2020-2021学年度初一数学期末压轴题（动角问题）

2020-2021学年度初一数学期末压轴题（动角问题）
学校:___________姓名：___________班级：___________



一、解答题
1．（2019·四川攀枝花市·攀枝花第二初级中学七年级期中）如图1，射线OC，OD在∠AOB的内部，且∠AOB=150°，∠COD=30°，射线OM，ON分别平分∠AOD，∠BOC．

（1）若∠AOC=60°，试通过计算比较∠NOD和∠MOC的大小；
（2）如图2，若将图1中∠COD在∠AOB内部绕点O顺时针旋转．
①旋转过程中∠MON的大小始终不变．求∠MON的值；
②如图3，若旋转后OC恰好为∠MOA的角平分线，试探究∠NOD与∠MOC的数量关系．

2．（2020·山西大同市·七年级期末）综合与探究：
问题情境：如图，已知∠AOB＝90°，射线OC在∠AOB的外部且0°＜∠BOC＜180°．OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
特例探究：（1）如图1，
①当∠BOC＝40°时，∠MON的度数为 °；
②当∠BOC＜90°时，求∠MON的度数；
猜想拓广：（2）若∠AOB＝α（0＜α＜90°），
①当∠AOB＋∠BOC＜180°时，则∠MON的度数是　 　°；（用含α的代数式表示）
②当∠AOB＋∠BOC＞180°时，请在图2中画出图形，并直接写出∠MON的度数．（用含α的代数式表示）


3．（2020·衡水市第九中学七年级期中）如图，已知∠AOB=90，射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4的速度顺时针方向旋转；同时，射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1的速度逆时针方向旋转． 当OC与OA成180时，OC与OD同时停止旋转．


（1）当OC旋转10秒时，∠COD=___．
（2）当OC与OD的夹角是30时，求旋转的时间．
（3）当OB平分∠COD时，求旋转的时间．

4．（2019·山东潍坊市·七年级期中）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点按如图所示的方式叠放在一起．

(1)若，则的度数为 ；
(2)若，求的度数；
(3)猜想与之间存在什么数量关系，并说明理由；
(4)当且点在直线的上方时，这两块三角尺是否存在与平行的情况，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．

5．（2020·河南信阳市·七年级期末）将两个直角三角尺的顶点O叠放在一起

（1）如图（1）若∠BOD=35°，则∠AOC=___；若∠AOC=135°，则∠BOD=___；
（2）如图（2）若∠AOC=140°，则∠BOD=___；
（3）猜想∠AOC与∠BOD的大小关系，并结合图（1）说明理由．

6．（2019·西安市铁一中学七年级月考）如果两个角之差的绝对值等于60°，则称这两个角互为“互优角”，(本题中所有角都是指大于0°且小于180°的角)．
(1)若∠1和∠2互为“互优角”，当∠1=90°时，则∠2=_____°；
(2)如图1，将一长方形纸片沿着EP对折(点P在线段BC上，点E在线段AB上)使点B落在点若与互为“互优角”，求∠BPE的度数；
(3)再将纸片沿着PF对折(点F在线段CD或AD上)使点C落在C′：
①如图2，若点E、C′、P在同一直线上，且与互为“互优角”，求∠EPF的度数(对折时，线段落在∠EPF内部)；
②若∠B′PC′与∠EPF互为“互优角”，则∠BPE求∠CPF应满足什么样的数量关系(直接写出结果即可)．


7．（2019·福建泉州市·七年级期末）一副三角板，
（1）按如图①所示方式放置，点三点共线，，求的度数；

（2）在（1）的条件下，若分别是与内部的一条射线，且均以点为中心，分别从位置出发，以度/秒、度/秒的旋转速度沿逆时针方向旋转，当与重叠时，所有旋转均停止，试说明:当旋转秒后，
（3）若三角板 (不含角)是一块非标准三角板，按如图②所示方式放置，使，作射线，若，求与的度数之比．


8．（2020·湖南长沙市·师大附中梅溪湖中学七年级月考）如图，两条直线AB、CD相交于点O，且∠AOC=90°，射线OM从OB开始绕O点逆时针方向旋转，速度为15°/s，射线ON同时从OD开始绕O点顺时针方向旋转，速度为12°/s．两条射线OM、ON同时运动，运动时间为t秒．（本题出现的角均小于平角）
（1）当t=2时，∠MON的度数为 ，∠BON的度数为 ；∠MOC的度数为
（2）当0＜t＜12时，若∠AOM=3∠AON-60°，试求出t的值；
（3）当0＜t＜6时，探究的值，问：t满足怎样的条件是定值；满足怎样的条件不是定值？


9．（2019·江苏宿迁市·泗阳县实验初级中学七年级期末）已知射线在的内部，射线平分，射线平分．

（1）如图1，若，则__________度；
（2）若，
①如图2，若射线在的内部绕点旋转，求的度数；
②若射线在的外部绕点旋转（旋转中、均是指小于180°的角），其余条件不变，请借助图3探究的大小，直接写出的度数．

10．（2019·黑龙江鹤岗市·七年级期末）如图，，将直角三角板的60°角的顶点在点处，，均在的内部．
（1）如图①，若，求的度数；
（2）如图②，若平分，试找出图中与相等的角，并说明理由．
（3）如图③，在的内部，当平分时，请探究是否一定平分，并说明理由．


参考答案
1．（1）；（2）①；②．
【分析】
（1）先根据角的和差求出和的度数，再角平分线的定义可得和的度数，然后根据角的和差即可得；
（2）①先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，然后根据角的和差即可得；
②设，先根据角平分线的定义可得，再根据建立方程可求出，从而可得，然后根据角的和差、角平分线的定义可得，从而可得，由此即可得．
【详解】
（1），
，
射线OM，ON分别平分，，
，
，
；
（2）①，
，
射线OM，ON分别平分，，
，
，
，
，
，
；
②设，
是的角平分线，
，
射线OM平分，
，
，
，
解得，
，
，
射线ON平分，
，
，
．
【点睛】
本题考查了角平分线的定义、角的和差等知识点，熟练掌握角平分线的定义是解题关键．
2．（1）①45；②45°；（2）① ②画图见解析；．
【分析】
（1）①利用角平分线的定义分别求解 从而可得答案；②利用角平分线的定义分别表示再利用即可得到答案；
（2）①利用角平分线的定义与角的和差证明∠MON＝∠AOB，从而可得答案；②根据题意画出图形，利用角平分线的定义与角的和差证明∠MON＝，从而可得答案．
【详解】
解：（1）①

平分

平分


故答案为：45．

②如图1，
∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC－∠NOC
∴∠MON＝∠AOC∠BOC．
＝（∠AOC－∠BOC）
＝∠AOB＝×90°＝45°．
（2）①∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC﹣∠NOC
∴∠MON＝∠AOC∠BOC．
＝（∠AOC﹣∠BOC）
＝∠AOB
．
故答案为：
②当∠AOB＋∠BOC＞180°时补全图形如图2．




∵OM是∠AOC的角平分线，ON是∠BOC的角平分线．
∴∠MOC＝∠AOC，∠NOC＝∠BOC．
∵∠MON＝∠MOC＋∠NOC
∴∠MON＝∠AOC∠BOC．
＝（∠AOC＋∠BOC）
＝
．
所以∠MON的度数为
【点睛】
本题考查的角的和差，角平分线的性质，及有关角平分线的性质的综合题的探究，掌握基础与探究的方法是解题的关键．
3．（1）40°；（2）12秒或24秒；（3）30秒．
【分析】
（1）根据时间和速度分别得∠BOD和∠AOC的度数，由角的和与差可得结论；
（2）设转动t秒，OC与OD的夹角是30度，①如图1，列方程即可得到结论；②如图2，列方程即可得到结论；
（3）如图3，设转动m秒时，根据角平分线的定义列方程即可得到结论．
【详解】
解：（1）当OC旋转10秒时，
∵射线OC绕点O从OA位置开始，以每秒4°的速度顺时针方向旋转，
∴∠AOC＝4×10＝40°，
∵射线OD绕点O从OB位置开始，以每秒1°的速度逆时针方向旋转，
∴∠BOD＝1×10＝10°，
∴∠COD＝90°−40°−10°＝40°．
故答案为：40°；
（2）设转动t秒，OC与OD的夹角是30度，
①如图1，4t＋t＝90−30，

t＝12，
②如图2，4t＋t＝90＋30，

t＝24，
∴旋转的时间是12秒或24秒；
（3）如图3，设转动m秒时，OB平分∠COD，

则4m−90＝m，
解得，m＝30，
∴旋转的时间是30秒．
【点睛】
本题考查了角的有关计算和角平分线定义的应用，熟记角平分线的定义是解题的关键．
4．（1）；（2）；（3）∠ACB+∠DCE=180°，理由见解析；（4）存在，
【分析】
（1）根据∠DCE和∠ACD的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠BCE求得∠ACB的度数；
（2）根据∠BCE和∠ACB的度数，求得∠ACE的度数，再根据∠ACD求得∠DCE的度数；
（3）根据∠ACE=90°-∠DCE以及∠ACB=∠ACE+90°，进行计算即可得出结论；
（4）当∠ACE=30°时，CB∥AD时，根据平行线的判定即可解决问题．
【详解】
解：（1）∵∠DCE=45°，∠ACD=90°
∴∠ACE=45°

∵∠BCE=90°
∴∠ACB=90°+45°=135°
故答案为：135°；
（2）∵∠ACB=140°，∠ECB=90°
∴∠ACE=140°-90°=50°
∴∠DCE=90°-∠ACE=90°-50°=40°；
（3）猜想：∠ACB+∠DCE=180°
理由如下：∵∠ACE=90°-∠DCE
又∵∠ACB=∠ACE+90°
∴∠ACB=90°-∠DCE+90°=180°-∠DCE
即∠ACB+∠DCE=180°；
（4）30°；
理由：∵∠ACD=∠ECB=90°，
∴∠ACE=∠DCB=30°，
∴∠D=∠DCB=30°，
∴CB∥AD．
【点睛】
本题主要考查了平行线的性质，以及直角三角形的性质，解题时注意分类讨论思想的运用，分类时注意不能重复，也不能遗漏．
5．（1）145°，45°；（2）40°；（3）∠AOC与∠BOD互补，理由见解析
【分析】
（1）由于是两直角三角形板重叠，根据∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD可分别计算出∠AOC、∠BOD的度数；
（2）根据∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD计算可得；
（3）由∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°且∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC可知两角互补；
【详解】
解：（1）若∠BOD=35°，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠AOC=∠AOB+∠COD-∠BOD=90°+90°-35°=145°，
若∠AOC=135°，
则∠BOD=∠AOB+∠COD-∠AOC=90°+90°-135°=45°；
（2）如图2，若∠AOC=140°，
则∠BOD=360°-∠AOC-∠AOB-∠COD=40°；
（3）∠AOC与∠BOD互补，理由如下，
∵∠AOD+∠BOD+∠BOD+∠BOC=180°，
∵∠AOD+∠BOD+∠BOC=∠AOC，
∴∠AOC+∠BOD=180°，
即∠AOC与∠BOD互补．
【点睛】
本题主要考查了互补、互余的定义等知识，解决本题的关键是理解重叠的部分实质是两个角的重叠．
6．（1）30°或150；（2）40°或80°；（3）①∠EPF=80°，②∠EPF=40°．
【分析】
（1）按照“互优角的定义，求出∠2即可；
（2）根据∠EPB'+∠EPB'+∠EPB'+60°=180°解答即可；
（3）①由∠BPE+∠EPB'+∠B'PF+∠FPC=180°解答即可；
②∠B'PC'=∠FPC，∠EPB=∠EPF，∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°解答即可．
【详解】
解：（1）∵∠1和∠2互为“互优角
∴|∠1-∠2|=60°
∵∠1＝90°
∴90°-∠2=60°或90°-∠2=-60°
解得：∠2=30°或150°
故答案为：30°或150．
（2）∵∠EPB'与∠B'PC互为“互优角”
当∠EPB'<∠B'PC时，∠B'PC-∠EPB'=60°
∴∠B'PC=∠EPB'+60°
∵△BEP翻折得△B'EP
∴∠EPB=∠EPB'
∵∠EPB+∠EPB'+∠B'PC=180°
∴∠EPB'+∠EPB'+∠EPB'+60°=180
解得：∠EPB'=40°
当∠EPB'>∠B'PC时，∠B'PC-∠EPB'=60°，可得∠EPB'=80°
故∠EPB'的值为40°或80°；
（3）①由题意得：点E、C、P在同一直线上，
∵∠B'PC'与∠EPF互为“互优角
∴∠BPC<∠EPF，∠EPF-∠B'PC=60°=∠B'PF
∵∠BPE=∠B'PC=∠EPF-60°，∠FPC=∠EPF
∴∠BPE+∠EPB'+∠B'PF+∠FPC=180°
∴∠EPF-60°+∠EPF+∠EPF=180°，得∠EPF=80°；
②由题意得：点E、C、P在同一直线上，
∵∠B'PC'与∠EPF互为“互优角
∴∠B'P'C-∠EPF=60°，得∠B'P'C=60°+∠EPF
∵∠B'PC'=∠FPC，∠EPB=∠EPF，∠EPB+∠EPF+∠FPC=180°
∴2∠EPF+60°+∠EPF=180°，解得∠EPF=40°．
故∠EPF的度数为40°．

【点睛】
本题考查了新定义、折叠以及角的运算方面的知识，掌握折叠计算角的度数的方法是解答本题的关键．
7．（1）120°；（2）见解析；（3）1:2或1:1
【分析】
（1）利用角的计算法则将和相加即可求得结果；
（2）利用旋转速度和旋转时间将和的度数用含n、t的式子表示出来，再利用角的计算法则表示出和，即可得到；
（3）分两种情况：在内部和外部时，根据已知条件进行计算变形，即可求得结果．
【详解】
解：（1），，
；
（2）当旋转秒后，，
∵
，，
；
（3）当在内部时，如图②所示，
，
，
，
，
，
与的度数之比为；

当在外部时，如图③所示，
，
，
∴，即，
与的度数之比为

【点睛】
本题考查了角的计算：利用几何图形计算几个角的和或差．解题的关键是理解题意，表示出角度与角度之间的关系；分类讨论也是解题的关键．
8．（1）144°，114°，60°；（2）t的值为秒或10秒；（3）当0＜t＜时，的值不是定值；当＜t＜6时，的值是3．
【分析】
（1）根据时间和速度分别计算∠BOM和∠DON的度数，再根据角的和与差可得结论；
（2）分两种情况：①如图所示，当0＜t≤7.5时，②如图所示，当7.5＜t＜12时，分别根据已知条件列等式可得t的值；
（3）分两种情况，分别计算∠COM、∠BON和∠MON的度数，代入可得结论．
【详解】
（1）由题意得：∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=2×15°+90°+2×12°=144°，
∠BON=∠BOD+∠DON=90°+24°=114°，
∠MOC=∠BOC-∠BOM=90°-2×15°=60°，
故答案为：144°，114°，60°；
（2）当ON与OA重合时，t=90÷12=7.5（s）
当OM与OA重合时，t=180°÷15=12（s）
①如图所示，当0＜t≤7.5时，∠AON=90°-12t°，∠AOM=180°-15t°

由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（90-12t）-60，
解得t=，
 ②如图所示，当7.5＜t＜12时，∠AON=12t°-90°，∠AOM=180°-15t°，

由∠AOM=3∠AON-60°，可得180-15t=3（12t-90）-60，解得t=10，
综上，t的值为秒或10秒；
（3）当∠MON=180°时，∠BOM+∠BOD+∠DON=180°，
∴15t+90+12t=180，解得t=，
①如图所示，当0＜t＜时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，

∠MON=∠BOM+∠BOD+∠DON=15t°+90°+12t°，
∴（不是定值），
②如图所示，当＜t＜6时，∠COM=90°-15t°，∠BON=90°+12t°，

∠MON=360°-（∠BOM+∠BOD+∠DON）=360°-（15t°+90°+12t°）=270°-27t°，
∴=3（定值），
综上所述，当0＜t＜时，的值不是定值；当＜t＜6时，的值是3．
【点睛】
本题主要考查了角的和差关系的计算，解决问题的关键是将相关的角用含t的代数式表示出来，并根据题意列出方程进行求解，以及进行分类讨论，解题时注意方程思想和分类思想的灵活运用．
9．（1）60；（2）①∠EOF=α；②当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，∠EOF=α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-α．
【分析】
（1）先求出∠BOC度数，根据角平分线定义求出∠EOC和∠FOC的度数，求和即可得出答案；
（2）①根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB，代入求出即可；
②分两种情况：当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠FOC-∠COE=∠AOB；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，根据角平分线定义得出∠EOF=∠AOC，∠COF=∠BOC，求出∠EOF=∠EOC+∠COF=（360°-∠AOB），代入求出即可．
【详解】
解：（1）∵∠AOB=120°，∠AOC=32°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=88°，
∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC=16°，∠FOC=∠BOC=44°，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=16°+44°=60°．
故答案为：60；
（2）①∵OE，OF分别是∠AOC和∠COB的角平分线，
∴∠EOC=∠AOC，∠FOC=∠BOC，
∴∠EOF=∠EOC+∠FOC=∠AOB=α；
②分以下两种情况：
当射线OE，OF只有1条在∠AOB外部时，如图3①，

∠EOF=∠FOC-∠COE=∠BOC-∠AOC=（∠BOC-∠AOC）=∠AOB=α．
当射线OE，OF都在∠AOB外部时，如图3②，

∠EOF=∠EOC+∠COF=∠AOC+∠BOC=（∠AOC+∠BOC）=（360°-∠AOB）=180°-α．
综上所述，当射线OE，OF只有1条在∠AOB外面时，∠EOF=α；当射线OE，OF都在∠AOB外部时，∠EOF=180°-α．
【点睛】
本题考查的是角的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．注意分类思想的运用．
10．（1）∠BOE=45°；（2）；理由见解析；（3）一定平分；理由见解析．
【分析】
（1）利用∠AOB=∠BOE+∠EOD+∠AOD计算出∠BOD；
（2）通过计算，，找到与∠BOE相等的∠COD；
（3）通过利用已有的角平分线与角的和差证明，得到结论．
【详解】
解：（1）因为，
，，，
所以．
（2）．
理由：
因为平分，
所以．
因为，．
所以．
（3）一定平分．
理由：
因为平分，
所以．
因为，
所以．
所以一定平分．
【点睛】
本题考查了角的和差关系、角的计算，积角平分线的性质．会读图，通过计算或发现图形中角与角之间的关系是解决本题的关键．