规范解答集训(五)　解析几何 试卷

规范解答集训(五)　解析几何

(建议用时：40分钟)

1．已知动圆E经过点F(1,0)，且和直线l：x＝－1相切．

(1)求该动圆圆心E的轨迹G的方程；

(2)已知点A(3,0)，若斜率为1的直线l′与线段OA相交(不经过坐标原点O和点A)，且与曲线G交于B，C两点，求△ABC面积的最大值．

[解]　(1)由题意可知点E到点F距离等于点E到直线l的距离，所以动点E的轨迹是以F(1,0)为焦点，直线x＝－1为准线的抛物线，

故曲线G的方程是y2＝4x.

(2)设直线l′的方程为y＝x＋m，其中－3<m<0.

联立方程组消去y，得x2＋(2m－4)x＋m2＝0，

Δ＝(2m－4)2－4m2＝16(1－m)恒大于零，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，

x1＋x2＝4－2m，x1x2＝m2，∴|AB|＝4，点A到直线l′的距离为d＝，

∴S△ABC＝·4·＝2(3＋m)．

令＝t，t∈(1,2)，则m＝1－t2，∴S△ABC＝2t(4－t2)＝8t－2t3，

令f(t)＝8t－2t3，∴f′(t)＝8－6t2.

y＝f(t)在上递增，在上递减．

y＝f(t)在t＝时，即m＝－时取得最大值．

∴△ABC的最大面积为.

2．(2019·贵阳模拟)已知圆M：x2＋(y－2)2＝1，直线l：y＝－1，动圆P与圆M相外切，且与直线l相切，设动圆圆心P的轨迹为E.

(1)求E的方程；

(2)若点A，B是E上的两个动点，O为坐标原点，且·＝－16，求证：直线AB恒过定点．

[解]　(1)由题意知动圆P与直线l：y＝－1相切，且与定圆M：x2＋(y－2)2＝1外切，所以动点P到圆M的圆心M(0,2)的距离与到直线y＝－2的距离相等，由抛物线的定义知，点P的轨迹是以M(0,2)为焦点，直线y＝－2为准线的抛物线．

故所求点P的轨迹E的方程为x2＝8y.

(2)设直线AB：y＝kx＋b，A(x1，y1)，B(x2，y2)，

将直线AB的方程代入到x2＝8y中得x2－8kx－8b＝0，

所以x1＋x2＝8k，x1x2＝－8b，

又·＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋＝－8b＋b2＝－16，

所以b＝4，则直线AB恒过定点(0,4)．

3．(2019·长沙模拟)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，左、右焦点分别为F1，F2，A为椭圆C上一点，AF2⊥F1F2，且|AF2|＝.

(1)求椭圆C的方程；

(2)设椭圆C的左、右顶点分别为A1，A2，过A1，A2分别作x轴的垂线l1，l2，椭圆C的一条切线l：y＝kx＋m与l1，l2分别交于M，N两点，求证：∠MF1N为定值．

[解]　(1)由AF2⊥F1F2，|AF2|＝，得＝.

又e＝＝，a2＝b2＋c2，所以a2＝9，b2＝8，

故椭圆C的标准方程为＋＝1.

(2)由题意可知，l1的方程为x＝－3，l2的方程为x＝3.

直线l分别与直线l1，l2的方程联立得M(－3，－3k＋m)，N(3,3k＋m)，

所以＝(－2，－3k＋m)，＝(4,3k＋m)，

所以·＝－8＋m2－9k2.

联立得(9k2＋8)x2＋18kmx＋9m2－72＝0.

因为直线l与椭圆C相切，

所以Δ＝(18km)2－4(9k2＋8)(9m2－72)＝0，

化简得m2＝9k2＋8.

所以·＝－8＋m2－9k2＝0，

所以⊥，

故∠MF1N为定值.

(注：可以先通过k＝0计算出此时∠MF1N＝，再验证一般性结论)

4．(2019·合肥模拟)设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点．若椭圆E的离心率为，△ABF2的周长为4.

(1)求椭圆E的方程；

(2)设不经过椭圆的中心而平行于弦AB的直线交椭圆E于点C，D，设弦AB，CD的中点分别为M，N，证明：O，M，N三点共线．

[解]　(1)由题意知，4a＝4，a＝.

又e＝，∴c＝，b＝，

∴椭圆E的方程为＋＝1.

(2)当直线AB，CD的斜率不存在时，由椭圆的对称性知，中点M，N在x轴上，O，M，N三点共线；

当直线AB，CD的斜率存在时，设其斜率为k，且设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，

则两式相减，得＋－＝0，

∴＝－，

＝－，

∴·＝－，·＝－，即k·kOM＝－，

∴kOM＝－.

同理可得kON＝－，∴kOM＝kON，∴O，M，N三点共线．

5．(2019·郑州质量检测)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别向抛物线的准线作垂线，设交点分别为M，N.R为准线上一点．

(1)若AR∥FN，求的值；

(2)若点R为线段MN的中点，设以线段AB为直径的圆为圆E，判断点R与圆E的位置关系．

[解]　由已知，得F(1,0)，设直线l的方程为x＝my＋1，与抛物线y2＝4x联立，

得消去x，得y2－4my－4＝0，

设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝4m，y1y2＝－4.

由题知M(－1，y1)，N(－1，y2)，设R(－1，yR)．

(1)∵AR∥FN，即∥，＝(－1－x1，yR－y1)，＝(－2，y2)，

∴0＝(－1－x1)y2＋2(yR－y1)＝(－2－my1)y2＋2(yR－y1)＝－2(y1＋y2)－my1y2＋2yR＝－4m＋2yR，

∴yR＝2m＝，则R是MN的中点，∴＝.

(2)若R是MN的中点，则R(－1,2m)，

·＝(x1＋1，y1－2m)·(x2＋1，y2－2m)＝(my1＋2，y1－2m)·(my2＋2，y2－2m)＝(my1＋2)·(my2＋2)＋(y1－2m)·(y2－2m)＝(m2＋1)y1y2＋4m2＋4＝－4(m2＋1)＋4m2＋4＝0.

因此，点R在以AB为直径的圆E上．