2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺 专题03 等腰三角形的轴对称性（教师版）

2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

专题03 等腰三角形的轴对称性

【典型例题】

1．（2020·浙江温州·月考）在如图的网格上，能找出几个格点，使每一个格点与A、B两点能构成几个等腰三角形．（　）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】C

2．（2020·江苏省兴化市乐吾实验学校月考）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒OA,OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE,点D、E可在槽中滑动．若∠BDE=75°,则∠CDE的度数是__________

【答案】80°

【专题训练】

一、选择题

1．（2020·湖南长沙·月考）下列判断错误的是（　　）

A．等腰三角形是轴对称图形                       B．有两条边相等的三角形是等腰三角形

C．等腰三角形的两个底角相等                     D．等腰三角形的角平分线、中线、高互相重合

【答案】D

2．（2020·聊城市经济技术开发区蒋官屯街道办事处中学月考）如图，CD平分∠ACB，BE⊥CD于D，交AC于点E，∠A=∠ABE，AC=9，BC=5，则BD的长为(    )

A．4 B．3 C．2 D．1

【答案】C

3．（2020·北京八中乌兰察布分校月考）乐乐发现等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为40°，则这个等腰三角形底角的度数为（    ）

A．50° B．65° C．65°或25° D．50°或40°

【答案】C

4．（2020·山东长清·期中）如图，在△ABC中，∠B＝32°，∠BAC的平分线AD交BC于点D，若DE垂直平分AB，则∠C的度数为(　  　)

A．90° B．84° C．64° D．58°

【答案】B

5．（2020·江苏灌云·月考）已知：如图，在△ABC中，∠C＝63°，AD是BC边上的高，CD＝FD，点E在AC上，BE交AD于点F，BF＝AC，则∠ABF的度数为（　　）

A．18° B．36° C．48° D．63°

【答案】A

6．（2020·湖北省江夏区教育局月考）如图，已知点C（0，1），A（0，0），点B在x轴上，∠ABC=30°，在△ABC内依次作等边三角形，使一边在x轴上，另一个顶点在BC边上，作出的等边三角形分别是第1个△AA1B1，第2个△B1A2B2，第3个△B2A3B3，……，则第10个等边三角形的边长等于（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

二、填空题

7．（2020·山东省陵城区江山实验学校月考）等腰三角形的两边长分别为6 cm和8 cm，则其周长为________．

【答案】20 cm或22 cm

8．（2020·江苏省兴化市乐吾实验学校月考）如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝4cm，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，EF过点D且EF∥BC，则△AEF的周长是____________cm．

【答案】10

9．（2020·北京八中乌兰察布分校月考）如图，在等边三角形ABC中，BD=CE,AD,BE交于点F,则_________;

【答案】60°

10．（2020·河南二模）如图，在△ABC中，∠B=45°，点D是BC边上一点，连接AD，且AD=BD，∠CAD=90°，CF平分∠ACB，分别交AD，AB于点E，F，则∠AEC的度数为______．

【答案】70°

11．（2020·湖北省江夏区教育局月考）在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴上，点A的坐标为（4，0），∠AOB=30°，点E的坐标为（1，0），点P为斜边OB上的一个动点，则PA+PE的最小值为_____．

【答案】

12．（2020·浙江萧山·月考）如图，已知点P是射线ON上一动点（即P可在射线ON上运动），∠AON=45°，当∠A=________时，△AOP为等腰三角形．

【答案】45°或67.5°或90°

三、解答题

13．（2020·灌南县新知双语学校月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝30°，D为BC边上一点，∠DAB＝45°．

（1）求∠DAC的度数；

（2）请说明：AB＝CD．

【答案】

解：（1） ∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C＝30°，

∵∠C＋∠BAC＋∠B＝180°，

∴∠BAC＝180°﹣30°﹣30°＝120°，

∵∠DAB＝45°，   

∴∠DAC＝∠BAC﹣∠DAB＝120°﹣45°＝75°；

（2）证明：∵∠DAB＝45°，

∴∠ADC＝∠B＋∠DAB＝75°，

∴∠DAC＝∠ADC，

∴DC＝AC，

∵AB＝AC，

∴AB＝CD．

14．（2020·江苏江都·月考）如图，已知△ABC是边长为3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发(点P不与点A、B重合，点Q不与点B、C重合)，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动，设点P的运动时间为ts，则当t为何值时，△PBQ是直角三角形？

【答案】

根据题意得AP=tcm，BQ=tcm，

△ABC中，AB=BC=3cm，∠B=60°，

∴BP=（3-t）cm，

△PBQ中，BP=3-t，BQ=t，若△PBQ是直角三角形，则∠BQP=90°或∠BPQ=90°，

当∠BQP=90°时，BQ=BP，

即t=（3-t），t=1（秒），

当∠BPQ=90°时，BP=BQ，

∴3-t=t，

∴t=2（秒），

答：当t=1秒或t=2秒时，△PBQ是直角三角形．

15．（2020·江苏东台·月考）如图，在△ABC中，边AB，AC的垂直平分线相交于点O，分别交BC与D、E．

（1）若∠BAC=120°，则∠DAE=    　  ．

（2）连接OA、OB、OC，△ADE的周长为6cm，△BOC的周长为14cm，求OA的长．

【答案】

解：（1）∵DM、EN分别是边AB，AC的垂直平分线，∴DB=DA，EA=EC

∴

∴

∴

（2）如图，由题意得：OA=OB=OC，

由（2）知，BC=BD+DE+EC=AD+DE+EA=△ADE的周长=6

∴△BOC的周长=BC+OB+OC=BC+2OA=14，∴2OA=14-6=8，OA=4（cm）

16．（2020·浙江萧山·月考）在等腰△ABC中，AB＝AC，BC=8，∠BAC＝100°，AD是∠BAC的平分线，交BC于D，AD=4，点E是AB的中点，连接DE．   

（1）求∠B的度数；   

（2）求三角形BDE的面积． 

【答案】

（1）∵AB＝AC，且AD是∠BAC的平分线

∴，

∴

∴；

（2）∵点E是AB的中点

∴

∴

∵

∴．

17．（2020·罗平县富乐第二中学期中）如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：OE是CD的垂直平分线．

（2）若∠AOB＝60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

【答案】

解：(1)∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，

∴DE=CE，又∵OE=OE，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC，

∴△DOC是等腰三角形，

又∵OE是∠AOB的平分线，

∴OE是CD的垂直平分线；

(2)∵OE是∠AOB的平分线,∠AOB=60°，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

∵ED⊥OA，CD⊥OE，

∴OE=2DE,∠ODF=∠OED=60°，

∴∠EDF=30°，

∴DE=2EF，

∴OE=4EF.

18．（2020·江苏灌云·月考）如图，在△ABC中，AB=AC=8，BC=12，点D从B出发以每秒2个单位的速度在线段BC上从过点B向点C运动，点E同时从点C出发，以每秒2个单位的速度在线段AC上从点A运动，连接AD、DE，设D、E两点运动时间为秒.

(1)运动_____秒时，CD=3AE.

(2)运动多少秒时，△ABD≌△DCE能成立，并说明理由；

(3)若△ABD≌△DCE，∠BAC=则∠ADE=_______(用含的式子表示)．

【答案】

（1）由题可得，BD=CE=2t，

∴CD=12-2t，AE=8-2t，

∴当DC=3AE时，12-2t =3（8-2t），

解得t=3，

故答案为3；

（2）当△ABD≌△DCE成立时，AB=CD=8，

∴12-2t=8，

解得t=2，

∴运动2秒时，△ABD≌△DCE能成立；

（3）当△ABD≌△DCE时，∠CDE=∠BAD，

又∵∠ADE=180°-∠CDE-∠ADB，∠B=∠180°-∠BAD-∠ADB，

∴∠ADE=∠B，

又∵∠BAC=α，AB=AC，

∴∠ADE=∠B=（180°-α）=90°-α．

故答案为90°-α．

19．（2020·南部县第二中学月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB、BC、AC上，且BE＝CF，AD+EC＝AB．

（1）求证：△DEF是等腰三角形；

（2）当∠A＝40°时，求∠DEF的度数；

（3）△DEF可能是等腰直角三角形吗？为什么？

【答案】

（1）证明：∵AD+EC=AB=AD+DB，
∴EC=DB，
又∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BED和△CFE中

∴△BED≌△CFE，
∴DE=EF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）解：∵∠A=40°，
∴∠B=∠C=70°，
∵由（1）知△BED≌△CFE，
∴∠BDE=∠FEC，
∴∠DEB+∠FEC=∠DEB+∠BDE=180°-∠B=110°，
∴∠DEF=180°-（∠DEB+∠FEC）=70°；
（3）解：∵若△DEF是等腰直角三角形，则∠DEF=90°，
∴∠DEB+∠BDE=90°，
∴∠B=90°，因而∠C=90°，
∴△DEF不可能是等腰直角三角形．

20．（2020·江苏省兴化市乐吾实验学校月考）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝80°，点D为△ABC内一点，∠ABD＝∠ACD＝20°，E为BD延长线上的一点，且AB＝AE．

（1）求∠BAD的度数；

（2）求证：DE平分∠ADC；

（3）请判断AD，BD，DE之间的数量关系，并说明理由．

【答案】

解：（1）∵AB＝AC，∠BAC＝80°，

∴∠ABC=∠ACB=（180°－∠BAC）=50°，点A在线段BC的中垂线上

∵∠ABD＝∠ACD＝20°，

∴∠DBC=∠ABC－∠ABD=∠ACB－∠ACD=∠DCB

∴DB=DC

∴点D在线段BC的中垂线上

∴AD垂直平分BC

∵AB=AC

∴AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠CAD=∠BAC＝40°；

（2）∵∠BAD=∠CAD=40°，∠ABD＝∠ACD＝20°

∴∠ADC=180°－∠CAD－∠ACD=120°，∠ADE=∠BAD＋∠ABD=60°

∴∠ADC=2∠ADE

∴DE平分∠ADC；

（3）DE＝AD＋BD，理由如下：

在DE上截取点F，使DF=AD

∵∠ADE=60°

∴△ADF为等边三角形

∴∠AFD=60°，AD=AF

∴∠ADB=180°－∠ADE=120°，∠AFE=180°－∠AFD=120°

∴∠ADB=∠AFE

∵AB＝AE

∴∠ABE=∠E

∴△ABD≌△AEF

∴BD=EF

∴DE=DF＋EF=AD＋BD