江苏2020中考一轮复习培优 提分专练05 反比例函数与一次函数、几何综合
展开提分专练(五) 反比例函数与一次函数、几何综合
|类型1| 反比例函数与一次函数结合
1.[2019·西藏] 已知点A是直线y=2x与双曲线y=(m为常数)一支的交点,过点A作x轴的垂线,垂足为B,且OB=2,则m的值为 ( )
A.-7 B.-8 C.8 D.7
2.[2019·沈阳] 如图T5-1,正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=(x>0)的图象相交于点A(,2),点B是反比例函数图象上一点,它的横坐标是3,连接OB,AB,则△AOB的面积是 .
图T5-1
3.[2019·内江] 如图T5-2,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与反比例函数y=(k≠0)的图象交于第二、四象限内的点A(a,4)和点B(8,b).过点A作x轴的垂线,垂足为点C,△AOC的面积为4.
(1)分别求出a和b的值;
(2)结合图象直接写出mx+n<的解集;
(3)在x轴上取点P,当PA-PB取得最大值时,求出点P的坐标.
图T5-2
|类型2| 反比例函数与几何图形结合
4.[2018·无锡滨湖区一模]如图T5-3,在平面直角坐标系中,菱形ABOC的顶点O在坐标原点,边BO在x轴的负半轴上,∠BOC=60°,顶点C的坐标为(m,3),反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交于D点,连接BD,当BD⊥x轴时,k的值是 ( )
图T5-3
A.6 B.-6 C.12 D.-12
5.[2018·徐州一模]如图T5-4,在平面直角坐标系中,OA=AB,∠OAB=90°,反比例函数y=(x>0)的图象经过A,B两点.若点A的坐标为(n,1),则k的值为 .
图T5-4
6.[2019·深圳模拟] 如图T5-5,四边形OABC是平行四边形,对角线OB在y轴上,位于第一象限的点A和第二象限的点C分别在双曲线y=和y=的一支上,分别过点A,C作x轴的垂线,垂足分别为M和N,则有以下的结论:①ON=OM;②△OMA≌△ONC;③阴影部分面积是(k1+k2);④若四边形OABC是菱形,则图中曲线关于y轴对称.其中正确的结论是 ( )
图T5-5
A.①②④ B.②③ C.①③④ D.①④
7.[2018·辽阳] 如图T5-6,菱形ABCD的顶点A在y轴正半轴上,边BC在x轴上,且BC=5,sin∠ABC=,反比例函数y=(x>0)的图象分别与AD,CD交于点M,N,点N的坐标是(3,n),连接OM,MC.
(1)求反比例函数的解析式;
(2)求证:△OMC是等腰三角形.
图T5-6
|类型3| 反比例函数与一次函数的应用和创新
8.[2018·徐州一模]某化工车间发生有害气体泄漏,自泄漏开始到完全控制用了40 min,之后将对泄漏的有害气体进行清理,线段DE表示气体泄漏时车间内危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(0≤x≤40),反比例函数y=对应曲线EF表示气体泄漏控制之后车间内危险检测表显示数据y与时间x(min)之间的函数关系(40≤x≤?).根据图象解答下列问题:
(1)危险检测表在气体泄漏之初显示的数据是 ;
(2)求反比例函数y=的表达式,并确定车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值.
图T5-7
9.[2019·绵阳]如图T5-8,一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数y=(m≠0且m≠3)的图象在第一象限交于点A,B,且该一次函数的图象与y轴正半轴交于点C,过A,B分别作y轴的垂线,垂足分别为E,D.已知A(4,1),CE=4CD.
(1)求m的值和反比例函数的解析式;
(2)若点M为一次函数图象上的动点,求OM长度的最小值.
图T5-8
【参考答案】
1.D [解析]根据题意,可知点A的横坐标是2或-2,由点A在正比例函数y=2x的图象上,
∴点A的坐标为(2,4)或(-2,-4),
又∵点A在反比例函数y=(m为常数)的图象上,
∴m+1=8,即m=7.故选D.
2.2 [解析]∵正比例函数y1=k1x的图象与反比例函数y2=(x>0)的图象相交于点A(,2),
∴2=k1,2=,
∴k1=2,k2=6,
∴正比例函数为y=2x,反比例函数为:y=.
∵点B是反比例函数图象上一点,它的横坐标是3,
∴y==2,∴B(3,2),
作BD∥x轴交OA于D,
∴D(1,2),
∴BD=3-1=2.
∴S△AOB=S△ABD+S△OBD=×2×(2-2)+×2×2=2,
故答案为2.
3.解:(1)∵点A(a,4),
∴AC=4.
∵S△AOC=4,∴OC·AC=4,
∴OC=2.
∵点A(a,4)在第二象限,
∴a=-2,A(-2,4),
将A(-2,4)代入y=得:k=-8,
∴反比例函数的关系式为:y=-.
把B(8,b)代入y=-得:b=-1,
∴B(8,-1),
因此a=-2,b=-1.
(2)由图象可得mx+n<的解集为:-2<x<0或x>8.
(3)如图,作点B关于x轴的对称点B',直线AB'与x轴交于P,此时PA-PB最大,
∵B(8,-1),∴B'(8,1).
设直线AP的关系式为y=k'x+b',将A(-2,4),B'(8,1)代入得:
解得:
∴直线AP的关系式为y=-x+,
当y=0,即-x+=0时,解得x=,
∴P,0.
4.D [解析]过点C作CE⊥x轴于点E,
∵顶点C的坐标为(m,3),
∴OE=-m,CE=3,
∵菱形ABOC中,∠BOC=60°,
∴OB=OC==6,
∠BOD=∠BOC=30°,
∵DB⊥x轴,
∴DB=OB·tan30°=6×=2,
∴点D的坐标为(-6,2),
∵反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交于D点,
∴k=xy=-12.
故选D.
5. [解析]作AE⊥x轴于E,BF⊥x轴于F,过B点作BC⊥y轴于C,交AE于G,如图所示:
则AG⊥BC,
∵∠OAB=90°,∴∠OAE+∠BAG=90°,
∵∠OAE+∠AOE=90°,
∴∠AOE=∠GAB.
在△AOE和△BAG中,
∴△AOE≌△BAG(AAS),
∴OE=AG,AE=BG,
∵点A(n,1),
∴AG=OE=n,BG=AE=1,
∴B(n+1,1-n),
∴k=n×1=(n+1)(1-n),
整理得:n2+n-1=0,
解得:n=(负值舍去),
∴n=,
∴k=.
故答案为:.
6.D [解析]如图,过点A作AD⊥y轴于D,过点C作CE⊥y轴于E,
∵AM⊥x轴,CN⊥x轴,OB⊥MN,
∴∠AMO=∠DOM=∠ADO=∠CNO=∠EON=∠CEO=90°,
∴四边形ONCE和四边形OMAD是矩形,
∴ON=CE,OM=AD.
∵OB是□OABC的对角线,
∴△BOC≌△OBA,
∴S△BOC=S△OBA.
∵S△BOC=OB×CE,S△BOA=OB×AD,
∴CE=AD,
∴ON=OM,故①正确.
在Rt△CON和Rt△AOM中,ON=OM,
∵四边形OABC是平行四边形,
∴OA与OC不一定相等,
∴△CON与△AOM不一定全等,故②错误.
∵第二象限的点C在双曲线y=上,
∴S△CON=|k2|=-k2.
∵第一象限的点A在双曲线y=上,
∴S△AOM=|k1|=k1,
∴S阴影=S△CON+S△AOM=-k2+k1=(k1-k2),
故③错误.
连接AC,
∵四边形OABC是菱形,
∴AC与OB互相垂直平分,
易得点A和点C的纵坐标相等,点A与点C的横坐标互为相反数,
∴点A与点C关于y轴对称,则过点A,C的曲线关于y轴对称.故④正确,
∴正确的有①④,
故选D.
7.解:(1)∵四边形ABCD是菱形,
∴AD∥BC,AB=AD=BC=5.
在Rt△AOB中,sin∠ABC===,
∴OA=4,
根据勾股定理,得OB=3,
∴OC=BC-OB=2,
∴C(2,0).
∵AD=5,OA=4,AD∥x轴,
∴D(5,4),
∴直线CD的解析式为y=x-.
∵点N的坐标是(3,n),
∴n=×3-=,
∴N3,.
∵点N在反比例函数y=(x>0)的图象上,
∴k=3×=4,
∴反比例函数的解析式为y=.
(2)证明:由(1)知,反比例函数的解析式为y=,
∵点M在AD上,
∴点M的纵坐标为4,
∴点M的横坐标为1,
∴M(1,4).
∴OM==,
CM==,
∴OM=CM,
∴△OMC是等腰三角形.
8.解:(1)20 [解析]设当0≤x≤40时,y与x之间的函数关系式为y=ax+b,
由题意得解得
∴y=1.5x+20,
当x=0时,y=1.5×0+20=20,
故答案为:20.
(2)将x=40代入y=1.5x+20,得y=80,
∴点E(40,80),
∵点E在反比例函数y=的图象上,
∴80=,得k=3200,
即反比例函数解析式为y=,
当y=20时,20=,得x=160,
即车间内危险检测表恢复到气体泄漏之初数据时对应x的值是160.
9.解:(1)将点A(4,1)的坐标代入y=,
得m2-3m=4,
解得m1=4,m2=-1,
∵m的值为4或-1时,m2-3m=4,∴反比例函数的解析式为y=.
(2)∵BD⊥y轴,AE⊥y轴,
∴∠CDB=∠CEA=90°.
∵∠BCD=∠ACE,
∴△CDB∽△CEA,
∴=.
∵CE=4CD,
∴AE=4BD,
∵A(4,1),
∴AE=4,
∴BD=1,
∴xB=1,
∴yB==4,
∴B(1,4).
将A(4,1),B(1,4)的坐标代入y=kx+b,
得
解得
∴y=-x+5.
设直线AB与x轴交点为F,
当x=0时,y=5;当y=0时,x=5,
∴C(0,5),F(5,0),则OC=OF=5,
∴△OCF为等腰直角三角形,
∴CF=5,
由垂线段最短可知,当OM垂直CF于M时,OM有最小值,
∴OM长度的最小值=CF=.
