2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺 专题02 全等三角形中动点问题（教师版）

2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）

专题02 全等三角形中动点问题

【典型例题】

1．（2020·重庆万州·初二期末）如图，已知AB＝12米，MA⊥AB于点A，MA＝6米，射线BD⊥AB于点B，点P从点B出发沿BA方向往点A运动，每秒走1米，点Q从点B出发沿BD方向运动，每秒走2米，若点P、Q同时从点B出发，出发t秒后，在线段MA上有一点C，使由点C、A、P组成的三角形与△PBQ全等，则t的值是_____．

【答案】4秒

2．（2020·山东中区·期末）如图，在△ABC中，D为AB的中点，AB=AC=10cm，BC=8cm．动点P从点B出发，沿BC方向以的速度向点C运动；同时动点Q从点C出发，沿CA方向以的速度向点A运动，运动时间是t s．

（1）在运动过程中，当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，求出的值；

（2）在运动过程中，当△BPD≌△CQP时，求出t的值；

（3）是否存在某一时刻t，使△BPD≌△CPQ？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】

解：（1）由题意得BP=CQ=3t，

则CP=8-3t，

当点C位于线段PQ的垂直平分线上时，CP=CQ，

∴8-3t=3t，

解得，，

则当时，点C位于线段PQ的垂直平分线上；

（2）∵D为AB的中点，AB=AC=10，

∴BD=5，

∵，

∴BD=CP，

∴8-3t=5，

解得，t=1，

则当时，t=1；

（3）不存在，∵，

∴BD=CQ,BP=CP，

则 3t=5,3t=8-3t,

解得，，，

∴不存在某一时刻t，使．

3．（2021·重庆巴南·月考）如图（1），AB＝4，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3．点 P 在线段 AB 上以 1的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点 Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．它们运动的时间为 （s）．

（1）若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，当＝1 时，△ACP 与△BPQ 是否全等，请说明理由， 并判断此时线段 PC 和线段 PQ 的位置关系；

（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点 Q 的运动速度为，是否存在实数x，使得△ACP 与△BPQ 全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由．

【答案】

(1)当t=1时，AP= BQ=1, BP= AC=3,

又∠A=∠B= 90°，

在△ACP和△BPQ中，

∴△ACP≌△BPQ(SAS).

∴∠ACP=∠BPQ ,

∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP = 90*.

∴∠CPQ= 90°，

即线段PC与线段PQ垂直；

(2)①若△ACP≌△BPQ，

则AC= BP，AP= BQ，

解得;

②若△ACP≌△BQP，

则AC= BQ，AP= BP，

解得：

综上所述,存在或使得△ACP与△BPQ全等.

【专题训练】

一、填空题

1．（2020·安徽庐江·月考）如图，两根旗杆间相距20米，某人从点B沿BA走向点A，一段时间后他到达点M，此时他分别仰望旗杆的顶点C和D，两次视线的夹角为90°，且CM＝DM．已知旗杆BD的高为12米，该人的运动速度为2米/秒，则这个人运动到点M所用时间是__________秒．

【答案】4

2．（2020·江苏东台·月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=12，AC=6，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过          秒时，△DEB与△BCA全等．

【答案】0，3，9，12．

3．（2020·江苏东台·月考）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC，BC，线段PQAB，点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以的速度运动，问P点运动___________  秒时t，才能使ABC≌QPA全等．

【答案】2或8

4．（2020·南京师范大学附属中学江宁分校月考）如图， AB  4cm ， AC  BD  3cm ． CAB  DBA ，点 P 在线段 AB 上以1cm / s 的速度由点 A 向点 B 运动，同时，点Q 在线段 BD 上由点 B 向点 D 运动．设运动时间为t(s) ， 则当点Q 的运动速度为_______cm / s 时， △ACP 与△BPQ 全等．

【答案】1或

5．（2020·江苏泰州·月考）如图，AB=12，CA⊥AB于A，DB⊥AB于B，且AC=4m，P点从B向A运动，每分钟走1m，Q点从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动_______分钟后△CAP与△PQB全等．

【答案】4

6．（2020·江苏秦淮·南京一中月考）如图,CA⊥BC,垂足为C,AC=2Cm,BC=6cm,射线BM⊥BQ,垂足为B,动点P从C点出发以1cm/s的速度沿射线CQ运动,点N为射线BM上一动点,满足PN=AB,随着P点运动而运动,当点P运动_______秒时，△BCA与点P、N、B为顶点的三角形全等.(2个全等三角形不重合)

【答案】0；4；8；12

7．（2020·重庆南开中学期末）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D，∠ACE=90°，且AC=5cm，CE=6cm，点P以2cm/s的速度沿向终点E运动，同时点Q以的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动.过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N设运动时间为t s，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为__________．

【答案】1或或

8．（2020·常州市同济中学月考）如图，ADC中．∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm．AD⊥AC，AB＝PQ，P、Q两点分别在AC、AD上运动，当AQ＝_____时，ABC才能和APQ全等．

【答案】5cm或10cm

9．（2020·四川成都实外）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等．

【答案】3或

10．（2020·四川青白江·初一期末）如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到E，使CE=2，连接DE，动点F从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC-CD-DA向终点A运动．设点F的运动时间为t秒．当t的值为________时，△ABF和△DCE全等．

【答案】1或7．

二、解答题

11．（2019·河南太康·期中）如图，已知在△ABC中，AB＝AC，BC＝12厘米，点D为AB上一点且BD＝8厘米，点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，设运动时间为t，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．

（1）用含t的式子表示PC的长为　   　；

（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝2时，三角形BPD与三角形CQP是否全等，请说明理由；

【答案】

解：（1）根据题意，则BP＝2t，

则PC＝BC﹣BP＝12﹣2t；

故答案为：（12﹣2t）cm．

（2）当t＝2时，BP＝CQ＝2×2＝4厘米，

∵BD＝8厘米．

又∵PC＝BC﹣BP，BC＝12厘米，

∴PC＝12﹣4＝8厘米，

∴PC＝BD，

又∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C，

在△BPD和△CQP中，，

∴△BPD≌△CQP（SAS）；

12．（2020·江苏兴化·月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：

（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；

（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；

（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．

【答案】

解：（1）由题意得t＋3t＝6＋8，

解得：t＝（秒），

当P、Q两点相遇时，t的值为秒；

（2）由题意可知AP＝t，       

则CP的长为；

（3）当P在AC上，Q在BC上时，

∵∠ACB＝90，   

∴∠PCE＋∠QCF＝90°，

∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．   

∴∠EPC＋∠PCE＝90°，∠PEC＝∠CFQ＝90°，

∴∠EPC＝∠QCF，

∴△PCE≌△CQF， 

∴PC＝CQ，

∴6﹣t＝8﹣3t，解得t＝1，

∴CQ＝8﹣3t＝5；

当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ＝PC，

由题意得，6﹣t＝3t﹣8，       

解得：t＝3.5，

∴CQ＝3t﹣8＝2.5，

当P在BC上，Q在AC上时，即A、Q重合时，则CQ＝AC＝6，

综上，当△PEC与△QFC全等时，满足条件的CQ的长为5或2.5或6．

13．（2019·上海市松江区九亭中学初一期中）如图（1）AB=8cm，，，AC=BD=6cm，点P在线段AB上以的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，它们的运动时间为t(s)．

（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，与是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；

（2）如图（2），将图（1）中的“，”改为“”，其他条件不变，设点Q的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的、值；若不存在，请说明理由．

【答案】

（1）当时，，，

又∠A=∠B=90°，

在与中

，

∴△ACP≌△BPQ(SAS)，

，

，

，

即；

（2）①若△ACP≌△BPQ，

则，，

，

解得；

②若△ACP≌△BQP，

则，，

，

解得，

综上所述，存在，使得与全等.

14．（2020·江苏工业园区·初一期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s （0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts （0≤t≤5）．

（1）当t＝2时，S△AQF＝3S△BQC，则a＝　   　；

（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；

（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．

【答案】

解：（1）由题意得：∠BAF＝∠ABC＝90°，BQ＝at＝2a，AF＝BC，

∵S△AQF＝3S△BQC，S△AQF＝AF×AQ，S△BQC＝BC×BQ，

∴AQ＝3BQ，

∴AB＝4BQ＝8，

∴BQ＝2＝2a，

∴a＝1；

故答案为：1；

（2）∵以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等，CQ是公共边，

∴点P与B为对应顶点，PQ＝BQ＝at，PC＝BC＝6，∠CPQ＝∠ABC＝90°，

∴AP＝AC﹣PC＝10﹣6＝4，PQ⊥AC，

∵AP＝2t＝4，

∴t＝2，

∴PQ＝BQ＝2a，

∵△ABC的面积＝△ACQ的面积+△BCQ的面积，

∴×8×6＝×10×2a+×2a×6，

解得：a＝；

（3）由题意得：∠A＝∠E，

∴∠A与∠E为对应角，分两种情况：

①AP与EQ为对应边，AQ与EF为对应边，则AP＝EQ，AQ＝EF＝10，

∵EQ＝at，

∴at＝2t，

∴a＝2，

∴EQ＝2t，

∵BE＝3t，

∴BQ＝BE﹣EQ＝t，

∴AQ＝AB+BQ＝8+t＝10，

解得：t＝2；

②AP与EF为对应边，AQ与EQ为对应边，则AP＝EF＝10，AQ＝EQ，

∴2t＝10，

∴t＝5，

∴AQ＝EQ＝5a，

∵BE＝3t＝15，

∴BQ＝15﹣5a，或BQ＝5a﹣15，

当BQ＝15﹣5a时，AQ＝15﹣5a+8＝23﹣5a，或AQ＝8﹣（15﹣5a）＝5a﹣7，

∴5a＝23﹣5a，或5a＝5a﹣7（无意义），

解得：a＝2.3；

当BQ＝5a﹣15时，AQ＝5a﹣15+8＝5a﹣7，

或AQ＝8﹣（5a﹣15）＝7﹣5a，

∴5a＝5a﹣7（无意义），或5a＝7﹣5a，

解得：a＝0.7，不合题意，舍去；

综上所述，a＝2时，t＝2；或a＝2.3时，t＝5．