苏科版八年级数学上册同步精品讲义 第24讲 一次函数（学生版+教师版）

一次函数 6.2 一次函数知识点01 理解一次函数的定义1、一般地，形如（，是常数，≠0）的函数，叫做一次函数.2、 （为常数，且≠0）的函数，叫做正比例函数.其中叫做比例系数.【微点拨】当＝0时，即，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数.一次函数的定义是根据它的解析式的形式特征给出的，要注意其中对常数，的要求，一次函数也被称为线性函数.【即学即练1】在测量液体密度的实验中，小华同学测得液体和烧杯的总质量与液体体积的关系如图，则下列选项中不正确的是（       ）A．空烧杯的质量是168g B．液体的质量与液体的体积满足一次函数关系C．液体的密度是900 D．当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为240g【答案】A【分析】根据函数图象中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题．【详解】：由图象可得，当液体体积是20时，烧杯的质量是168g，故选项A错误，符合题意函数图像是一条直线，液体的质量与液体的体积满足一次函数关系，故选项B不符合题意；体积从20增加到120，液体质量为258-168=90克，故液体的密度是900，故选项C不符合题意当液体体积为时，液体和烧杯的总质量为240g，故选项D不符合题意；故选：A．知识点02 待定系数法求一次函数解析式一次函数（，是常数，≠0）中有两个待定系数，，需要两个独立条件确定两个关于，的方程，这两个条件通常为两个点或两对，的值.【微点拨】先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法.由于一次函数中有和两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以和为未知数），解方程组后就能具体写出一次函数的解析式.【即学即练2】已知矩形ABCD的周长为20cm．若设AB=xcm，BC=ycm．请写出y与x的函数关系式并写出自变量x的取值范围．【答案】y=10-x；【分析】根据长方形周长公式列式即可，由长宽均大于0可得x的取值范围．【详解】解：根据题意得，y==10﹣x，即y=10﹣x，∵x＞0且10﹣x＞0，∴0＜x＜10．【知识拓展】分段函数：1、对于某些量不能用一个解析式表示，而需要分情况（自变量的不同取值范围）用不同的解析式表示，因此得到的函数是形式比较复杂的分段函数.解题中要注意解析式对应的自变量的取值范围，分段考虑问题.2、对于分段函数的问题，特别要注意相应的自变量变化范围.在解析式和图象上都要反映出自变量的相应取值范围.考法01 一次函数识别1、一般地，形如y=kx＋b(k,b是常数，k≠0)，那么y叫做x的一次函数.当b=0时，y=kx＋b即y=kx，当k>0时，图象从左到右上升，y随x的增大而增大，当k<0时，图象从左到右下降，y随x的增大而减小 2、一次函数y=kx＋b(k≠0)的图象是经过（0，b）和（-b/k，0 ）两点的一条直线，因此一次函数y=kx＋b的图象也称为直线【典例1】下列函数关系式中，属于一次函数的是（       ）A．y＝－1 B．y＝x2＋1 C．y＝kx＋b（k、b是常数） D．y＝1－2x【答案】D【分析】根据一次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A．等式的右边是分式，不是整式，不是一次函数，故本选项不符合题意；B．自变量的次数是二次，不是一次函数，故本选项不符合题意；C．当k=0时，不是一次函数，故本选项不符合题意；D．是一次函数，故本选项符合题意；故选：D．考法02 正比例函数的定义定义：一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。 注意：这里强调k是常数，k≠0.【典例2】下列函数中，属于正比例函数的是（       ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A．不是正比例函数，故本选项不符合题意；B．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；C．不是正比例函数，故本选项不符合题意；D．是正比例函数，故本选项符合题意；故选：D．题组A 基础过关练1．下列函数①；②；③；④；⑤中，是一次函数的有（       ）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】利用一次函数的定义进行判断即可选择．【详解】解：①是一次函数；②是一次函数；③是反比例函数；④是一次函数；⑤是二次函数，所以一次函数有3个．故选：C．2．下列给出的四个点中，不在直线上的是（       ）A． B． C． D．【答案】B【分析】只需把每个点的横坐标即的值分别代入，计算出对应的值，然后与对应的纵坐标比较即可．【详解】解：A.当时，，则在直线上；B.当时，，则不在直线上；C.当时，，则在直线上；D.当时，，则在直线上．故选：B．3．下列函数中，y是x的正比例函数的是（       ）A．y＝-x B． C． D．y＝x+1【答案】A【分析】正比例函数的形式是y=kx，其条件条件是：k为常数且k≠0，自变量次数为1．【详解】解：A、，符合正比例函数的定义；故本选项符合题意； B、，含自变量的的代数式不是整式，不符合正比例函数的定义；故本选项不符合题意； C、，自变量的次数是2；故本选项不符合题意； D、，不符合正比例函数的定义；故本选项不符合题意． 故选：A．4．当时，函数的值是（     ）A． B．5 C． D．3【答案】C【分析】将代入中即可．【详解】解：将代入中，．故选：C．5．当___________时，函数是正比例函数．【答案】【分析】根据正比例函数的形式即可求解．【详解】解：由题意得，，解得，则，故答案为：．6．若y与x成正比例，且当x＝3时，y＝6，则y与x之间的函数关系式为 __．【答案】【分析】首先设y＝kx，再代入x＝3，y＝6可得k的值，进而可得函数解析式．【详解】解：设y＝kx，∵当x＝3时，y＝6，∴6＝3k，解得：k＝2，∴y＝2x，故答案为：y＝2x．7．（1）已知与成正比例，当时，，求与的函数表达式．（2）某位同学的卧室有25平方米，共用了64块正方形的地板砖，问每块砖的边长是多少？【答案】（1）；（2）每块砖的边长是米【分析】（1）设，用待定系数法即可得到与的函数表达式；（2）先求出每块地板砖面积是平方米，即可得到每块砖的边长．【详解】解：（1）设，∵当时，，∴，解得，∴，即；（2）设每块砖的边长是米（），∵卧室有平方米，共用了块正方形的地板砖，∴每块地板砖面积是平方米，∴，∴，∴每块砖的边长是米．题组B 能力提升练1．下列函数中，属于正比例函数的是(     )A． B． C． D．【答案】D【分析】根据正比例函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A．不是正比例函数，故本选项不符合题意；B．是一次函数，但不是正比例函数，故本选项不符合题意；C．不是正比例函数，故本选项不符合题意；D．是正比例函数，故本选项符合题意；故选：D．2．已知函数是关于的正比例函数，则关于字母、的取值正确的是（       ）A．， B．， C．， D．，【答案】A【分析】一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，由此可得，b-1=0，解出即可．【详解】解：∵一次函数是正比例函数，∴，b-1=0，解得：，．故选：A．3．已知函数是一次函数，则m的取值范围是（       ）A．m≠-3 B．m≠1 C．m≠0 D．m为任意实数【答案】A【分析】根据一次函数的定义进行解答．【详解】解：根据题意，，解得．故选：A．4．若正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，1﹣k），则k的值为（　　）A．1 B．﹣ C．﹣1 D．【答案】D【分析】利用一次函数图象上点的坐标特征，可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出k值．【详解】解：∵正比例函数y＝kx（k≠0）的图象经过点（2，1﹣k），∴1﹣k＝2k，∴k＝．故选：D．5．若函数是正比例函数，则________．【答案】【分析】根据正比例函数的定义：y＝kx（k为常数且k≠0），判断即可．【详解】解：∵函数y＝−x＋k−1是正比例函数，∴k−1＝0，∴k＝1，故答案为：1．6．已知点P在直线y＝x-3上，且点P到x轴的距离为2，则点P坐标为______和______．【答案】     （5，2）     （1，-2）【分析】根据点P到x轴的距离为2，可得点P的纵坐标为2或-2，然后分两种情况讨论，即可求解．【详解】∵点P到x轴的距离为2，∴点P的纵坐标为2或-2，当点P的纵坐标为2时，有2＝x-3，解得∶x=5，此时点P的坐标为（5，2）；当点P的纵坐标为-2时，有-2＝x-3，解得∶x=1，此时点P的坐标为（1，-2）；综上所述，点P的坐标为（5，2）或（1，-2）．故答案为：（5，2），（1，-2）7．点在函数的图象上，则代数式的值等于_________．【答案】2024【分析】由点在函数的图象上，利用一次函数图象上点的坐标特征可得出，将其代入中即可求出结论．【详解】解：∵点在函数的图象上，∴，∴．故答案为：2024．8．若平面直角坐标系中，设点在正比例函数的图像上，则点位于第______象限．【答案】一【分析】把点P坐标代入正比例函数解析式可得a的值，进而计算Q的横纵坐标值并判断其所处象限即可．【详解】解：∵点P（2，a）在正比例函数的图像上，∴，∴，∴点Q的坐标为（2，1），位于第一象限．故答案为：一．9．已知y与x+1成正比例，且当x＝1时，y＝6；(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)当x＝﹣3时，求y的值．【答案】(1)y＝3x+3；(2)-6【分析】（1）根据题意，可设y＝k（x+1），再把x＝1，y＝6代入，即可求解；（2）把x＝﹣3代入函数关系式，即可求解．【详解】(1)解：根据题意，可设y＝k（x+1），把x＝1，y＝6代入得：6＝2k，解得：k＝3，∴y＝3（x+1）＝3x+3， 即y与x之间的函数关系式为y＝3x+3；(2)解：当x＝﹣3时，y＝3×（﹣3）+3＝﹣6．10．学校阅览室有一种能坐4人的方桌，如果多于4人，就把方桌按图中的方式摆放，2张方桌摆放到一起能坐6人，请你结合这个规律，回答问题：(1)写出总人数y（人）与方桌数x（张）之间的函数解析式（不要求写自变量的取值范围），并判断y是不是x的一次函数；(2)若八年级（1）班有42人去阅览室看书，则需要多少张这样的方桌？【答案】(1)；(2)20张【分析】（1）根据第一张桌子可坐4人，以后每多一张桌子多2人，可列函数关系式，再判断即可；（2）将y=42代入（1）中的函数关系式即可求出．【详解】(1)解：∵一张方桌坐4人，每多一张方桌就多坐2人，∴如果是x张方桌，则所坐人数是．∴y与x之间的函数解析式为，(2)解：把代入，得，解得．答：需要20张这们样的方桌．题组C 培优拔尖练1．规定：是一次函数的“特征数”．若“特征数”是的一次函数是正比例函数，则点所在的象限是（　　）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据正比例函数的定义求出m的值，然后求出点的坐标即可判断．【详解】解：由题意得：∵“特征数”是[4，m﹣4]的一次函数是正比例函数，∴m﹣4＝0，∴m＝4，∴2+m＝6，2﹣m＝﹣2，∴点（6，﹣2）在第四象限，故选：D．2．新定义：为一次函数（a，b为常数，且）关联数．若关联数所对应的一次函数是正比例函数，则关于x的方程的解为（       ）A． B． C． D．【答案】C【分析】先依据题意得到函数关系式，然后依据正比例函数的定义求得m的值，最后解一元一次方程即可．【详解】解：∵[a，b]为一次函数y=ax+b（a，b为实数，且a≠0）的关联数，∴关联数[1，m+2]所对应的一次函数是y=x+m+2．又∵该函数为正比例函数，∴m+2=0，解得m=-2．∴方程可变形为：，解得：x=1，∴方程的解为x=1．故选：C．3．如图，在平面直角坐标系中，等边的顶点在原点上，在轴上，，为边的中点，将等边向右平移，当点落在直线：上时，点的对应点的坐标为（     ）A． B． C． D．【答案】D【分析】过作轴于，根据等边三角形的性质得出，求出，根据勾股定理求出，求出点的纵坐标，根据平移的性质得出平移后点的纵坐标不变，把点的纵坐标代入，求出即可．【详解】解：过作轴于，是等边三角形，，，，，由勾股定理得：，为的中点，点的纵坐标是，当将等边向右平移，当点落在直线上时，点的纵坐标还是，把代入得：，解得：，即点的坐标是，故选：．4．如图，已知点K为直线l：y＝2x+4上一点，先将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至点K1，然后再将点K1向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2，若点K2也恰好落在直线l上，则a，b应满足的关系是（　　）A．a+2b＝4 B．2a﹣b＝4 C．2a+b＝4 D．a+b＝4【答案】C【分析】点K为直线l：y＝2x+4上一点，设再根据平移依次写出的坐标，再把的坐标代入一次函数的解析式，整理即可得到答案.【详解】解： 点K为直线l：y＝2x+4上一点，设 将点K向下平移2个单位，再向左平移a个单位至点K1， 将点K1向上平移b个单位，向右平1个单位至点K2， 点K2也恰好落在直线l上， 整理得： 故选C5．函数y=-x+3的图象上有一点P，使得P点到x轴的距离等于1，则点P的坐标为______________．【答案】（-2，1）或（-4，-1）##（-4，1）或（-2，-1）【分析】由P点到x轴的距离等于1，可得出点P的纵坐标为±1，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点P的坐标．【详解】解：∵P点到x轴的距离等于1，∴点P的纵坐标为±1．当y=1时，x+3=1，解得：x=-2，∴点P的坐标为（-2，1）；当y=-1时，x+3=-1，解得：x=--4，∴点P的坐标为（-4，-1）．故答案为：（-2，1）或（-4，-1）．6．在平面直角坐标系中，若一次函数的图象过点，，则的值为______．【答案】【分析】把代入代入一次函数求得，进而代入x=即可求得m的值．【详解】解：一次函数的图象过点， ，解得，，过，，故答案为-4044．7．设一次函数．若当时，；当时，，则的取值范围是______【答案】【分析】根据题意确定有关b的不等式组，从而确定b的取值范围．【详解】解：∵一次函数y＝−3x＋b，若当x＝−2时，y＞0；当x＝2时，y＜0，∴，解得：−6＜b＜6，故答案为：−6＜b＜6．8．如图，直线y＝﹣x＋6与x轴交于C，与y轴交于A，过C、A分别作x轴，y轴的垂线交于点B，P是线段BC上的一个动点．(1)求A，C坐标；(2)若点Q（a，2a﹣6）位于第一象限内，问点A、P、Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时a的值，若不能，请说明理由．【答案】(1)A（0，6），C(8，0）；(2)能，4或【分析】（1）分别将x＝0和y＝0代入即可求出A，C坐标；（2）分两种情况：作辅助线，构建两个全等三角形，通过AE＝FQ列关于a的方程，解出即可．【详解】(1)解：当x＝0时，y＝6，∴A（0，6），当y＝0时，﹣x＋6＝0，解得x＝8，∴C（8，0）；(2)解：由题可知：点Q是直线y＝2x﹣6上一点，如图1，过Q作EF⊥y轴，交y轴于E，交直线CB于F，∵Q（a，2a﹣6），∴AE＝2a﹣6﹣6＝2a﹣12，FQ＝8﹣a，∵△APQ是等腰直角三角形，∴AQ＝PQ，∠AQP＝90°，∴∠EQA＋∠PQF＝90°，∵∠AEQ＝90°，∴∠EAQ＋∠EQA＝90°，∴∠PQF＝∠EAQ，在△AQE和△QPF中，∵，∴△AQE≌△QFP（AAS），∴AE＝FQ，∴2a﹣12＝8﹣a，解得a＝；如图2，过Q作EF⊥y轴，交y轴于E，交直线CB于F，∵Q（a，2a﹣6），∴AE＝6﹣（2a﹣6）＝12﹣2a，FQ＝8﹣a，同理得：△AQE≌△QFP，∴AE＝FQ，∴12﹣2a＝8﹣a，解得a＝4；综上所述，点A、P、Q能构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，a的值是4或．9．如图，在平面直角坐标系xOy中，正比例函数的图象为直线l，已知两点A（0，1）、B（0，3）．（1）在直线l位于第一象限的部分找一点C，使得∠CAB＝∠CBA．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）；（2）直接写出点C的坐标为 　 　；（3）点P在x轴上，求PA+PC的最小值．【答案】（1）见解析；（2）（4，2）；（3）PA+PC的最小值是5【分析】（1）作线段AB的垂直平分线交直线l于点C即为所求；（2）由线段垂直平分线的定义得点D是线段AB的中点，则D（0，2），CD∥x轴，将y＝2代入y＝x得x＝4，即可得点C的坐标；（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则，要使最小，即最小，故当、，三点共线时，最小，最小值为，由此求解即可．【详解】解：（1）作线段AB的垂直平分线交直线l于点C即为所求，∵CD是线段AB的垂直平分线，∴CA＝CB，∴∠CAB＝∠CBA；（2）∵CD是线段AB的垂直平分线，∴点D是线段AB的中点，CD∥x轴，∵A（0，1）、B（0，3）．∴D（0，2），将y＝2代入y＝x得x＝4，∴点C的坐标为（4，2），故答案为：（4，2）；（3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，∴，∴要使最小，即最小，∴当、，三点共线时，最小，最小值为，∵A（0，1），∴（0，﹣1），∵C（4，2），∴，∴PA+PC的最小值是5．10．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1(1，2)，点P1(3，5)，因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．(1)已知点A(﹣)，B为y轴上的一个动点①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标；②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值；(2)如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标．【答案】(1)①(0,2))或(0,−2)；②(2)，【分析】(1)①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为(0,y)，由“非常距离”的定义可以确定|0−y|=2，据此可以求得y的值；②设点B的坐标为(0,y)，，据此即可求得点A与点B的“非常距离”最小值；(2)设点C的坐标为，根据材料：若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|知，C、D两点的“非常距离”的最小值为−x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标．【详解】(1)解：①∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为(0,y)，∵，∴|0−y|=2，解得y=2或y=−2；∴点B的坐标是(0,2))或(0,−2)；②点A与点B的“非常距离”的最小值为；(2)解：如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时，根据运算定义“若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|”知：|x1−x2|=|y1−y2|，即AC=AD，∵C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是(0,1)，∴设点C的坐标为，∴−x0=x0+2，此时，x0=−，∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=，此时．课程标准课标解读了解两个条件可确定一次函数；能根据所给信息（图像、表格、实际问题等）利用待定系数法确定经历正比例函数及一次函数表达式的探求过程，掌握用待定系数法求一次函数的表达式根据所给信息，利用待定系数法确定一次函数的表达式理解一次函数的概念，理解一次函数的图象与正比例函数的图象之间的关系；