2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺 专题05 勾股定理与勾股定理的逆定理（教师版）

2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

专题05 勾股定理与勾股定理的逆定理

【典型例题】

1．（2020·广西北流·期末）如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，已知AD=4米，CD=3米，∠ADC=90°，AB=13米，BC=12米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？

【答案】

连结AC，

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC=（米），

∵AC2+BC2=52+122=169，AB2=132=169，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，

该区域面积S=S△ACB﹣S△ADC=×5×12﹣×3×4=24（平方米），

即铺满这块空地共需花费=24×100=2400元．

【专题训练】

一、选择题

1．（2020·江苏省兴化市乐吾实验学校月考）下列命题中，是假命题的是(    )

A．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝1：2：3，则△ABC是直角三角形

B．在△ABC中，若a2＝(b＋c) (b－c)，则△ABC是直角三角形

C．在△ABC中，若∠B＝∠C＝∠A，则△ABC是直角三角形

D．在△ABC中，若a：b：c＝5：4：3，则△ABC是直角三角形

【答案】C

2．（2019·深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学期中）如图，正方形网格中有△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为(　　)

A．直角三角形               B．锐角三角形              C．钝角三角形                  D．以上答案都不对

【答案】A

3．（2020·云南峨山·初二期末）△ABC的三边的长a、b、c满足：，则△ABC的形状为（    ）．

A．等腰三角形 B．等边三角形 C．钝角三角形 D．直角三角形

【答案】D

4．（2020·广东龙岗·龙岭初级中学月考）如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上且与AE重合，则CD等于（     ）

A．2cm      B．3cm       C．4cm       D．5cm

【答案】B

5．（2020·深圳市龙岗区深圳中学龙岗初级中学期末）如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝7，∠BAC的角平分线AD交BC于点D，则点D到AB的距离是（  ）

A．3 B．4 C． D．

【答案】C

6．（2020·辽宁甘井子·期末）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知正方形ADOF的边长是2，BD=4，则CF的长为（    ）

A．6 B． C．8 D．10

【答案】A

二、填空题

7．（2020·山东汶上·初二期末）如图，已知∠C=90°，AB=12，BC=3，CD=4，AD=13，则∠ABD=_______．

【答案】90°

8．（2020·广东广州·期中）如图，每个小正方形的边长都相等，A、B、C是小正方形的顶点，则∠ABC的度数＝_______．

【答案】45°

9．（2020·成都高新区益民学校月考）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，以△ABC的各边为边在△ABC外作三个正方形，S1、S2、S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝25，S3＝144，则AB＝_____．

【答案】13

10．（2020·成都高新区益民学校月考）如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=6,折叠纸片，使点C落在AB边上的点D处，折痕BE与AC交于点E，则折痕BE的长为_____________；

【答案】4

11．（2020·江苏东台·月考）如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12，AD=8，AD⊥BC．若P、Q分别是AD和AC上的动点，则PC+PQ的最小值是__________．

【答案】

12．（2020·山东大学附属中学其他）如图，在矩形ABCD中，AD=3.将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为，折痕为DE.若将∠B沿向内翻折，点B恰好落在DE上，记为，则AB=______．

【答案】

三、解答题

13．（2020·广东惠州·期中）如图，四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，且∠B＝90°．求四边形ABCD的面积．

【答案】

解：连接AC，如下图所示：

∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，

∴AC＝＝5，

在△ACD中，AC2+CD2＝25+144＝169＝AD2，

∴△ACD是直角三角形，

∴S四边形ABCD＝AB•BC+AC•CD＝×3×4+×5×12＝36．

14．（2020·云南临沧·期中）如图，在四边形ABCD中，AB＝1，AD＝，BD＝2，∠ABC+∠ADC＝180°，CD＝．求四边形ABCD的面积．

【答案】

解：∵AB＝1，AD＝，BD＝2，

∴AB2+AD2＝BD2，

∴∠DAB＝90°，

∵∠ABC+∠ADC＝180°，

∴∠C＝90°

∴BC＝＝＝，

∴四边形ABCD的面积＝×AB×AD+×CD×CB＝×1×+××＝1+．

15．（2020·河南安阳·期末）有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送6m（水平距离BC＝6m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝4m，秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．

【答案】

解：在Rt△ACB中，

AC2+BC2＝AB2，

设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣3）m，

故x2＝62+（x﹣3）2，

解得：x＝7.5，

答：绳索AD的长度是7.5m．

16．（2019·福建月考）如图，在直角ΔABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=CD=2，AD=3．

(1)求AC的长．

(2)试判断ΔACD的形状．

【答案】

解：(1)∵直角ΔABC中，∠ABC=90°，AB=1，BC=CD=2，

∴AC===；

 (2) ∵△ACD中，AC=，CD=2，AD=3，

∴

∴△ACD为直角三角形．

17．（2019·深圳市南山区第二外国语学校（集团）学府中学期中）如图，在△ABC中，AB=17cm，AC=8cm，BC=15cm，将AC沿AE折叠，使得点C与AB上的点D重合．

(1)证明：△ABC是直角三角形；

(2)求△AEB的面积．

【答案】

解：(1)∵AC2+BC2=82+152=289，AB2=289，

∴AC2+BC2=AB2，

∴△ABC是直角三角形．

(2)由翻折不变性可知：EC=DE，AC=AD=8cm，∠ADE=∠C=∠BDE=90°，

设EC=DE=x，在Rt△BDE中，∵DE2+BD2=BE2，

∴x2+92=(15-x)2，解得x=．

∴DE=

∴S△ABE=×AB×DE=×17=．

18．（2020·江苏宿豫·期末）如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小正方形的顶点叫做格点．

（1）在图①中，以格点为端点画一条长度为的线段MN；

（2）在图②中，A、B、C是格点，求∠ABC的度数．

【答案】

解：（1）如图

根据勾股定理，得

MN＝＝＝；

（2）连接AC

∵，，，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴ABC是等腰直角三角形，

∴∠ABC＝45°．

19．（2020·广东阳山·期末）如图，一架2.5米长的梯子AB 斜靠在一座建筑物上，梯子底部与建筑物距离BC 为0.7米.

（1）求梯子上端A到建筑物的底端C的距离（即AC的长）；

（2）如果梯子的顶端A沿建筑物的墙下滑0.4米（即AA′=0.4米），则梯脚B将外移（即BB′的长）多少米？

【答案】

（1）在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2.5,BC=0.7

根据勾股定理可知AC=米

答：梯子上端A到建筑物的底端C的距离为2.4米.

（2）在△AˊBˊC中，∠ACB=90°，AˊBˊ=AB=2.5米, AˊC=AC-AAˊ=2.4-0.4=2米

根据勾股定理可知BˊC=米

米

答：梯脚B将外移0.8米.

20．（2020·成都高新区益民学校月考）如图：正方形网格中每个小方格的边长为1，且点A、B、C均为格点．

（1）求△ABC的面积；

（2）通过计算判断△ABC的形状；

（3）求AB边上的高．

【答案】

解：（1）△ABC的面积；

（2）由勾股定理得：，

，

，

，

是直角三角形，，

是直角三角形；

（3），，是直角三角形，

边上的高．