24分大题抢分练(一)

24分大题抢分练(一)

(建议用时：30分钟)

20．(12分)如图所示，椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，B1，B2是椭圆C的短轴端点，且|B1B2|＝6，点M在椭圆C上运动，且点M不与B1，B2重合，点N满足NB1⊥MB1，NB2⊥MB2.

(1)求椭圆C的方程；

(2)求四边形MB2NB1面积的最大值．

[解]　(1)∵e＝＝，∴a＝c，

又2b＝6，且a2＝b2＋c2，

∴a2＝18，b2＝9，

因此椭圆C的方程为＋＝1.

(2)法一：设M(x0，y0)(x0≠0)，N(x1，y1)，∵MB1⊥NB1，MB2⊥NB2，

∴直线NB1：y＋3＝－x　①，

直线NB2：y－3＝－x　②，

由①②解得x＝，即x1＝，

又＋＝1，∴x1＝－，

∴四边形MB2NB1的面积S＝|B1B2|(|x1|＋|x0|)＝3×|x0|.

∵0＜x≤18，∴当x＝18时，S取得最大值.

法二：设直线MB1：y＝kx－3(k≠0)，则直线NB1：y＝－x－3　①，

直线MB1与椭圆C：＋＝1的交点M的坐标为，

则直线MB2的斜率为kMB2＝＝－，

∴直线NB2：y＝2kx＋3　②，

由①②解得N点的横坐标为xN＝－，

∴四边形MB2NB1的面积

S＝|B1B2|(|xM|＋|xN|)＝3×＝≤，

当且仅当|k|＝时，S取得最大值.

21．(12分)(2019·济南模拟)已知函数f(x)＝(x－1)2－x＋ln x(a＞0)．

(1)讨论f(x)的单调性；

(2)若1＜a＜e，试判断f(x)的零点个数．

[解]　(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，

f′(x)＝a(x－1)－1＋＝，

令f′(x)＝0，则x1＝1，x2＝，

①当a＝1，则f′(x)≥0恒成立，所以f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

②若0＜a＜1，则＞1，

当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，

当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，

当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．

③若a＞1，则0＜＜1，

当x∈时，f′(x)＞0，f(x)是增函数，

当x∈时，f′(x)＜0，f(x)是减函数，

当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)是增函数．

综上所述，当a＝1时，f(x)在(0，＋∞)上是增函数；

当0＜a＜1时，f(x)在(0,1)上是增函数，在上是减函数，在上是增函数；

当a＞1时，f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数．(6分)

(2)当1＜a＜e时，

f(x)在上是增函数，在上是减函数，在(1，＋∞)上是增函数，

所以f(x)的极小值为f(1)＝－1＜0，

f(x)的极大值为f＝2－＋ln＝－－ln a－1.

设g(a)＝－－ln a－1，其中a∈(1，e)，

则g′(a)＝＋－＝＝＞0，

所以g(a)在(1，e)上是增函数，

所以g(a)＜g(e)＝－－2＜0.

因为f(4)＝(4－1)2－4＋ln 4＞×9－4＋ln 4＝ln 4＋＞0，

所以存在x0∈(1,4)，使f(x0)＝0，

所以当1＜a＜e时，f(x)有且只有一个零点．