专题4.1指数与指数函数-2020-2021学年高一数学尖子生同步培优题典（人教A版2019必修第一册）

      专题4.1.1  指数幂的运算

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2017·内蒙古集宁一中高一期中（文））的值（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】原式.故选：C.

2．（2020·大连市普兰店区第一中学高二期末）计算的结果为（　　）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为，故选：C

3．（2020·全国高一专题练习）若，则(　　)

A． B．1 C． D．

【答案】C

【解析】依题意，.故选：C.

4．若a>1，b>0，ab＋a－b＝2，则ab－a－b等于(　　)

A．4 B．2或－2

C．－2 D．2

【答案】D

【解析】设ab－a－b＝t.

∵a>1，b>0，∴ab>1，a－b<1.∴t＝ab－a－b>0.

则t2＝(ab－a－b)2＝(ab＋a－b)2－4＝(2)2－4＝4.∴t＝2.

5．设x，y是正数，且xy＝yx，y＝9x，则x的值为(　　)

A. B．

C．1 D．

【答案】B

【解析】∵xy＝yx，y＝9x，∴x9x＝(9x)x，∴(x9)x＝(9x)x，∴x9＝9x.∴x8＝9.∴x＝.

6．已知f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝x·2x＋a－1，若f(－1)＝，则a等于(　　)

A．－3 B．－2

C．－1 D．0

【答案】A

【解析】∵f(－1)＝，∴f(1)＝－f(－1)＝－，即21＋a－1＝－，即1＋a＝－2，得a＝－3.

7.（多选）（2019·广东禅城佛山一中高一月考）下列运算结果中，一定正确的是（　　）

A． B． C． D．

【答案】AD

【解析】，故A正确；当时，显然不成立，故B不正确；

，故C不正确；，D正确，故选AD.

8.(多选下列各式中一定成立的有（    ）

A． B．

C． D．

【答案】BD

【解析】，错误；，正确；

，错误；，正确

故选：

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9．（2020·上海高一开学考试）当时，_______________.

【答案】

【解析】根据指数运算公式：，因为，

所以原式=.故答案为：.

10．（2020·全国高一课时练习）设，将表示成分数指数幂的形式，其结果是________.

【答案】

【解析】∵，∴.

故答案为：.

11．（一题双空）已知，则______；当时，化简______.

【答案】；    .   

【解析】

，

故答案为：；

12化简：________.

【答案】

【解析】原式

.

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13.（2020·全国高一课时练习）将下列根式化成分数指数幂的形式.

（1） (a>0)；

（2）；

（3）(b>0).

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）原式＝ ＝＝＝.

（2）原式＝＝＝

＝＝＝.

（3）原式＝[]＝＝.

14．（2020·全国高一课时练习）若本例变为：已知a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，且a＜b，求的值.

【答案】－.

【解析】＝＝.①

∵a，b分别为x2－12x＋9＝0的两根，

∴a＋b＝12，ab＝9，②

∴(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＝122－4×9＝108.

∵a＜b，∴a－b＝－6.③

将②③代入①，得＝＝－.

15．已知2a·3b＝2c·3d＝6，求证：(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．

证明：∵2a·3b＝6，∴2a－1·3b－1＝1.

∴(2a－1·3b－1)d－1＝1，即2(a－1)(d－1)·3(b－1)(d－1)＝1.①

又∵2c·3d＝6，∴2c－1·3d－1＝1.

∴(2c－1·3d－1)b－1＝1，即2(c－1)(b－1)·3(d－1)(b－1)＝1.②

由①②知2(a－1)(d－1)＝2(c－1)(b－1)，

∴(a－1)(d－1)＝(b－1)(c－1)．

16.（2020·黑龙江萨尔图�大庆实验中学高一期末）已知.

（1）求（且）的值；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），；

（2）原式.

      专题4.1.2  指数函数

姓名：__________________     班级：______________   得分：_________________

注意事项：

本试卷满分100分，考试时间45分钟，试题共16题．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1．（2020·全国高一课时练习）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ）

A．且 B．且

C．且 D．

【答案】C

【解析】由于函数（是自变量）是指数函数，则且，

解得且.故选：C.

2．（2020·全国高一课时练习）已知函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（    ）

A．(－1，5) B．(－1，4) C．(0，4) D．(4，0)

【答案】A

【解析】当，即时，，为常数，

此时，即点P的坐标为(－1，5).故选：A.

3．（2020·全国高一课时练习）函数f(x)＝ax－b的图象如图，其中a，b为常数，则下列结论正确的是（    ）

A．a＞1，b＜0

B．a＞1，b＞0

C．0＜a＜1，b＞0

D．0＜a＜1，b＜0

【答案】D

【解析】由f(x)＝ax－b的图象可以观察出，函数f(x)＝ax－b在定义域上单调递减，

所以0＜a＜1.函数f(x)＝ax－b的图象是在f(x)＝ax的基础上向左平移得到的，

所以b＜0.故选：D.

4．（2020·陆良县联办高级中学高一开学考试）函数的定义域是（ ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】要是函数有意义须满足，即，解得，

因此，函数的定义域为.故选：C.

5．（2020·内蒙古集宁一中高二月考（文））若a＝，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是(　　　)

A．a＜b＜c B．c＜a＜b

C．b＜c＜a D．b＜a＜c

【答案】D

【解析】∵y＝x (x>0)是增函数，∴a＝>b＝.

∵y＝x是减函数，∴a＝＜c＝，∴b＜a＜c.故本题答案为D.

6．（2020·浙江高一单元测试）函数的值域是（    ）．

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵∴，∴，∴函数值域为．故选：B

7．（多选）（2020·全国高一课时练习）设函数（，且），若，则（    ）

A． B． 

C．  D.

【答案】AD

【解析】由得，即，

故，，，所以AD正确.故选：AD

8．（多选）（2020·山东临沂�高一期末）如图，某池塘里浮萍的面积（单位：）与时间（单位：月）的关系为．关于下列说法正确的是（    ）

A．浮萍每月的增长率为

B．浮萍每月增加的面积都相等

C．第个月时，浮萍面积不超过

D．若浮萍蔓延到、、所经过的时间分别是、、，则

【答案】AD

【解析】将点的坐标代入函数的解析式，得，函数的解析式为.

对于A选项，由可得浮萍每月的增长率为，A选项正确；

对于B选项，浮萍第个月增加的面积为，第个月增加的面积为，，B选项错误；

对于C选项，第个月时，浮萍的面积为，C选项错误；

对于D选项，由题意可得，，，，，

即，所以，，D选项正确.

故选：AD.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上）

9．（2019·定远县育才学校高一月考）若函数（且）在上最大值是最小值的2倍，则______.

【答案】2或

【解析】当时，函数为上的减函数，故，即，解得.

当时，函数为上的增函数，故，即，解得.

故的值为或.故填：或.

10．（2020·江苏秦淮�高三期中）不等式的解集为_________.

【答案】

【解析】，化为，解得，所以不等式的解集是.

故答案为:.

11．（2019·深州长江中学高一期中）函数的单调递增区间为_________．

【答案】

【解析】函数在上递减，函数的对称轴是，且在上递增，在上递减.根据复合函数单调性同增异减可知：函数的单调递增区间为.故填：.

12．（一题两空）（2020·上海高一课时练习）函数的图象与函数的图象关于________对称，它们的交点坐标是_________.

【答案】轴       

【解析】函数的图象与函数的图象如下：

由指数函数的性质可知，函数的图象与函数的图象关于轴对称，它们的交点坐标是.故答案为：轴；.

三、解答题（本大题共4小题，共40分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

13．（2020·浙江高一课时练习）已知函数，满足.

（1）求常数的值.

（2）解关于的不等式.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由，得，解得.

（2）由（1）得.

由得，当时，，

解得；

当时，，解得.

综上，不等式的解集为.

14．（2019·陕西临渭�高一期末）已知函数.

（1）判断并证明函数的奇偶性；

（2）判断并证明在其定义域上的单调性.

【答案】（1）详见解答；（2）详见解答.

【解析】（1）的定义域为实数集，

，

所以是奇函数；

（2），设，

，

，

所以在实数集上增函数.

15．（2019·黑龙江松北�哈九中高一期末）已知函数．

（1）若时，求满足的实数的值；

（2）若存在，使成立，求实数的取值范围．

【答案】（1）（2）

【解析】（1）当时，，令，则，

解得或（舍），由，得，

所以．

（2）由已知，存在，使成立可转化为存在，使得，

只需求出函数的最小值即可，

令，∴．则，易知在上单调递增，所以

，∴，∴．

16．（2019·安徽合肥�高二开学考试）设函数（且）是定义域为的奇函数.

（1）求实数的值；

（2）若，，且在上的最小值为1，求实数的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为是定义域为的奇函数，所以，

所以，即，

当时，符合条件.

（2）因为，所以，

解得或（舍）.

故，

令，由，故，

所以

函数图象的对称轴为，

①时，，解得（舍去）；

②时，，解得.

所以，.