江苏2020中考一轮复习培优 提分专练08 切线的证明
展开提分专练(八) 切线的证明
|类型1| 见切点,连半径,证垂直
(1)利用等角代换判定
1.[2019·镇江] 如图T8-1,在△ABC中,AB=AC,过AC延长线上的点O作OD⊥AO,交BC的延长线于点D,以O为圆心,OD长为半径的圆过点B.
(1)求证:直线AB与☉O相切;
(2)若AB=5,☉O的半径为12,则tan∠BDO= .
图T8-1
2.[2019·黄石] 如图T8-2,AB是☉O的直径,点D在AB的延长线上,C,E是☉O上的两点,CE=CB,∠BCD=∠CAE,延长AE交BC的延长线于点F.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(2)求证:CE=CF;
(3)若BD=1,CD=,求弦AC的长.
图T8-2
(2)利用平行线判定
3.[2019·泰州] 如图T8-3,四边形ABCD内接于☉O,AC为☉O的直径,D为的中点,过点D作DE∥AC,交BC的延长线于点E.
(1)判断DE与☉O的位置关系,并说明理由;
(2)若☉O的半径为5,AB=8,求CE的长.
图T8-3
4.[2019·赤峰] 如图T8-4,AB为☉O的直径,C,D是半圆AB的三等分点,过点C作AD延长线的垂线CE,垂足为E.
(1)求证:CE是☉O的切线;
(2)若☉O的半径为2,求图中阴影部分的面积.
图T8-4
(3)利用三角形全等或相似判定
5.[2019·郴州] 如图T8-5,已知AB是☉O的直径,CD与☉O相切于点D,且AD∥OC.
(1)求证:BC是☉O的切线;
(2)延长CO交☉O于点E.若∠CEB=30°,☉O的半径为2,求的长.(结果保留π)
图T8-5
|类型2| 无切点,作垂直,证半径
利用角平分线性质
6.如图T8-6,在△ABC中,AB=AC,AO⊥BC于点O,OE⊥AB于点E,以点O为圆心,OE为半径作半圆,交AO于点F.
(1)求证:AC是☉O的切线;
(2)若点F是AO的中点,OE=3,求图中阴影部分的面积;
(3)在(2)的条件下,点P是BC边上的动点,当PE+PF取最小值时,直接写出BP的长.
图T8-6
【参考答案】
1.解:(1)证明:连接OB,如图所示.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠ACB=∠OCD,
∴∠ABC=∠OCD.
∵OD⊥AO,
∴∠COD=90°,
∴∠D+∠OCD=90°.
∵OB=OD,
∴∠OBD=∠D,
∴∠OBD+∠ABC=90°,
即∠ABO=90°,
∴AB⊥OB,
∵点B在☉O上,
∴直线AB与☉O相切.
(2)∵∠ABO=90°,
∴OA===13,
∵AC=AB=5,
∴OC=OA-AC=8,
∴tan∠BDO===.
故答案为:.
2.解:(1)证明:连接OC,
∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°,
∴∠CAD+∠ABC=90°,
∵CE=CB,∴∠CAE=∠CAB,
∵∠BCD=∠CAE,∴∠CAB=∠BCD,
∵OB=OC,∴∠OBC=∠OCB,
∴∠OCB+∠BCD=90°,∴∠OCD=90°,
∵OC是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
(2)证明:∵∠BAC=∠CAE,AC=AC,∠ACB=∠ACF=90°,
∴△ABC≌△AFC(ASA),∴CB=CF,
又∵CB=CE,∴CE=CF.
(3)∵∠BCD=∠CAD,∠ADC=∠CDB,
∴△ACD∽△CBD,∴==,
∴=,∴AD=2,
∴AB=AD-BD=2-1=1,
设BC=a,则AC=a,
在Rt△ABC中,由勾股定理可得:a2+(a)2=12,
解得:a=(负值已舍),
∴AC=.
3.解:(1)DE与☉O相切,理由如下:
连接OD,∵D为的中点,∴=,
∴AD=DC,
∵AO=OC,∴OD⊥AC,
∴∠AOD=∠COD=90°,
又∵DE∥AC,∴∠EDO=∠AOD=90°,
∴OD⊥DE,∴DE与☉O相切.
(2)∵DE∥AC,∴∠EDC=∠ACD,
∵∠ACD=∠ABD,∴∠EDC=∠ABD,
又∵∠DCE=∠BAD,
∴△DCE∽△BAD,∴=,
∵半径为5,∴AC=10,
∵D为的中点,
∴AD=CD=5,
∴CE===.
4.解:(1)证明:连接OC,∵点C,D为半圆O的三等分点,
∴==,
∴∠BOC=∠EAB,∴OC∥AD.
∵CE⊥AD,∴CE⊥OC,∴CE为☉O的切线.
(2)连接OD,∵==,
∴∠COD=×180°=60°.
∵CD∥AB,∴S△ACD=S△COD,
∴图中阴影部分的面积=S扇形COD==.
5.解:(1)证明:连接OD,如图所示.
∵AD∥OC,
∴∠COD=∠ADO,∠COB=∠DAO,
∵OA=OD,∴∠ADO=∠DAO,
∴∠COD=∠COB.
在△COD和△COB中,
∴△COD≌△COB,
∴∠CDO=∠CBO,
又CD与☉O相切于点D,
∴∠CDO=90°,
∴∠CBO=90°,
∴BC是☉O的切线.
(2)∵∠CEB=30°,∴∠COB=60°,
由(1)知,∠COD=∠COB,
∴∠COD=60°,
∴∠DOB=∠COD+∠COB=120°.
∵☉O的半径为2,
∴的长==π.
6.解:(1)证明:作OH⊥AC于H,如图,
∵AB=AC,AO⊥BC于点O,
∴AO平分∠BAC,
∵OE⊥AB,OH⊥AC,
∴OH=OE,
∴AC是☉O的切线.
(2)∵点F是AO的中点,
∴AO=2OF=6,
∵OE=3,
∴∠OAE=30°,∠AOE=60°,
∴AE=OE=3,
∴图中阴影部分的面积=S△AOE-S扇形EOF=×3×3=.
(3) [解析] 作F点关于BC的对称点F',连接EF'交BC于P,如图,
∴PF=PF',
∴PE+PF=PE+PF'=EF',
此时EP+FP最小.
∵OF'=OF=OE,
∴∠F'=∠OEF',
∵∠AOE=∠F'+∠OEF'=60°,
∴∠F'=30°,
∴∠F'=∠EAF',
∴EF'=EA=3,
即PE+PF最小值为3.
在Rt△OPF'中,OP=OF'=,
在Rt△ABO中,OB=OA=×6=2,
∴BP=2=,
即当PE+PF取最小值时,BP的长为.
