2019届二轮复习分类讨论思想学案（全国通用）

【典例分析】【支点一】由概念、法则、公式引起的分类讨论【例题1】（2018•东北三省四市二模）已知数列{an}满足an+1﹣an=2，a1=﹣5，则|a1|+|a2|+…+|a6|=（　　）A．9 B．15 C．18 D．30【分析】利用等差数列的通项公式可得an．及其数列{an}的前n项和Sn．令an≥0，解得n，分类讨论即可得出．【答案】C【规律总结】命题揭秘：有些数学概念本身就是分类形式的定义，有些数学概念自身就有一定的限制，解题时要以所定义的概念为依据进行讨论，如遇到分段函数需要讨论；根据绝对值的定义去绝对值需要讨论；指数、对数中含有参数a需要讨论，另外数学中的有些公式、方法对于一般情形是正确的，但是对于特殊情形或比较隐蔽的个别情形未必成立，这是造成分类讨论的原因，因此在解题时，应注意挖掘这些个别情形进行分类讨论，常见的个别情况是：集合的性质，中的互异性需要讨论；等比数列的求和公式中对公比q是否为1的讨论；方程对a是否为0的讨论等。夺分宝典：本题考查了分类讨论方法、等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，关键是根据去绝对值的意义对绝对值内的符号进行讨论，再求和。【变式1】若等比数列{an}的前项n和为Sn，且则=   。【答案】17【解析】若公比q=1，则，∴公比q≠1．由得∴，所以答案是17；学   【支点二】由参数变化引起的分类讨论【例题2】已知函数 f（x）=ex（ex﹣a）﹣a2x．（1）讨论 f（x）的单调性；（2）若f（x）≥0，求a的取值范围．【分析】（1）先求导，再分类讨论，根据导数和函数的单调性即可判断，（2）根据（1）的结论，分别求出函数的最小值，即可求出a的范围．（2）①当a=0时，f（x）=e2x＞0恒成立，②当a＞0时，由（1）可得f（x）min=f（lna）=﹣a2lna≥0，∴lna≤0，∴0＜a≤1，③当a＜0时，由（1）可得f（x）min=f（ln（﹣））=﹣a2ln（﹣）≥0，∴ln（﹣）≤，∴﹣2≤a＜0，综上所述a的取值范围为[﹣2，1]【规律总结】命题揭秘：含参数的问题，主要包括：（1）含有参数的不等式；（2）含有参数的方程求解；（3）函数解析式中含有参数的最值与单调性问题；（4）二元二次方程表示曲线类型的判定，求解时，需要结合参数的意义，对参数的不同取值或不同取值范围进行分类讨论。学   夺分宝典：导数在高考中考查分类讨论是热点，求导后考虑导函数是否有实数根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论；求导后，导函数为0有实数根，但是不知导函数为0的实根是否落在定义域内，从而引起讨论；求导后，导函数为0有实数根，导函数为0的实数根也落在定义域内，但是不知道这些实数根的大小关系，从而引起讨论。【变式2】（2018•江门一模）设函数f（x）=ex﹣ax，a是常数．讨论f（x）的零点的个数．（2）a=0时，f（x）=ex，f（x）无零点（3）a＜0时，由f（x）=0得，ex=ax，故曲线y=ex与y=ax只有一个交点，所以f（x）只有一个零点．综上所述，0≤a＜e时，f（x）无零点；a＜0或a=e时，f（x）有一个零点；a＞e时，f（x）有两个零点。【支点三】根据图像的形状和位置引起的分类讨论 学  ]【例题3】已知：长方体ABCD﹣A1B1C1D1，AB=2，AD=4，AA1=4，O为对角线AC1的中点，过O的直线与长方体表面交于两点M，N，P为长方体表面上的动点，则的取值范围是      【分析】分类讨论：直线MN与长方体相交的三种情况，再根据长方体的对称性和数量积的性质：取P点时只要取顶点和每个表面的中心即可．【解析】如图所示．此时可得： 的取值范围是[﹣5，0]．综上可得：的取值范围是[﹣5，5]．②当点MN在左右两个面时，的取值范围是[﹣5，5]．③当点MN分别上或下两个面、左或右时，的取值范围是[﹣8，8]．综上可得：的取值范围是[﹣8，8]． 学       【规律总结】命题揭秘：几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论(1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3)函数图像形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几何中点、线、面的位置变化等．夺分宝典：正确的解答图形形状和位置关系不确定的题目需要分析清楚符号条件的图形各种的可能位置，对于图形不确定的形状和位置进行分类讨论，保证其完整性，紧扣条件，分类探讨各种复合题目条件的图形，空间想象能力和画图能力是正确解答此类分类讨论问题必备能力。【变式3】若椭圆的焦点在x轴上，过点（1，）作圆x2+y2=1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是     。【答案】 核心素养拓展拓展提升 【素养概述】分类讨论是一种重要的数学思想方法，当问题的对象不能进行统一研究时，就需要对研究的对象进行分类，按照一定标准进行讨论，把研究的对象分为几部分或几种情况，然后对每一类分别研究，给出每一类的结果，最终综合各类结果得到整个问题的解答。作出总结的思想方法。实质上，分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策略．【素养拓展】在解答某些问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳，综合得出结论。讨论的基本步骤：(1)明确讨论的对象：即对哪个参数进行讨论；(2)对所讨论的对象进行合理分类(分类时要做到不重复、不遗漏、标准要统一、分层不越级)；(3)逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决。(4)归纳总结：将各类情况总结归纳；【夺分宝典】有关分类讨论的数学问题需要运用分类讨论思想来解决，引起分类讨论的原因大致可归纳为如下几种：(1)由数学概念引起的分类讨论：有的概念本身是分类的，如绝对值、直线斜率、指数函数、对数函数等．(2)由性质、定理、公式的限制引起的分类讨论：有的数学定理、公式、性质是分类给出的，在不同的条件下结论不一致，如等比数列的前n项和公式、函数的单调性等．学   (3)由数学运算要求引起的分类讨论：如除法运算中除数不为零，偶次方根被开方数为非负，对数真数与底数的要求，指数运算中底数的要求，不等式两边同乘以一个正数、负数，三角函数的定义域等．(4)由图形的不确定性引起的分类讨论：有的图形类型、位置需要分类，如角的终边所在的象限，点、线、面的位置关系等(5)由参数的变化引起的分类讨论：某些含有参数的问题，如含参数的方程、不等式，由于参数的取值不同会导致所得结果不同，或对于不同的参数值要运用不同的求解或证明方法．(6)由实际意义引起的讨论：此类问题常常出现在应用题中．（7）分类讨论解题的步骤①确定分类讨论的对象：即对哪个变量或参数进行分类讨论．②对所讨论的对象进行合理的分类．③逐类讨论：即对各类问题详细讨论，逐步解决．④归纳总结：将各类情况总结归纳．核心试题精练【思维挑战】1. 过点（﹣1，2）在两条坐标轴上的截距绝对值相等的直线条数有（　　）A．1        B．2            C．3     D．4【答案】C2. 已知函数的定义域为且，若对函数是奇函数，当时，，则不等式的解集为（　　）A．  B． C． D．【答案】C【解析】因为函数是奇函数，所以，当x<0时，时，，即，当x=0时，，所以①当x＞0时，由＞1，解得x＞3，②当x＜0时，由＞1，解得x＞，故不等式f（x）＞1的解集为：．故选：C．3. 已知集合，，若，则由a的值构成的集合为　　． 学    ]【答案】{1， 0，}【解析】∵，∴若，则若a=0，即时，满足条件．若，则， 学  ]要使，则或，解得a=1，或a=．综上a=0或a=1或a=，∴由a的值构成的集合为{1，0，}．故答案为：{1，0，}．学   4. 若，关于x的方程有两个不等实数根，则=        -。【答案】