2018-2019学年河北省石家庄市新华区八年级（上）期末数学试卷
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2018-2019学年河北省石家庄市新华区八年级（上）期末数学试卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：xxx 分钟；命题人：xxx
题号 | 一 | 二 | 三 | 总分 |
得分 |
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| 一、 选择题（共12题） |
1. 式子有意义，则的取值范围是 ．
A． B．
C． D．
2. 在下列图形中，中心对称图形是．
A．
B．
C．
D．
3. 若分式的值为，则的值是．
A． 或 B．
C． D．
4. 小亮用天平称得一个鸡蛋的质量为，用四舍五入法将精确到的近似值为．
A． B． C． D．
5. 已知、、为三角形的边长，则图中甲、乙、丙三个三角形和图中的全等的是．
A． 甲和乙 B． 乙和丙
C． 甲和丙 D． 只有丙
6. 估计的值在．
A．和之间
B． 和之间
C． 和之间
D．和之间
7. 如图，在中，，、分别是的中线和角平分线，当时，的度数是．
A． B． C． D．
8. 下列等式正确的是．
A． B．
C． D．
9. 在用反证法证明“三角形的最大内角不小于时，假设三角形的最大内角不小于不成立，则有三角形的最大内角．
A． 小于
B． 等于
C． 大于
D． 大于或等于
10. ．
A． B．
C． D．
11. 如图，在中，是的垂直平分线，且分别交、于、两点，，，则的度数为．
A． B． C． D．
12. 如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点．若，，则的长为．
A． B． C． D．
| 二、 填空题（共6题） |
13. 的立方根是 ______ ．
14. 如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有 条．
15. 计算： ．
16. 如图，为的平分线，，，，则点到射线的距离为 ．
17. 若关于的分式方程有增根，则的值为 ．
18. 如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上，若，，则 ．
| 三、 解答题（共8题） |
19. 计算：
20. 已知：如图，，，、相交于点．
求证：是等腰三角形．
21. 顶点都在格点上的三角形叫做格点三角形，如图，在的方格纸中，是格点三角形．
（1）在图1中，以点为对称中心，作出一个与成中心对称的格点三角形，在题后横线上直接写出与的位置关系： ；
（2）在图2中，以所在的直线为对称轴，作出一个与成轴对称的格点三角形，并在后横线上直接写出是什么形状的特殊三角形： ．
22. 当时，求的值．
23. 《九章算术》是我国古代最重要的数学著作之一，在“勾股”章中记载了一道“折竹抵地”问题：“今有竹高一丈，来折抵地，去本三尺，问折者高几何？“译成数学问题是：如图所示，在中，，丈，尺，求的长为多少尺？（说明：丈尺）
24. 观察下列各式：
请利用你所发现的规律，解决下列问题：
（1）第个算式为： ；
（2）求的值；
（3）请直接写出的结果．
25. 已知：如图1，是的平分线，点在上，，且点到的距离为．过点作，，垂足分别为、，易得到结论： ；
（1）把图1中的绕点旋转，当与不垂直时（如图2），上述结论是否成立？并说明理由；
（2）把图1中的绕点旋转，当与的反向延长线相交于点时：
① 请在图3中画出图形；
② 上述结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请直接写出线段、之间的数量关系，不需证明．
26. 如图，在中，，，为边的中点，以为边作等边，连接、．
（1）求证：；
（2）① 画图：在边上找一点，使得最小（要求：写出作图过程并画出图形，不用说明作图依据）；
② 当时，求出的最小值．
参考答案及解析
一、 选择题
1. 【答案】C
【解析】解：根据题意，得，
解得，．
故选
根据二次根式的被开方数是非负数列出不等式，通过解该不等式即可求得的取值范围．
此题考查了二次根式的意义和性质概念：式子叫二次根式性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2. 【答案】D
【解析】解：．不是中心对称图形，故此选项错误；
．不是中心对称图形，故此选项错误；
．不是中心对称图形，故此选项错误；
．是中心对称图形，故此选项正确；
故选
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与原图重合．
3. 【答案】A
【解析】解：依题意得：且，
解得．
故选
根据分式的值为零的条件可以求出的值．
本题考查了分式的值等于的条件，若分式的值为零，需同时具备两个条件:（1）分子为；（2）分母不为．这两个条件缺一不可．
4. 【答案】D
【解析】解：（精确到），
故选
根据四舍五入法可以解答本题．
本题考查近似数和有效数字，解答本题的关键是明确近似数和有效数字的含义．
5. 【答案】B
【解析】解：如图：
在C和中，，
；
在和中，，
故选择
首先观察图形，然后根据三角形全等的判定方法与，即可求得答案．
此题考查了全等三角形的判定，解题的关键是注意掌握判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．
6. 【答案】C
【解析】解：，
，
故选
直接得出的取值范围进而得出答案．
此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．
7. 【答案】D
【解析】解：是的平分线，，
，
，
，
，
，
，
故选
根据角平分线的定义和等腰三角形的性质即可得到结论．
本题考查了等腰三角形的两个底角相等的性质，三角形内角和定理以及角平分线定义，求出是解题的关键．
8. 【答案】B
【解析】解：．，此选项错误；
．，此选项正确；
．，此选项错误；
．，此选项错误；
故选
根据二次根式的性质和性质逐一判断即可得．
本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质与性质．
9. 【答案】A
【解析】解：在用反证法证明“三角形的最大内角不小于时，
假设三角形的最大内角不小于不成立，则有三角形的最大内角小于．
故选
根据反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论．
本题考查了反证法的步骤，熟记反证法的步骤：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．
10. 【答案】D
【解析】解：，
故选
根据二次根式的性质化简可得．
本题主要考查二次根式的乘除法，解题的关键是掌握二次根式的乘除运算法则．
11. 【答案】B
【解析】解：是的垂直平分线，
，
，
，，
，
，
故选
根据线段垂直平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据三角形内角和定理求出的度数，计算出结果．
本题考查的是线段垂直平分线的性质的知识，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．
12. 【答案】A
【解析】解：过点作于点，
，，
，
，，
平分，
，
，
，
平分，，
，
，，
，
，
，，，
，
，
，
，
解得：，
即的长为．
故选
根据三角形的内角和定理得出，，根据角平分线和对顶角相等得出，即可得出，再利用相似三角形的判定与性质得出答案．
本题考查了直角三角形性质、等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理以及相似三角形的判定与性质等知识，关键是推出．
二、 填空题
13. 【答案】；
【解析】解：的立方根为．
故答案为
利用立方根的定义计算即可得到结果．
此题考查了立方根，熟练掌握立方根的定义是解本题的关键．
14. 【答案】；
【解析】解：五角星的对称轴共有条，
故答案为．
根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的定义．
15. 【答案】；
【解析】解：原式．
故答案为．
利用平方差公式计算．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
16. 【答案】；
【解析】解：过作，
为的平分线，，
，
，，
，
．
故答案为
过作，根据勾股定理可得的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得，进而可得答案．
此题主要考查了角平分线的性质，关键是掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等．
17. 【答案】；
【解析】解：方程两边都乘，
得
原方程有增根，
最简公分母，
解得，
当时，
故的值是，
故答案为．
增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母，得到，然后代入化为整式方程的方程算出的值．
本题考查了分式方程的增根．增根问题可按如下步骤进行：
① 让最简公分母为确定增根；
② 化分式方程为整式方程；
③ 把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．
18. 【答案】；
【解析】证明：如图，连接，
和 都是等腰直角三角形
，，，
，且，，
，，
故答案为．
由等腰三角形的性质可得，，，，可证 ，可得，，由勾股定理可求，即可求的长．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，添加恰当的辅助线构造全等三角形是本题的关键．
三、 解答题
19. 【答案】
【解析】解：原式．
先进行二次根式的乘法运算，然后取绝对值后合并即可．
本题考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍．
20. 【答案】答案见解析
【解析】
证明：，
是等腰三角形．
由“”可证，可得，
可证是等腰三角形．
本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练运用全等三角形的判定是本题的关键．
21. 【答案】（1），
（2）等腰直角三角形
【解析】解：（1）如图1，即为所求．，．
故答案为，．
（2）如图2，即为所求． 是等腰直角三角形．
故答案为等腰直角三角形．
（1）根据中心对称的性质画出图形即可判断．
（2）根据轴对称的性质画出图形即可判断．
本题考查旋转变换，轴对称变换等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
22. 【答案】
【解析】
解：
，
时．
．
首先对分式进行化简，然后将时代入即可．
本题考查了分式的化简求值，正确分解因式是解题的关键．
23. 【答案】尺
【解析】
解：丈尺，
设，
，
．
在中，，
，即．
解得：，
即尺．设，可知，再根据勾股定理即可得出结论．
本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．
24. 【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】解：（1）依题意：接下来的第个算式为：
故答案为；
（2）原式
（3）原式
根据题目的规律进行计算即可．不难发现由根号形式转化为积的形式．因此
（1）可以猜想到接下来的第个算式为：，
（2）题中可以根据题目进行每一项的转化．从而计算出结果；
（3）第（2）题进一步扩展到项即可．详见解答过程．
此题考查的是二次根式的化简，要观察到的转化．此类题即可解决
25. 【答案】
（1）成立，见解析
（2）① 见解析；
② 不成立，
【解析】解：，
，
在中，，，
，
点是的平分线上的点，
，同理，，
，
故答案为；
（1）上述结论成立，理由：如图2，
过点作于，于，
，
，由旋转知，，
，
，
点是的平分线上，且，，
，
，
，
，
，，
；
（2）① 补全图形如图3，
② 上述结论不成立，，
理由：过点作于，于，
，
，
由旋转知，，
，
，
点是的平分线上，且，，
，
，
，
，
，，
．
先利用勾股定理求出，再利用角平分线定理得出，即可得出结论；
（1）先判断出，进而判断出 ，得出，即可得出结论；
（2）① 依题意即可补全图形；② 同（1）的方法即可得出结论．
此题是几何变换综合题，主要考查了角平分线的定义和定理，全等三角形的判定和性质，特殊角的三角函数直角三角形的性质，正确作出辅助线是解本题的关键
26. 【答案】（1）见解析
（2）① 见解析；②
【解析】
（1）证明：，，
，，
，
，
是等边三角形，
，,
，，，
，
．
（2）① 作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求．
② 连接，
，，
，
,
是等边三角形，
，
，在中，
，，
，
的最小值
（1）证明，可得．
（2）① 作点关于直线的对称点，连接交于，点即为所求． ② 连接，证明是等边三角形即可解决问题．
本题考查作图复杂作图，等边三角形的判定和性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
