2020-2021学年度初一数学线段上的动点问题专题复习

2020-2021学年度初一数学线段上的动点问题专题复习
学校:___________姓名：___________班级：___________

1．（2020·长沙市雅礼实验中学七年级月考）已知：如下图，点是线段上一定点，，、两点分别从、出发以、的速度沿直线向左同时运动，运动方向如箭头所示（在线段上，在线段上）

（1）若，当点、运动了，此时___________，____________；（直接填空）
（2）若点、运动时，总有，求的值．
（3）在（2）的条件下，是直线上一点，且，求的值．




















2．（2020·浙江杭州市·翠苑中学七年级期中）已知：在一条东西向的双轨铁路上迎面驶来一快一慢两列火车，快车长（单位长度），慢车长（单位长度），设正在行驶途中的某一时刻，如图，以两车之间的某点为原点，取向右方向为正方向画数轴，此时快车在数轴上表示的数是，慢车头在数轴上表示的数是，且与互为相反数．
温馨提示：忽略两辆火车的车身及双铁轨的宽度．


（1）求此时刻快车头与慢车头之间相距的单位长度？
（2）从此时刻开始，若快车以6个单位长度/秒的速度向右匀速继续行驶，同时慢车以2个单位长度/秒的速度向左匀速继续行驶，再行驶多少秒两列火车的车头、相距8个单位长度？
（3）在（2）中快车、慢车速度不变的情况下，此时在快车上有一位爱动脑筋的七年级学生乘客，他发现行驶中有一段时间秒钟内，他的位置到两列火车头、的距离和加上到两列火车尾、的距离和是一个不变的值（即为定值），请求出的值及这个定值．















3．（2015·浙江杭州市·七年级单元测试）已知线段AB=12，CD=6，线段CD在直线AB上运动(C、A在B左侧，C在D左侧)．
(1)M、N分别是线段AC、BD的中点，若BC=4，求MN；
(2)当CD运动到D点与B点重合时，P是线段AB延长线上一点，下列两个结论：①是定值；
②是定值，请作出正确的选择，并求出其定值．

























4．（2019·广东深圳市·七年级期末）如图，已知不在同一条直线上的三点、、，其中，且．
（1）按下列要求作图（用尺规作图，保留作图痕迹）

①作射线；
②在线段上截取；
③在线段上截取．
恭喜您！通过刚才的动手操作画图，你作出了闻名世界的“黄金分割点”．像这样点就称为线段的“黄金分割点”．
（2）阅读下面材料，并完成相关问题；
黄金分割点是指把一条线段分割为两部分，使其中一部分的长约是全长的0．618倍，则称这个点为黄金分割点．如图，为线段上一点，如果，那么点为线段的黄金分割点．

已知某舞台的宽为30米，一次演出时两位主持人分别站在舞台上的两个黄金分割点和处，如图，则这两位主持人之间的距离约为_________米．



5．（2020·苏州高新区实验初级中学七年级期末）已知：如图1，M是定长线段AB上一定点，C、D两点分别从M、B出发以1cm/s、3cm/s的速度沿直线BA向左运动，运动方向如箭头所示(C在线段AM上，D在线段BM上)
(1)若AB=10cm，当点C、D运动了2s，求AC+MD的值．
(2)若点C、D运动时，总有MD=3AC，直接填空：AM=　 　AB．
(3)在(2)的条件下，N是直线AB上一点，且AN-BN=MN，求的值．



6．（2019·泰州市海陵学校）如图，在射线OM上有三点A，B，C，满足OA＝20cm，AB＝60cm，BC＝10cm，点P从点O出发，沿OM方向以1cm/s的速度运动，点Q从点C出发在线段CO上向点O匀速运动（点Q运动到点O时停止运动），两点同时出发．
（1）当PA＝2PB（P在线段AB上）时，点Q运动到的位置恰好是线段AB的中点，求点Q的运动速度；
（2）若点Q的运动速度为3cm/s，经过多长时间P，Q两点相距70cm？
（3）当点P运动到线段AB上时，分别取OP和AB的中点E，F，求．



7．（2020·广东广州市·七年级期末）如图，已知线段AB，按下列要求完成画图和计算：
（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；
（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，求线段AD的长度；
（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？若存在，求出时间t：若不存在，请说明理由．



8．（2020·沙坪坝区·重庆八中七年级期末）尺规作图是指用无刻度的直尺和圆规作图。尺规作图是起源于古希腊的数学课题.只使用圆规和直尺，并且只准许使用有限次，来解决不同的平面几何作图题.初中阶段同学们首次接触的尺规作图是“作一条线段等于已知线段”.

图1

图2

备用图
（1）如图1，在线段外有一点，现在利用尺规作图验证“两点之间线段最短”，.请根据提示，用尺规完成作图，并补充验证步骤.
第一步，以为圆心，为半径作弧，交线段于点，则_____________；
第二步，以为圆心，为半径作弧，交线段于点，则_____________；
则____________________________________________
故：.
（2）如图2，在直线上，从左往右依次有四个点，，，，且，.现以为圆心，半径长为作圆，与直线两个交点中右侧交点记为点.再以为圆心；相同半径长作圆，与直线两个交点中左侧交点记为点.若，，三点中，有一点分另外两点所连线段之比为，求半径的长.


9．（2020·湖北武汉市·七年级期末）已知式子是关于的二次多项式，且二次项的系数为，在数轴上有点、、三个点，且点、、三点所表示的数分别为、、，如下图所示已知．
（1）=_______；=_______；=________．

（2）若动点、分别从、两点同时出发，向右运动，且点不超过点．在运动过程中，点为线段的中点，点为线段的中点，若动点的速度为每秒2个单位长度，动点的速度为每秒3个单位长度，求的值．
（3）点、分别自、同时出发，都以每秒2个单位长度向左运动，动点自点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向右运动，设运动时间为（秒），时，数轴上的有一点与点的距离始终为2，且点在点的左侧，点为线段上一点（点不与点、重合），在运动的过程中，若满足（点不与点重合），求出此时线段的长度．



10．（2020·深圳市福田区石厦学校七年级期中）是线段上任一点，，两点分别从同时向点运动，且点的运动速度为，点的运动速度为，运动的时间为.
（1）若，
①运动后，求的长；
②当在线段上运动时，试说明；
（2）如果时，，试探索的值.

参考答案
1．（1）2cm，4cm；（2）4cm；（3）或1
【分析】
（1）根据运动速度和时间分别求得CM、BD的长，根据线段的和差计算可得；
（2）根据C、D的运动速度知BD=2MC，再由已知MD=2AC求得MB=2AM，所以AM=AB；
（3）分点N在线段AB上时和点N在线段AB的延长线上时分别求解可得．
【详解】
解：（1）根据题意知，，，
∵，，
∴，
∴，，
故答案为：，；
（2）根据、的运动速度知：，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴cm；
（3）①当点在线段上时，如图，

∵，
又∵，
∴，
∴，
∴；
②当点在线段的延长线上时，如图，

∵，
又∵，
∴，
∴；
综上所述或1．
【点睛】
本题考查了两点间的距离，灵活运用线段的和、差、倍、分转化线段之间的数量关系是十分关键的一点．
2．（1）24；（2）2s或4s；（3），定值为6
【分析】
（1）首先利用绝对值和平方的非负性求出a，c的值，然后利用两点间的距离求解即可；
（2）根据时间=路程和÷速度和，分两种情况列式计算即可；
（3）由于，只需要是定值，从快车AB上乘客P与慢车CD相遇到完全离开都满足是定值，据此即可求解．
【详解】
（1）∵与互为相反数，
，
，
解得，
∴此时刻快车头与慢车头之间相距的单位长度为；
（2）①

；
②

，
∴2s或4s两列火车的车头、相距8个单位长度；
（3），
当P在CD之间时，是定值4，
，
此时，
∴这个时间是0.5s，定值是6个单位长度．
【点睛】
本题主要考查了两点间的距离，数轴，绝对值和平方的非负性，熟练掌握行程问题之间的等量关系：时间=路程÷速度是解题的关键．
3．（1）MN=9；（2）①是定值2．
【分析】
（1）如图，根据“M、N分别为线段AC、BD的中点”，可先计算出CM、BN的长度，然后根据MN＝MC+BC+BN利用线段间的和差关系计算即可；
（2）根据题意可得：当CD运动到D点与B点重合时，C为线段AB的中点，根据线段中点的定义可得AC=BC，此时①式可变形为，进而可得结论．
【详解】
解：（1）如图，∵M、N分别为线段AC、BD的中点，
∴CM=AC=（AB﹣BC）=（12﹣4）=4，
BN=BD=（CD﹣BC）=（6﹣4）=1，
∴MN＝MC+BC+BN＝4+4+1＝9；

（2）①正确，且=2．
如图，当CD运动到D点与B点重合时，
∵AB=12，CD=6，
∴C为线段AB的中点，∴AC=BC，
∴，
而，不是定值．
∴①是定值2．

【点睛】
本题考查了线段中点的定义和线段的和差计算等知识，正确画出图形、熟练掌握线段中点的定义是解题的关键．
4．（1）见解析；（2）7.08
【分析】
（1）根据基本尺规作图的一般步骤作出点E；
（2）根据黄金分割的概念计算，得到答案．
【详解】
解：（1）如图1，点E就称为线段AB的“黄金分割点”；

（2）∵点Q是MN的黄金分割点，
∴MQ≈0.618MN＝18.54，
∴QN＝MN﹣MQ＝11.46，
∵点P是MN的黄金分割点，
∴NP≈0.618MN＝18.54，
∴PQ＝NP﹣QN＝18.54﹣11.46＝7.08（米），
故答案为：7.08．
【点睛】
本题考查的是黄金分割的概念、黄金分割点的作法，掌握勾股定理、黄金分割的概念是解题的关键．
5．(1) 2cm；(2)；(3)或1
【分析】
（1）先求出CM、BD的长，再根据线段的和差即可得；
（2）先求出BD与CM的关系，再根据线段的和差即可得；
（3）分点N在线段AB上和点N在线段AB的延长线上两种情况，再分别根据线段的和差倍分即可得．
【详解】
（1）当点C、D运动了2s时，
∵
∴；
（2）由运动速度可知，



故；
（3）如图，当点N在线段AB上时

∵，


即
如图，当点N在线段AB的延长线上时

∵，
∴
即
综上，的值为或1．
【点睛】
本题考查了线段的和差，较难的是题（3），依据题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
6．（1）点Q的运动速度为cm/s；（2）经过5秒或70秒两点相距70cm；（3）．
【分析】
（1）根据，求得，得到，求得，根据线段中点的定义得到，求得，由此即得到结论；
（2）分点P、Q相向而行和点P、Q直背而行两种情况，设运动时间为t秒，然后分别根据线段的和差、速度公式列出等式求解即可得；
（3）先画出图形，再根据线段的和差、线段的中点定义求出和EF的长，从而即可得出答案．
【详解】
（1）∵点P在线段AB上时，
∴
∴
∴
∵点Q是线段AB的中点
∴
∴
∴点Q的运动速度为；
（2）设运动时间为t秒
则
∵点Q运动到O点时停止运动
∴点Q最多运动时间为
依题意，分以下两种情况：
①当点P、Q相向而行时
，即
解得
②当点P、Q直背而行时
若，则

因此，点Q运动到点O停止运动后，点P继续运动，点P、Q相距正好等于，此时运动时间为
综上，经过5秒或70秒，P、Q两点相距；
（3）如图，设
点P在线段AB上，则，即

点E、F分别为OP和AB的中点



则．

【点睛】
本题考查了线段的和差、线段的中点定义等知识点，较难的是题（2），依题意，正确分两种情况讨论是解题关键．
7．（1）详见解析；（2）5；（3）时间t为2或．
【分析】
（1）延长线段AB到点C，使BC＝3AB即可；
（2）在（1）的条件下，如果点D为线段BC的中点，且AB＝2，即可求线段AD的长度；
（3）在以上的条件下，若点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．设点P的运动时间为t秒，是否存在某时刻t，使得PB＝PA﹣PC？即可求出时间t．
【详解】
解：（1）如图所示：延长线段AB到点C，使BC＝3AB；

（2）∵AB＝2，
∴BC＝3AB＝6，
∴AC＝AB+BC＝8，
∵点D为线段BC的中点，
∴BD＝BC＝3，
∴AD＝AB+BD＝5．
答：线段AD的长度为5；
（3）点P从A点出发，以每秒1个单位长度的速度向点C移动，到点C时停止．
设点P的运动时间为t秒，
则PB＝|t﹣2|，PA＝t，PC＝8﹣t，
PB＝PA﹣PC
即|t﹣2|＝t﹣（8﹣t）
解得t＝2或．
答：时间t为2或．
【点睛】
本题考查作图－基本作图、两点间的距离，掌握尺规作图的方法和各线段之间的比例关系是解题的关键．
8．（1）作图见解析；AM；BN；AM ； BN ；MN（2）6、10、、34.
【分析】
（1）根据尺规作图的步骤按步骤进行操作，根据线段的数量关系进行判断即可.
（2）根据题目中的线段间的关系，分类进行讨论，分别为当P点在Q、F之间时，当Q点在P、F之间时，当F点在P、Q之间时，分别根据线段间的数量关系求解即可.
【详解】
解：如图：

（1）第一步，以为圆心，为半径作弧，交线段于点，则AM；
第二步，以为圆心，为半径作弧，交线段于点，则BN；
则AMBNMN
故：.
（2）
当P点在QF之间，①PF=2QP时，
∵=4，
∴,
∵OP=r,
∴，
同理可得OQ=8-r
∴QP=
∵,
∴PF=8-r+6=14-r，
2（2r-8）=14-r,
解得：r=6.


②PQ=2PF
∵,
∴OF=14，
∵OP=r，
∴PF=14-r,
∵,
∴OQ=r-8






∴，
同理
∴QP=8+2×（8-r）=24-2r
∴24-2r=14-r
解得r=10.
当Q点在中间时，即QF=2PQ


∵=4，
∴,
∵,
∴PQ=8-2r，
QF=6+r
6+r=8-2r
∴r=.
当F点在Q、P之间，QF=2FP时

∵=4，
∴,
∵,
∴FP=r-OF=r-14，
QF=r+6，
∴r+6=2（r-14），
解得r=34
故答案是：6、10、、34.
【点睛】
本题考查了尺规作图，根据线段关系求线段的长度，解决本题的关键是正确理解题意，根据题意分类进行讨论探究.
9．（1）16，20，-8；（2）；（3）1或0.5
【分析】
（1）先根据多项式的定义、系数定义求出a、b的值，再根据数轴的定义及即可求出c的值；
（2）设运动时间为t秒，先求出CP、OQ的长，再根据线段的和差求出的长，然后根据线段的中点定义求出EF的长，从而即可得出答案；
（3）设点T所表示的数为x，先求出点所表示的数，再用含t，x的式子表示的长，代入即可求出PT的值．
【详解】
（1）由题意得：
则




故答案为：；；；
（2）由（1）知，
设运动时间为t秒
如图，由题意得：



点为线段的中点，点为线段的中点





故的值为2；

（3）设点T所表示的数为x
由题意得：点P所表示的数为
点Q所表示的数为
点M所表示的数为
点N所表示的数为






整理得：
或
解得：或
故此时线段的长度为1或．
【点睛】
本题考查了线段的中点定义、线段的和差、数轴的定义，较难的是题（3），依据题意，正确求出点所表示的数是解题关键．
10．（1）①3cm；②见解析；（2）或11cm.
【分析】
（1）①先求出PB、CP与DB的长度，然后利用CD=CP+PB-DP即可求出答案；②用t表示出AC、DP、CD的长度即可求证AC=2CD；
（2）t=2时，求出CP、DB的长度，由于没有说明点D再C点的左边还是右边，故需要分情况讨论.
【详解】
解：（1）①由题意可知：，
∵，∴，
∴；
②∵，∴，
∴，∴，
∴；
（2）当时，
，

当点在的右边时，如图所示：由于，∴，∴，
∴，
当点在的左边时，如图所示：∴，∴，
综上所述，或11cm.
【点睛】
本题考查的知识点是线段的简单计算以及线段中动点的有关计算.此题的难点在于根据题目画出各线段.