=35×35=955 ，
故答案为： 955 ．
23.解：根据题意可知，BE=2，AB=4，AF=62+62=62
∵四边形ABCD为矩形
∴AB∥CD
∴△ABG∽△FCG
∴FCAB=FGAG
设FG为x，则AG=62-x
解得x=22
∴在直角三角形GCF中，FG=22,FC=2
由勾股定理得，GC=（22）2-22=2
∴△GCF的周长=2+2+22=4+22。
故答案为：4+22。
24.解：如图，
对角线所分得的三个三角形相似，
根据相似的性质可知 510=x5 ，
解得 x=2.5 ，
即阴影梯形的上底就是 3−2.5=0.5 （ cm ）．
再根据相似的性质可知 25=y2.5 ，
解得： y=1 ，
所以梯形的下底就是 3−1=2(cm) ，
所以阴影梯形的面积是 (2+0.5)×3÷2=3.75(cm2) ．
故答案为： 3.75cm2 ．
25. ∵x+yx=32 ，
∴2x+2y=3x ，
故2y=x，
则 yx=12 ，
故答案为： 12 ．
26.解： ∵∠BEP+∠BPE＝90°，∠QPC+∠BPE＝90°，
∴∠BEP＝∠CPQ．
又 ∠B＝∠C＝90°，
∴ΔBPE∽ΔCQP．
∴BEPC=BPCQ
设 CQ＝y，BP＝x ，则 CP＝12﹣x ．
∴912−x=xy ，化简得 y=−19(x2−12x) ，
整理得 y=−19(x−6)2+4 ，
所以当 x＝6 时，y有最大值为4．
故答案为4．
27.
解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴ CD∥AB,OD=OB,OA=OC ，
∴ ∠DCB+∠ABC=180° ，
∵ ∠ABC=60° ，
∴ ∠DCB=120° ，
∵ EC 平分 ∠DCB ，
∴ ∠ECB=12∠DCB=60° ，
∴ ∠EBC=∠BCE=∠CEB=60° ，
∴ △ECB 是等边三角形，
∴ EB=BC ，
∵ AB=2BC ，
∴ EA=EB=EC ，
∴ ∠ACB=90° ，
∵ OA=OC,EA=EB ，
∴ OE∥BC ，
∴ ∠AOE=∠ACB=90° ，
∴ EO⊥AC ，故①正确，
∵ OE∥BC ，
∴ △OEF∽△BCF ，
∴ OEBC=OFFB=12 ，
∴ OF=13OB ，
∴ S△AOD=S△BOC=3S△OCF ，故②错误，
设 BC=BE=EC=a ，则 AB=2a ， AC=3a ， OD=OB=a2+(32a)2=72a ，
∴ BD=7a ，
∴ AC:BD=3a:7a=21:7 ，故③正确，
∵ OF=13OB=76a ，
∴ BF=73a ，
∴ BF2=79a2,OF⋅DF=76a⋅(72a+76a)=79a2 ，
∴ BF2=OF⋅DF ，故④正确，
故答案为①③④．
28.∵点F是△ABC的重心，
∴BF＝2EF ，
∴BE＝3EF ，
∵FG∥BC ，
∴△EFG∽△EBC ，
∴ EFBE=13 ， S1S△EBC= （ 13 ）2 =19 ，
∴S1：S2；
故答案为： 18 ．
29.解：分两种情况：
①当点 B′ 落在AD边上时，如图1.
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=90° ，
∵ 将 ΔABE 沿AE折叠，点B的对应点 B′ 落在AD边上，
∴∠BAE=∠B′AE=12∠BAD=45° ，
∴AB=BE ，
∴35a=1 ，
∴a=53 ；
②当点 B′ 落在CD边上时，如图2.
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=∠B=∠C=∠D=90° ， AD=BC=a .
∵ 将 ΔABE 沿AE折叠，点B的对应点 B′ 落在CD边上，
∴∠B=∠AB′E=90° ， AB=AB′=1 ， EB=EB′=35a ，
∴DB′=B′A2−AD2=1−a2 ， EC=BC−BE=a−35a=25 .
在 ΔADB′ 与 ΔB′CE 中，
{∠B′AD=∠EB′C=90°−∠AB′D∠D=∠C=90° ，
∴ΔADB'∽ΔB'CE ，
∴DB′CE=AB′B′E ，即 1−a225a=135a ，
解得 a1=53 ， a2=0 （舍去）。
综上，所求a的值为 53 或 53。
故答案为 53 或 53 。
30.如图，在CD上截取一点H，使得CH= 13 CD，连接AC交BD于O，BD交EF于Q，EG交AC于P，
∵AE= 13 AB，AG= 13 AD，
∴ AEAB=AGAD ，
∴EG∥BD，同法可证：FH∥BD，
∴EG∥FH，同法可证EF∥GF，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∴EF⊥EG，
∴四边形EFGH是矩形，易证点O在线段FG上，四边形EQOP是矩形，
∵S△EFG=6，
∴S矩形EQOP=3，即OP•OQ=3，
∵OP：OA=BE：AB=2：3，
∴OA= 32 OP，同法可证OB=3OQ，
∴S菱形ABCD= 12 •AC•BD= 12 ×3OP×6OQ=9OP×OQ=27，
故答案为：27．
三、解答题
31. （1）解：点C（0，4），则c＝4，
二次函数表达式为：y＝﹣x2+bx+4，
将点A的坐标代入上式得：0＝﹣1﹣b+4，解得：b＝3，
故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+3x+4
（2）解：tan∠ACO＝ AOCO ＝ 14 ，
△AOC与△FEB相似，则∠FBE＝∠ACO或∠CAO，
即：tan∠FEB＝ 14 或4，
∵四边形OEFG为正方形，则FE＝OE＝a，
EB＝4﹣a，
则 a4−a=14 或 a4−a=4 ，
解得：a＝ 165 或 45
（3）解：令y＝﹣x2+3x+4＝0，解得：x＝4或﹣1，故点B（4，0）；
分别延长CF、HP交于点N，
∵∠PFN+∠BFN＝90°，∠FPN+∠PFN＝90°，
∴∠FPN＝∠NFB，
∵GN∥x轴，∴∠FPN＝∠NFB＝∠FBE，
∵∠PNF＝∠BEF＝90°，FP＝FB，
∴△PNF≌△BEF（AAS），
∴FN＝FE＝a，PN＝EB＝4﹣a，
∴点P（2a，4），点H（2a，﹣4a2+6a+4），
∵PH＝2，
即：﹣4a2+6a+4﹣4＝|2|，
解得：a＝1或 12 或 3+174 或 3−174 （舍去），
故：点P的坐标为（2，4）或（1，4）或（ 3+172 ，4）.
32. （1）解：在 y=−34x+3 中，令 x=0 ，得 y=3 ，令 y=0 ，得 x=4 ，
∴A(4,0) ， B(0,3) ，
将 A(4,0) ， B(0,3) 分别代入抛物线 y=−x2+bx+c 中，得： {−42+4b+c=0c=3 ，解得： {b=134c=3 ，
∴ 抛物线的函数表达式为： y=−x2+134x+3
（2）解：存在.如图1，过点 B 作 BH⊥CD 于 H ，设 C(t,0) ，则 D(t,−t2+134t+3) ， E(t,−34t+3) ， H(t,3) ；
∴EC=−34t+3 ， AC=4−t ， BH=t ， DH=−t2+134t ， DE=−t2+4t
∵ΔBDE 和 ΔACE 相似， ∠BED=∠AEC
∴ΔBDE∽ΔACE 或 ΔDBE∽ΔACE
①当 ΔBDE∽ΔACE 时， ∠BDE=∠ACE=90° ，
∴ BDDE=ACCE ，即： BD·CE=AC·DE
∴t(−34t+3)=(4−t)×(−t2+4t) ，解得： t1=0 （舍去）， t2=4 （舍去）， t3=134 ，
∴D(134 ， 3)
②当 ΔDBE∽ΔACE 时， ∠BDE=∠CAE
∵BH⊥CD
∴∠BHD=90° ，
∴ BHDH=tan∠BDE=tan∠CAE=CEAC ，即： BH·AC=CE·DH
∴t(4−t)=(−34t+3)(−t2+134t) ，解得： t1=0 （舍 ) ， t2=4 （舍 ) ， t3=2312 ，
∴D(2312 ， 509) ；
综上所述，点 D 的坐标为 (134 ， 3) 或 (2312 ， 509)
（3）解：如图3， ∵ 四边形 DEGF 是平行四边形
∴DE//FG ， DE=FG
设 D(m,−m2+134m+3) ， E(m,−34m+3) ， F(n,−n2+134n+3) ， G(n,−34n+3) ，
则： DE=−m2+4m ， FG=−n2+4n ，
∴−m2+4m=−n2+4n ，即： (m−n)(m+n−4)=0 ， ∵m−n≠0
∴m+n−4=0 ，即： m+n=4
过点 G 作 GK⊥CD 于 K ，则 GK//AC
∴∠EGK=∠BAO
∴ GKEG=cos∠EGK=cos∠BAO=AOAB ，即： GK·AB=AO·EG
∴5(n−m)=4EG ，即： EG=54(n−m)
∴DEGF 周长 =2(DE+EG)=2[(−m2+4m)+54(n−m)]=−2(m−34)2+898
∵−2<0 ，
∴ 当 m=34 时， ∴▱DEGF 周长最大值 =898 ，
∴G(134 ， 916) .
33. （1）解：∵AE是AM和AN的比例中项
∴ AMAE＝AEAN ，
∵∠A＝∠A，
∴△AME∽△AEN，
∴∠AEM＝∠ANE，
∵∠D＝90°，
∴∠DCE＋∠DEC＝90°，
∵EM⊥BC，
∴∠AEM＋∠DEC＝90°，
∴∠AEM＝∠DCE，
∴∠ANE＝∠DCE
（2）解：∵AC与NE互相垂直，
∴∠EAC＋∠AEN＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠ANE＋∠AEN＝90°，
∴∠ANE＝∠EAC，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，
∴∠DCE＝∠EAC，
∴tan∠DCE＝tan∠DAC，
∴ DEDC＝DCAD ，
∵DC＝AB＝6，AD＝8，
∴DE＝ 92 ，
∴AE＝8﹣ 92 ＝ 72 ，
由（1）得∠AEM＝∠DCE，
∴tan∠AEM＝tan∠DCE，
∴ AMAE＝DEDC ，
∴AM＝ 218 ，
∵ AMAE＝AEAN ，
∴AN＝ 143 ，
∴MN＝ 4924
（3）解：∵∠NME＝∠MAE＋∠AEM，∠AEC＝∠D＋∠DCE，
又∠MAE＝∠D＝90°，由（1）得∠AEM＝∠DCE，
∴∠AEC＝∠NME，
当△AEC与以点E、M、N为顶点所组成的三角形相似时
①∠ENM＝∠EAC，如图2，
∴∠ANE＝∠EAC，
由（2）得：DE＝ 92 ；
②∠ENM＝∠ECA，
如图3，
过点E作EH⊥AC，垂足为点H，
由（1）得∠ANE＝∠DCE，
∴∠ECA＝∠DCE，
∴HE＝DE，
又tan∠HAE＝ EHAH＝DCAD＝68 ，
设DE＝3x，则HE＝3x，AH＝4x，AE＝5x，
又AE＋DE＝AD，
∴5x＋3x＝8，
解得x＝1，
∴DE＝3x＝3，
综上所述，DE的长分别为 92 或3
34. （1）证明：如图，连接OG.∵EG=EK，
∴∠KGE=∠GKE=∠AKH，
又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG，
∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°，
∴∠KGE+∠OGA=90°，
∴EF是⊙O的切线.
（2）解：①∵AC∥EF，∴∠E=∠C，
又∠C=∠AGD，∴∠E=∠AGD，
又∠DKG=∠CKE，
∴△KGD∽△KGE.
②连接OG，如图所示.∵ cosC=45 ，AK= 10 ，
设 cosC=45=CHAC=k ，∴ CH=4k ， AC=5k ，则 AH=3k
KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5k，∴HK=CK－CH=k.
在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2 ，
即 (3k)2+k2=(10)2 ， k=1 ， CH=4 ， AC=5 ，则 AH=3 ，
设⊙O半径为R，在Rt△OCH中，OC=R，OH=R－3k，CH=4k，
由勾股定理得：OH2＋CH2=OC2 ， (R−3)2+42=R2 ，∴ R=256
在Rt△OGF中， cosC=cos∠GOF=45=OGOF ，∴ OF=12524 ，
∴ BF=OF−OB=12524−256=2524
35. （1）解：若四边形EBFB′为正方形，则BE＝BF，BE＝5﹣t，BF＝3t，
即：5﹣t＝3t，
解得t＝1.25；
故答案为：1.25
（2）解：分两种情况，讨论如下：
①若△EBF∽△FCG，
则有 EBFC=BFCG ，即 5−t6−3t=3t1.5t ，
解得：t＝1.4；
②若△EBF∽△GCF，
则有 EBCG=BFFC ，即 5−t1.5t=3t6−3t ，
解得：t＝﹣7﹣ 69 （不合题意，舍去）或t＝﹣7+ 69 .
∴当t＝1.4s或t＝（﹣7+ 69 ）s时，以点E、B、F为顶点的三角形与以点F，C，G为顶点的三角形相似.
（3）解：假设存在实数t，使得点B′与点O重合.
如图，过点O作OM⊥BC于点M，
则在Rt△OFM中，OF＝BF＝3t，FM＝ 12 BC﹣BF＝3﹣3t，OM＝2.5，
由勾股定理得：OM2+FM2＝OF2 ，
即：2.52+（3﹣3t）2＝（3t）2
解得：t＝ 6172 ；
过点O作ON⊥AB于点N，则在Rt△OEN中，OE＝BE＝5﹣t，EN＝BE﹣BN＝5﹣t﹣2.5＝2.5﹣t，ON＝3，
由勾股定理得：ON2+EN2＝OE2 ，
即：32+（2.5﹣t）2＝（5﹣t）2
解得：t＝ 3920 .
∵ 6172 ≠ 3920 ，
∴不存在实数t，使得点B′与点O重合
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