2020-2021学年 苏科版八年级数学上册期末冲刺 专题04 共点等腰三角形问题（教师版）

2020-2021学年八年级数学上册期末综合复习专题提优训练（苏科版）
专题04 共点等腰三角形问题
【典型例题】
1．（2020·江苏江都·月考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE（正三角形也叫等边三角形，它的三条边都相等，三个内角都等于60°），AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ．试说明：
（1）AD=BE；
（2）填空∠AOE= °；
（3）CP=CQ；

【答案】
（1）∵△ABC和△CDE为等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠BCA=∠DCE=60°，
∴∠ACD=∠BCE，
在△ACD与△BCE中，
，
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE；
（2）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠APC=∠BPO，
∴∠BOP=∠ACP=60°，
∴∠AOE=18060°=120°，
故答案为：120；
（3）∵△ACD≌△BCE，
∴∠CAD=∠CBE，
∵∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠BCQ=60°，
在△CQB和△CPA中，
，
∴△CQB≌△CPA（ASA），
∴CP=CQ．

【专题训练】
一、 选择题
1．（2020·南京师范大学附属中学江宁分校月考）如图，△ABD与△ACE均为正三角形，且AB＜AC，则BE与CD之间的大小关系是（　　）、

A．BE=CD B．BE＞CD C．BE＜CD D．大小关系不确定
【答案】A
2．（2020·江苏省兴化市乐吾实验学校月考）如图，∠AOB=60°，OA=OB，动点C从点O出发，沿射线OB方向移动，以AC为边在右侧作等边△ACD，连接BD，则BD所在直线与OA所在直线的位置关系是（　　）

A．平行 B．相交 C．垂直 D．平行、相交或垂直
【答案】A
3．（2020·陕西定边·期末）如图，与是一对全等的等边三角形，且，下列四个结论：①；②；③；④四边形是轴对称图形．其中正确的是（ ）

A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
【答案】D
4．（2020·西工大附中分校初一月考）如图，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一条直线上，CM平分∠DCE，连接BE．以下结论：①AD＝CE；②CM⊥AE；③AE＝BE+2CM；④CM∥BE，正确的有（　　）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
5．（2019·黑龙江甘南·初二期末）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC、BC为边，在Rt△ABC外作两个等边三角形△ACE和△BCF，连接BE、AF分别交AC、BC边于H、D两点．下列结论：①AF＝BE；②∠AFC＝∠EBC；③∠FAE＝90°；④BD＝FD，其中正确结论的个数是（　　）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】C


二、 填空题
6．（2020·浙江温州·月考）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．
恒成立的结论有 ．（把你认为正确的序号都填上）

【答案】①②③⑤
7．（2020·黑龙江甘南·初二期末）如图，等边△A1C1C2的周长为1，作C1D1⊥A1C2于D1，在C1C2的延长线上取点C3，使D1C3＝D1C1，连接D1C3，以C2C3为边作等边△A2C2C3；作C2D2⊥A2C3于D2，在C2C3的延长线上取点C4，使D2C4＝D2C2，连接D2C4，以C3C4为边作等边△A3C3C4；…且点A1，A2，A3，…都在直线C1C2同侧，如此下去，可得到△A1C1C2，△A2C2C3，△A3C3C4，…，△AnCnCn＋1，则△AnCnCn＋1的周长为_______(n≥1，且n为整数)．

【答案】


三、 解答题
8．（2020·辽宁昌图·期末）如图，△ABC,△BDE均为等腰直角三角形，连接AE，CD，AE与CD相等吗？说明理由

【答案】
解：AE=CD，
理由如下：和均为等腰直角三角形，
，，，
，
在和中，
，
，
∴AE=CD．

9．（2020·江苏东台·月考）在△ABC中，AB=AC，点D是直线BC上一点(不与B、C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE
（1）如图1，当点D在线段BC上，且∠BAC=90°．
①说明：；
②线段CE、CD、BC的数量关系为______．
（2）如图2，当点D在直线BC上，设∠BAC=α，∠BCE=β．则α，β之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．

【答案】
（1）①∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAD+∠DAC=∠EAC+∠DAC
∴∠BAD=∠EAC
∵AB=AC，AD=AE
∴
②由（1）①结论得：BD=CE
∵点D在线段BC上
∴BD+CD=BC
∴CE+CD=BC；
（2）∵AB=AC，∠BAC=α
∴
∵
∴
∴
∵
∵∠BCE=β
∴
即．

10．（2019·南通市通州区平潮初级中学期中）△ABC是等边三角形，AD是高，△ADE是等边三角形，连接BE、ED．

（1）判断△EBD形状并证明．
（2）若△ABC的周长是6，求BE的长．
【答案】
解：（1）∵△ABC是等边三角形，AD是BC边上的高，
∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=30°，BD=CD，
又∵△ADE为等边三角形，
∴∠DAE=60°，AD=AE，
则∠EAB=∠DAE-∠BAD=30°，
在△BAE和△BAD中，
，
∴△BAE≌△BAD（SAS），
∴BE=BD，
则△BDE是等腰三角形；
（2）∵△ABC是等边三角形，且边长为6，
∴BC=2，
∴BD=DC=1，
∵△BAE≌△BAD，
∴BE=BD=1．


11．（2020·山东垦利·期末）如图，△ABC和△ADE都是等边三角形，点B在ED的延长线上.
（1）求证：△ABD≌△ACE；
（2）若AE＝2，CE＝3，求BE的长；
（3）求∠BEC的度数

【答案】
（1）证明∵△ABC 和△ADE 都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC，即∠BAD＝∠CAE，
在△ABD和△ACE中，，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；

（2）解：∵△ABD≌△ACE，
∴BD＝CE，
∵△ADE 是等边三角形，
∴DE＝AE，
∵DE+BD＝BE，
∴AE+CE＝BE，
∴BE＝2+3＝5；
（3）解：∵△ADE 是等边三角形，
∴∠ADE＝∠AED＝60°，
∴∠ADB＝180°﹣∠ADE＝180°﹣60°＝120°，
∵△ABD≌△ACE，
∴∠AEC＝∠ADB＝120°，
∴∠BEC＝∠AEC﹣∠AED＝120°﹣60°＝60°．

12．（2020·江苏泰州·月考）在△ABC中,AB=AC,点D是直线BC上一点(不与B． C重合)，以AD为一边在AD的右侧作△ADE，使AD=AE，∠DAE=∠BAC，连接CE．

(1)如图1,当点D在线段BC上,如果∠BAC=90∘，则∠BCE= 度；
(2)如图2，
①说明：△ABD≌△ACE．
②说明：CE+DC=BC．
③设∠BAC=α，∠BCE=β．当点D在直线BC上移动，则α，β之间有怎样的数量关系?请直接写出你的结论．
【答案】
解：（1）90°．
理由：∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°；
故答案为：90．
（2）①∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS）；
②∵∠BAC=∠DAE，
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC．即∠BAD=∠CAE．
在△ABD与△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠B=∠ACE．
∴∠B+∠ACB=∠ACE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°，
∴α+β=180°；
③相等或互补,理由：
（1）当点D在射线BC的反向延长线上时，α=β．
∵∠DAE=∠BAC，
∴∠DAB=∠EAC，
在△ADB和△AEC中，
，
∴△ADB≌△AEC（SAS），
∴∠ABD=∠ACE，
∵∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠BCE+∠ACB，
∴∠BCE=∠B+∠ACB，
又∵∠BAC=90°
∴∠BCE=90°，
∴α+β=180°．
（2）当点D在线段BC和BC延长线上时，是α+β=180°，
在BC的反向延长线上时，是α=β，
综上所述，α+β=180°或α=β．

13．（2020·湖南鹤城·期末）（1）问题发现：
如图①，△ABC与△ADE是等边三角形，且点B，D，E在同一直线上，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段BD与CE的数量关系．
（2）拓展探究：
如图②，△ABC与△ADE都是等腰直角三角形，，且点B，D，E在同一直线上，AF⊥BE于点F，连接CE，求∠BEC的度数，并确定线段AF，BF，CE之间的数量关系．

【答案】
解：（1）因为△ABC和△ADE均为等边三角形，
所以，，，，
所以，
即．
在和中，，
所以≌，
所以，．
因为点，，在同一直线上，
所以，
所以，
所以．
综上可得，的度数为，线段与之间的数量关系是．
（2）因为和均为等腰直角三角形，
所以，，，，
所以，
即．
在和中，
，
所以≌，
所以，．
因为点，，在同一直线上，
所以，
所以，
所以．
因为，，，
易证，所以．

14．（2020·云南文山·期末）如图1，已知点B,C,D在同一直线上，△ABC和△CDE都是等边三角形，BE交AC于点F，AD交CE于点H.

（1）求出∠ACE的度数；
（2）请在图1中找出一对全等的三角形，并说明全等的理由；
（3）若将△CDE绕点C转动如图2所示的位置，其余条件不变，（2）中的结论是否还成立，试说明理由.
【答案】
（1）因为△ABC和△CDE都是等边三角形，
所以，
所以

；
（2），
理由：由（1）得，
所以，
即．
因为和都是等边三角形，
所以，
在与中
，
所以；
（3）成立，
理由：因为和都是等边三角形，
所以，
所以，
即，
在与中
，
所以．

15．（2020·四川郫都·期末）探究等边三角形“手拉手”问题．
（1）如图1，已如△ABC，△ADE均为等边三角形，点D在线段BC上，且不与点B、点C重合，连接CE，试判断CE与BA的位置关系，并说明理由；
（2）如图2，已知△ABC、△ADE均为等边三角形，连接CE、BD，若∠DEC＝60°，试说明点B，点D，点E在同一直线上；
（3）如图3，已知点E在ABC外，并且与点B位于线段AC的异侧，连接BE、CE．若∠BEC＝60°，猜测线段BE、AE、CE三者之间的数量关系，并说明理由．

【答案】
（1）解：结论：CE∥AB．
理由：如图1中，
∵△ABC，△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝∠B＝60°，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴∠B＝∠ACE＝60°，
∴∠BAC＝∠ACE＝60°，
∴AB∥CE．
（2）证明：如图2中，

由（1）可知，△ABD≌△ACE，
∴∠ADB＝∠AEC，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠AED＝∠ADE＝60°，
∵∠BEC＝60°，
∴∠AEC＝∠AED+∠BEC＝120°，
∴∠ADB＝∠AEC＝120°，
∴∠ADB+∠ADE＝120°+60°＝180°，
∴B，D，E共线．
（3）解：结论：BE＝AE+EC．

理由：在线段BE上取一点H，使得BH＝CE，设AC交BE于点O．
∵△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC，∠BAC＝60°，
∵∠BEC＝60°，
∴∠BAO＝∠OEC＝60°，
∵∠AOB＝∠EOC，
∴∠ABH＝∠ACE，
∵BA＝CA，BH＝CE，
∴△ABH≌△ACE（SAS），
∴∠BAH＝∠CAE，AH＝AE，
∴∠HAE＝∠BAC＝60°，
∴△AEH是等边三角形，
∴AE＝EH，
∴BE＝BH+EH＝EC+AE，
即BE＝AE+EC．

16．（2019·广西玉林·）如图，直角坐标系中，点A的坐标为（3，0），以线段OA为边在第四象限内作等边△AOB，点C为轴正半轴上一动点（OC＞3），连结BC，以线段BC为边在第四象限内作等边△CBD，直线DA交轴于点E．
(1)证明∠ACB=∠ADB；
(2)若以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形，求此时C点的坐标；
(3)随着点C位置的变化，的值是否会发生变化?若没有变化，求出这个值；若有变化，说明理由．

【答案】
解：（1）∵△AOB和△CBD是等边三角形
∴OB=AB，BC=BD，∠OBA=∠CBD=，
∴∠OBA+∠ABC=∠CBD+∠ABC，
即∠OBC=∠ABD
∴在△OBC与△ABD中，
OB=AB，∠OBC=∠ABD，BC=BD
∴△OBC≌△ABD(SAS)
∴∠OCB=∠ADB
即∠ACB=∠ADB
（2）∵△OBC≌△ABD
∴∠BOC=∠BAD=
又∵∠OAB=
∴∠OAE==，
∴∠EAC=，∠OEA=，
∴在以A，E，C为顶点的等腰三角形中AE和AC是腰．
∵ 在Rt△AOE中，OA=3，∠OEA=
∴AE=6
∴AC=AE=6
∴OC=3+6=9
∴以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形时，C点的坐标为（9，0）
（3）的值不变．
理由： 由（2）得
∠OAE=-∠OAB-∠BAD=
∴∠OEA=
∴ 在Rt△AOE中，EA=2OA
∴=．

17．（2020·四川彭州·期末）（1）如图1，△ABC和△DCE都是等边三角形，且B，C，D三点在一条直线上，连接AD，BE相交于点P，求证：BE=AD．
（2）如图2，在△BCD中，若，分别以BC，CD和BD为边在△BCD外部作等边△ABC，等边△CDE，等边△BDF，连接AD、BE、CF恰交于点P．
①求证：AD=BE=CF；
②如图2，在（2）的条件下，试猜想PB，PC，PD与BE存在怎样的数量关系，并说明理由．

【答案】
（1）证明：∵和都是等边三角形，
∴BC=AC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ABC+∠ACE=∠DCE+∠ACE，
即∠BCE=∠ACD，
∴（SAS），
∴BE=AD；
（2）①证明：∵和是等边三角形，
∴AC=BC，CD=CE，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，
即∠ACD=∠BCE，
∴（SAS），
∴AD=BE，
同理：（SAS），
∴AD=CF，
即AD=BE=CF；
②解：结论：PB+PC+PD=BE，
理由：如图2，AD与BC的交点记作点Q，则∠AQC=∠BQP，
由①知，，
∴∠CAD=∠CBE，
在中，∠CAD+∠AQC=180°-∠ACB=120°，
∴∠CBE+∠BQP=120°，
在中，∠APB=180°-（∠CBE+∠BQP）=60°，
∴∠DPE=60°，
同理：∠APC=60°，
∠CPD=120°，
在PE上取一点M，使PM=PC，
∴是等边三角形，
∴，∠PCM=∠CMP=60°，
∴∠CME=120°=∠CPD，
∵是等边三角形，
∴CD=CE，∠DCE=60°=∠PCM，
∴∠PCD=∠MCE，
∴（SAS），
∴PD=ME，
∴BE=PB+PM+ME=PB+PC+PD．


18．（2020·湖南湘潭电机子弟中学初二月考）如图1，已知点B(0，6)，点C为x轴上一动点，连接BC，△ODC和△EBC都是等边三角形．
　　
　　图1　　　　　　　　　　图2　　　　　　　 　　　图3
(1)求证：DE＝BO；
(2)如图2，当点D恰好落在BC上时．
①求OC的长及点E的坐标；
②在x轴上是否存在点P，使△PEC为等腰三角形？若存在，写出点P的坐标；若不存在，说明理由；
③如图3，点M是线段BC上的动点(点B，C除外)，过点M作MG⊥BE于点G，MH⊥CE于点H，当点M运动时，MH＋MG的值是否发生变化？若不会变化，直接写出MH＋MG的值；若会变化，简要说明理由．
【答案】
解：(1)证明：∵△ODC和△EBC都是等边三角形，
∴OC＝DC，BC＝CE，∠OCD＝∠BCE＝60°.
∴∠BCE＋∠BCD＝∠OCD＋∠BCD，
即∠ECD＝∠BCO.
∴△DEC≌△OBC(SAS)．
∴DE＝BO.
(2)①∵△ODC是等边三角形，
∴∠OCB＝60°.
∵∠BOC＝90°，
∴∠OBC＝30°.
设OC＝x，则BC＝2x，
∴x2＋62＝(2x)2.解得x＝2.
∴OC＝2，BC＝4.
∵△EBC是等边三角形，
∴BE＝BC＝4.
又∵∠OBE＝∠OBC＋∠CBE＝90°，
∴E(4，6)．
②若点P在C点左侧，则CP＝4，OP＝4－2＝2，点P的坐标为(－2，0)；
若点P在C点右侧，则OP＝2＋4＝6，点P的坐标为(6，0)．
③不会变化，MH＋MG＝6