2019届二轮复习第11招不等式法全分类高考再无别家人学案（江苏专用）
展开不等式法全分类
基本不等式是江苏高考C级要求，是高中数学的重要知识，高考和模拟考对基本不等式的考查，主要以多元最值为背景的题型进行考查，一般放在9~14题．等价代换或转换是解题方法,也是解题难点．群里有很多伙伴和学生问及这类题目，就简单做个整理.
一、构造齐次法
例1.已知，且，求的最小值______.
【答案】9
【解析】因为，
当且仅当即时取等号.
变式1.已知，且，求的最小值______.
【答案】9
【解析】
当且仅当即时取等号.
变式2.（2011重庆理数7）已知，则的最小值是_________.
【答案】
【解析】
当且仅当即时取等号.
变式3. 设，，若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】.后面就一样的了
变式4.设，，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】将等式变形为，则
（等号成立的条件）
变式5.（2015通泰淮扬）已知正实数满足则的取值范围为 .
【答案】
【解析】
二、消元法解题
例2.设，，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】将等式变形为
当且仅当时取等号.
变式1.若实数,，则的最大值是 .
【答案】
【解析】令，
变式2.（08江苏11）设是 .
【答案】3
【解析】
试题分析：由,
原式
变式3.已知函数的值域为，若关于的不等式的解集为，则实数c的值为 ．
【答案】9
【解析】函数的值域为,可以直接让,的解集为,解集关与原点对称，所以m=-3,这样就轻松得到c=9.
三、分母整体换元
分母比较复杂时，都是一次的，可以把他换元，简化一下.
例3.已知为正数，则的最大值为 .
【答案】
【解析】
令
检验等号成立的条件
变式.设a，b，c为正实数，求的最小值。
【答案】
【解析】
四、判别式法解题
能最终转化成一元二次方程的，才用判别式
例4.（11浙江理16）设为实数，若则的最大值是 .
【答案】
【解析】设
化简得到因为为实数，
则有
所以最大值为
变式1.设，，则的最小值为 .
【答案】4
【解析】略
变式2.（2015通泰淮扬）已知正实数满足则的取值范围为 .
【答案】
【解析】略
五、三角换元
例5.，求的取值范围 .
【答案】
【解析】
六、权方和
权方和介绍
权方和不等式是在高中竞赛中很有用的一个不等式，常用来处理分式不等式。
它和赫尔德不等式的这个特殊情形是等价关系。
其中m称为不等式的权，特点是分子次数比分母高一次。
通俗的说法是：
例6.已知，且，求的最小值______.
【答案】9
【解析】当且仅当时，即时取等号.
变式1. 设，，若，则的最小值为 .
【答案】
【解析】.当且仅当时，即时取等号.
七、待定系数法
例7.（10江苏12）设实数x,y满足3≤≤8，4≤≤9，则的最大值是 .
【答案】27
【解析】
.
检验等号成立的条件
变式1.实数满足，则的最大值为____________．
【答案】
【解析】
检验等号成立的条件
八、因式分解
例8.已知实数x，s，t满足8x＋9t＝s，且x＞－s，则的最小值为________．
【答案】6
【解析】
检验等号成立的条件
变式1.(2015通锡苏密卷一10)已知正实数满足，则最小值为 .
【答案】4
【解析】.
检验等号成立的条件
变式2.(2014通锡苏密卷三11)若,则的最小值为 .
【答案】-1
【解析】
检验等号成立的条件
变式3.
若>0，且的最小值为 ．
【答案】4
【解析】由若>0，且
检验等号成立的条件
【答案】
九、柯西不等式
柯西的证明一：已知二次函数
检验等号成立的条件
柯西的证明二：构造向量
检验等号成立的条件
例9.（2016届湖南省衡阳市八中高三上学期第三次月考理科数学试卷）
若，则的最小值为 ．
【答案】
【解析】
试题分析：，则由柯西不等式可得
故．当且仅当时取等号
变式1.（2014年辽宁卷）对于，当非零实数a，b满足，且使最大时，的最小值为 .
【答案】
【解析】
由可得：
，
当且仅当时取等号，即时，取等号，
这时或
当时，，
当时，，
综上可知当时，
变式2.设的最小值是 .
【答案】4
【解析】
检验等号成立的条件
十、构造法
例10.已知则的最大值是 .
【答案】
【解析】由（这里是韦达定理的样子了），是的两根，
，变成了三次函数，求导即可得出最值.
变式1.实数，满足，，则的取值范围为______
【答案】
【解析】略
十一、对称变量（体现数学的美感）
未知数互换不影响结果的，才能使用对称变量法，同时注意等号成立的条件
例11.已知正实数，求最大值为_______.
【答案】
【解析】令即可
变式1.已知正实数，求最小值为_______.
【答案】
【解析】令即可
变式2.若实数,，则的最大值是 .
【答案】
【解析】令即可
十二、两边夹
例12.若实数满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】易知
当且仅当时取等，所以
变式1.若实数满足，则的最小值为 .
【答案】
【解析】同上
十三、主元思想
例13.已知
【答案】
【解析】原式等价于先看作的函数，再看作关于c的函数，最后只剩下b ，三次函数求导即可，取等条件为
变式1.设实数满足：，则的最大值为___________.
【答案】
【解析】把b看成主元，则，所以为对勾函数或者一次函数，不管这个区间是否包含对勾函数的勾底，最大值都是在端点处取的，所以
十四、根的分布
例15. 已知函数，若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】画出二次函数的分析简图：
由图象分析可得结论：开口向上的二次函数在上恒小于0的充要条件为 开口向下的二次函数在上恒大于0的充要条件为
.
