江苏2020中考一轮复习培优 提分专练06 方程、不等式与函数的综合

提分专练(六)　方程、不等式与函数的综合

|类型1|　函数与方程

1.[2019·云南]已知k是常数,抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,并且与x轴有两个交点.

(1)求k的值;

(2)若点P在抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k上,且P到y轴的距离是2,求点P的坐标.

2.[2018·上海]一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图T6-1所示.

(1)求y关于x的函数关系式(不需要写自变量的取值范围);

(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油.在此行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米?

图T6-1

3.[2019·威海]在画二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象时,甲写错了一次项的系数,列表如下:

乙写错了常数项,列表如下:

通过上述信息,解决以下问题:

(1)求原二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式;

(2)对于二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当x　　　　时,y的值随x的值增大而增大; 

(3)若关于x的方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,求k的取值范围.

4.[2019·泰州]如图T6-2,在平面直角坐标系xOy中,二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),该图象与x轴相交于点A,B,与y轴相交于点C,其中点A的横坐标为1.

(1)求该二次函数的表达式;

(2)求tan∠ABC.

图T6-2

|类型2|　函数与不等式

5.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(4,0),B(2,8),且以直线x=1为对称轴.

(1)求此函数的解析式,并作出它的示意图;

(2)当0<x<4时,写出y的取值范围;

(3)结合图象直接写出不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集.

图T6-3

6.[2018·枣庄]如图T6-4,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点,且与反比例函数y=(n为常数,且n≠0)的图象在第二象限交于点C,CD⊥x轴,垂足为D,若OB=2OA=3OD=12.

(1)求一次函数与反比例函数的解析式;

(2)记两函数图象的另一个交点为E,求△CDE的面积;

(3)直接写出不等式kx+b≤的解集.

图T6-4

7.[2019·温州]如图T6-5,在平面直角坐标系中,二次函数y=-x2+2x+6的图象交x轴于点A,B(点A在点B的左侧).

(1)求点A,B的坐标,并根据该函数图象写出y≥0时x的取值范围;

(2)把点B向上平移m个单位得点B1.若点B1向左平移n个单位,将与该二次函数图象上的点B2重合;若点B1向左平移(n+6)个单位,将与该二次函数图象上的点B3重合.已知m>0,n>0,求m,n的值.

图T6-5

8.如图T6-6,抛物线y1=ax2+c与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P在抛物线上,过P(1,-3),B(4,0)两点作直线y2=kx+b.

(1)求a,c的值.

(2)根据图象直接写出y1>y2时,x的取值范围.

(3)在抛物线上是否存在点M,使得S△ABP=5S△ABM?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.

图T6-6

【参考答案】

1.解:(1)∵抛物线y=x2+(k2+k-6)x+3k的对称轴是y轴,

∴x=-=0,

即k2+k-6=0,解得k=-3或k=2.

当k=2时,抛物线解析式为y=x2+6,与x轴无交点,不满足题意,舍去;

当k=-3时,抛物线解析式为y=x2-9,与x轴有两个交点,满足题意,∴k=-3.

(2)∵点P到y轴的距离为2,

∴点P的横坐标为-2或2.

当x=2时,y=-5;当x=-2时,y=-5.

∴点P的坐标为(2,-5)或(-2,-5).

2.解:(1)设一次函数的关系式是y=kx+b,由图象知,点(0,60)与点(150,45)在一次函数图象上,将其坐标代入函数关系式,得解之,得故y=-x+60.

(2)当y=8时,-x+60=8,解之,得x=520.30-(520-500)=10(千米).

∴汽车开始提示加油时,离加油站的路程是10千米.

3.解:(1)根据甲同学的错误可知x=0时,y=c=3是正确的,

由甲同学提供的数据,选择

代入y=ax2+bx+3,得

解得a=1是正确的.

根据乙同学提供的数据,选择代入y=x2+bx+c,

得解得b=2是正确的,

∴y=x2+2x+3.

(2)抛物线y=x2+2x+3的对称轴为直线x=-1,

∵二次项系数为1,故抛物线开口向上,

∴当x≥-1时,y的值随x值的增大而增大.

故答案为≥-1.

(3)∵方程ax2+bx+c=k(a≠0)有两个不相等的实数根,

即x2+2x+3-k=0有两个不相等的实数根,

∴Δ=4-4(3-k)>0,

解得k>2.

4.解:(1)因为二次函数图象的顶点坐标为(4,-3),所以设该二次函数表达式为y=a(x-4)2-3,因为图象与x轴相交于点A,A的坐标为(1,0),把A的坐标代入y=a(x-4)2-3,解得a=,所以y=(x-4)2-3.

(2)在抛物线中,令x=0,得y=,所以C(0,),OC=,

令y=0,得x1=1,x2=7,所以B(7,0),OB=7,

所以在Rt△OBC中,tan∠ABC==.

5.解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点A(4,0),B(2,8),且以直线x=1为对称轴,

∴解得

∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9,

∴抛物线与x轴的交点为(-2,0),(4,0),顶点坐标为(1,9),

二次函数的图象如图所示.

(2)由图可知,当0<x<4时,0<y≤9.

(3)根据函数图象可知,不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集为-2<x<4.

6.解:(1)∵OB=2OA=3OD=12,

∴OA=6,OB=12,OD=4,

∴A(6,0),B(0,12),D(-4,0),

把点A,点B的坐标代入y=kx+b得0=6k+b,b=12,

∴k=-2,一次函数的解析式为y=-2x+12.

点C与点D的横坐标相同,代入y=-2x+12得点C的纵坐标为20,即C(-4,20),

∴20=,n=-80,

∴反比例函数的解析式为y=-.

(2)由y=-2x+12和y=-得-2x+12=-,

解得x1=-4,x2=10,∴E(10,-8),

∴△CDE的面积为×20×(10+4)=140.

(3)由图象可得-4≤x<0或x≥10.

7.解:(1)令y=0,则-x2+2x+6=0,

∴x1=-2,x2=6,∴A(-2,0),B(6,0).

由函数图象得,当y≥0时,x的取值范围为-2≤x≤6.

(2)由题意得B2(6-n,m),B3(-n,m),

函数图象的对称轴为直线x==2.

∵点B2,B3在二次函数图象上且纵坐标相同,

∴=2,∴n=1,

∴m=-×(-1)2+2×(-1)+6=,

∴m,n的值分别为,1.

8.解:(1)将P(1,-3),B(4,0)代入y=ax2+c得:

解得

(2)由图象得x>4或x<1.

(3)在抛物线上存在点M,使得S△ABP=5S△ABM,

理由是:抛物线的解析式是y=x2-.

设M点的纵坐标为e,

∵P(1,-3),

∴由S△ABP=5S△ABM得:

AB×|-3|=5×AB×|e|,

解得|e|=,所以e=±.

当e=时,x2-=,

解得x=±,

当e=-时,x2-=-,

解得x=±,

即M点的坐标是,,-,,,-,-,-.