江苏2020中考一轮复习培优 提分专练10 轨迹与最值问题

提分专练(十)　轨迹与最值问题

|类型1|　直线形轨迹问题

1.[2019·泰安]如图T10-1,矩形ABCD中,AB=4,AD=2,E为AB的中点,F为EC上一动点,P为DF中点,连接PB,则PB的最小值是              (　　)

图T10-1

A.2　　　  B.4　　　  C.　　 　 D.2

2.如图T10-2,在矩形ABCD中,AB=6,AD=8.点E在AD边上,且AE=2.动点P从点A出发,沿AB运动到点B停止.过点E作EF⊥PE交射线BC于点F.设M是线段EF的中点.则在点P运动的整个过程中,点M运动路线的长为　　　　. 

图T10-2

3.如图T10-3,在等边三角形ABC中,BC=6,D,E是BC边上的两点,且BD=CE=1,P是线段DE上一动点,过点P分别作AC,AB的平行线交AB,AC于点M,N,连接MN,AP交于点G,则点P由点D移动到点E的过程中,线段BG扫过的区域面积为　　　　. 

图T10-3

4.如图T10-4,在平面内,线段AB=6,P为线段AB上的动点,三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P,且满足PC=PA.若点P沿AB方向从点A运动到点B,则点E运动的路径长为　　　　. 

图T10-4

5.[2019·宿迁] 如图T10-5,正方形ABCD的边长为4,E为BC上一点,且BE=1,F为AB边上的一个动点,连接EF,以EF为边向右侧作等边三角形EFG,连接CG,则CG的最小值为　　　　. 

图T10-5

6.如图T10-6,边长为4的等边三角形AOB的顶点O在坐标原点,点A在x轴正半轴上,点B在第一象限.一动点P沿x轴以每秒1个单位长度的速度由点O向点A匀速运动,当点P到达点A时停止运动,设点P运动的时间是t秒.在点P的运动过程中,线段BP的中点为点E,将线段PE绕点P按顺时针方向旋转60°得PC.

(1)当点P运动到线段OA的中点时,点C的坐标为　　　　; 

(2)在点P从点O到点A的运动过程中,用含t的代数式表示点C的坐标;

(3)在点P从点O到点A的运动过程中,求出点C所经过的路径长.

图T10-6

7.[2014·徐州] 如图T10-7,矩形ABCD的边AB=3 cm,AD=4 cm,点E从点A出发,沿射线AD移动,以CE为直径作圆O,点F为圆O与射线BD的公共点,连接EF,CF,过点E作EG⊥EF,EG与圆O相交于点G,连接CG.

(1)试说明四边形EFCG是矩形.

(2)当圆O与射线BD相切时,点E停止移动,在点E移动的过程中,

①矩形EFCG的面积是否存在最大值或最小值?若存在,求出这个最大值或最小值;若不存在,说明理由.

②求点G移动路线的长.

图T10-7

|类型2|　圆弧形轨迹问题

8.如图T10-8,在Rt△ABC纸片中,∠C=90°,AC=BC=4,点P在AC上运动,将纸片沿PB折叠,得到点C的对应点D(P在C点时,点C的对应点是本身),则折叠过程对应点D的路径长是　　　　　　　　. 

图T10-8

9.如图T10-9,一根长为2米的木棒AB斜靠在墙角处,此时BC为1米,当A点下滑至A'处并且A'C=1米时,木棒AB的中点P运动的路径长为　　　　米. 

图T10-9

10.如图T10-10,平行四边形ABCD中,∠BCD=30°,BC=4,CD=3,M是AD边的中点,N是AB边上一动点,将△AMN沿MN所在直线翻折得到△A'MN,连接A'C,则A'C长度的最小值为　　　　. 

图T10-10

11.如图T10-11,矩形OABC的边OA,OC分别在x轴、y轴上,点B的坐标为(7,3),点E在边AB上,且AE=1,已知点P为y轴上一动点,连接EP,过点O作直线EP的垂线段,垂足为点H,在点P从点F0,运动到原点O的过程中,点H的运动路径长为　　　　. 

图T10-11

【参考答案】

1.D　[解析] 如图①,∵F为EC上一动点,P为DF中点,∴点P的运动轨迹为△DEC的中位线MN,∴MN∥EC,连接ME,则四边形EBCM为正方形,连接BM,则BM⊥CE,易证BM⊥MN,故当点P与点M重合,点F与点C重合时,BP取到最小值,如图②,在Rt△BCP中,BP==2.

2.9　[解析] 如图,过点M作GH⊥AD,交AD于G点,交BC于H点.

∵AD∥CB,GH⊥AD,

∴GH⊥BC.

在△EGM和△FHM中,

∴△EGM≌△FHM.

∴MG=MH.

∴点M的运动轨迹是一条平行于BC的线段.

当点P与A重合时,BF1=AE=2,

当点P与点B重合时,∠F2+∠EBF1=90°,∠BEF1+∠EBF1=90°,

∴∠F2=∠BEF1,

∵∠EF1B=∠EF1F2,

∴△EF1B∽△F2F1E.

∴=,即=,

∴F1F2=18.

∵M1M2是△EF1F2的中位线,

∴M1M2=F1F2=9.

故答案为9.

3.　[解析] ∵PM∥AC,PN∥AB,

∴四边形AMPN是平行四边形,

∵MN与AP相交于点G,

∴G是AP的中点,

∴如图,点G的运动路线是△AP1P2的中位线,

∵BC=6,BD=CE=1,

∴G1G2==2,

∵BC=6,

∴△BG1G2的底边G1G2上的高=×6×=,

∴线段BG扫过的区域面积=×2×=.

故答案为.

4.6　[解析] 如图,由题意可知点C运动的路径为线段AC',点E运动的路径为EE',由平移的性质可知AC'=EE',在Rt△ABC'中,易知AB=BC'=6,∠ABC'=90°,

∴EE'=AC'==6,

故答案为6.

5.　[解析] 由题意可知,点F是主动点,点G是从动点,点F在线段上运动,点G也一定在直线轨迹上运动.

将△EFB绕点E顺时针旋转60°,使EF与EG重合,得到△EFB≌△EGH,连接BH.

从而可知△EBH为等边三角形,

延长HG交CD于N.

作CM⊥HN,则CM即为CG的最小值,

作EP⊥CM,可知四边形HEPM为矩形,

则CM=MP+CP=HE+EC=1+=.

故答案为.

6.解:(1),　[解析] 如图①,过点C作CD⊥x轴于点D,

∵△AOB是等边三角形,P是OA的中点,

∴P(2,0),BP=OB·sin60°=4×=2,

∵E是BP的中点,

∴PE=,

∴PE=PC=,

∵∠BPC=60°,

∴∠CPA=30°,

∴PD=PC·cos30°==,CD=PC·sin30°==,

∴OD=OP+PD=2+=,

∴C,.

(2)如图②,过点P作PF⊥OB于点F,过C作CD⊥PA于点D.

在Rt△OPF中,PF=OP·sin60°=t,

∵∠OBP+∠OPB=∠CPD+∠OPB=120°,

∴∠FBP=∠CPD,

∵∠PFB=∠CDP=90°,

∴△BPF∽△PCD,

∴CD=FP=t,PD=BF=2-t,

∴点C的坐标是2+t,t.

(3)如图③,取OA的中点M,连接MC,由(2)得CD=t,MD=t.

∴tan∠CMD==,

∴∠CMD=30°.

∴点C在直线MC上运动.

当点P在点O时,点C与点M重合.

当点P运动到点A时,点C的坐标为(5,),

∴点C所经过的路径长为2.

7.解:(1)证明:∵CE为☉O的直径,

∴∠CFE=∠CGE=90°.

∵EG⊥EF,∴∠FEG=90°.

∴∠CFE=∠CGE=∠FEG=90°.

∴四边形EFCG是矩形.

(2)①存在.

连接OD,DG,如图①,

∵四边形ABCD是矩形,

∴∠A=∠ADC=90°.

∵点O是CE的中点,

∴OD=OC.

∴点D在☉O上.

∴∠FCE=∠FDE,

又∠A=∠CFE=90°,∴△CFE∽△DAB.

∴=2.

∵AD=4,AB=3,∴BD=5,

S△CFE=2·S△DAB=×3×4=.

∴S矩形EFCG=2S△CFE=.

∵四边形EFCG是矩形,

∴FC∥EG.

∴∠FCE=∠CEG.

∵∠GDC=∠CEG,∠FCE=∠FDE,

∴∠GDC=∠FDE.

∵∠FDE+∠CDB=90°,

∴∠GDC+∠CDB=90°.∴∠GDB=90°.

(ⅰ)当点E在点A(E')处时,点F在点B(F')处,点G在点D(G')处,如图①所示.

此时,CF'=CB=4.

(ⅱ)当点F在点D(F″)处时,直径F″G″⊥BD,

如图②所示,

此时☉O与射线BD相切,CF″=CD=3.

(ⅲ)当CF⊥BD时,CF最小,此时点F到达F‴,

如图③所示.

S△BCD=BC·CD=BD·CF‴.

∴4×3=5×CF‴.∴CF‴=.∴≤CF≤4.

∵S矩形EFCG=,

∴×2≤S矩形EFCG≤×42.

∴≤S矩形EFCG≤12.

∴矩形EFCG面积的最大值为12 cm2,最小值为 cm2.

②∵∠GDC=∠FDE=定值,点G的起点为D,终点为G″,

∴点G的移动路线是线段DG″.

∵∠GDC=∠FDE,∠DCG″=∠A=90°,

∴△DCG″∽△DAB.∴=.

∴=.

∴DG″=.

∴点G移动路线的长为 cm.

8.2π　[解析] ∵∠C=90°,AC=BC,

∴△ABC是等腰直角三角形,

如图,点D的路径为以点B为圆心,以BC的长为半径的弧,

路径长==2π.

故答案为2π.

9.　[解析] 连接CP,CP'.

∵∠ACB=90°,BC=1米,AB=2米,

∴∠BAC=30°,

∵P是木棒AB的中点,

∴PC=PA=1米,

∴∠PCA=30°,

同理求出∠B'CP'=30°,

则∠PCP'=30°,

∴木棒AB的中点P运动的路径长为=(米).

故答案为.

10.5　[解析] 如图,连接MC,过点M作ME⊥CD,交CD的延长线于点E.

∵四边形ABCD为平行四边形,

∴AD∥BC,AD=BC=4,

∵点M为AD的中点,∠BCD=30°,

∴DM=MA=2,∠MDE=∠BCD=30°,

∴ME=DM=1,DE=,

∴CE=CD+DE=4,由勾股定理得:CM2=ME2+CE2,

∴CM=7.由翻折变换的性质得:MA'=MA=2,

显然,当M,A',C三点共线时,线段A'C的长度最短,此时A'C=7-2=5,故答案为5.

11.π　[解析] 连接OE,当点P与点F重合时,S△OPE=×7=,

在Rt△OEA中,OE====5,

PE==,

∵S△OPE=PE·OH,即OH=,

∴OH=5,

∴在Rt△OEH中,sin∠OEH===,

∴∠OEH=45°,

点H的运动路径长是=π.

故答案是π.