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初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试优秀单元测试精练
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这是一份初中数学人教版九年级下册第二十八章 锐角三角函数综合与测试优秀单元测试精练，共14页。试卷主要包含了已知等内容，欢迎下载使用。
1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D.若AC=eq \r(5)，BC=2，则sin∠ACD的值为（ ）
2．在△ABC中，若|sinA-12|+(csB- SKIPIF 1 < 0 )2=0，则∠C=（ ）
3．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=eq \f(1,2)，则AB的长是（ ）
4．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD、BC相交于P点，那么 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
5．已知抛物线y=－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan∠CAB的值为（ ）
6．在△ABC中，若|sinA－eq \f(1,2)|＋(csB－eq \f(1,2))2=0，则∠C的度数是（ ）
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）
8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（ ）
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（ ）
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=12．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF= ．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF 为折痕．若AE=3，则sin∠BFD的值为 ．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=eq \f(1,4)，则线段AC的长为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=eq \r(6)，则AE= ．
三、解答题
15．计算：|－eq \r(3)|＋eq \r(2)sin45°＋tan60°－(－eq \f(1,3))－1－eq \r(12)＋(π－3)0.
16．已知α为锐角，且tanα是方程x2＋2x－3=0的一个根，求2sin2α＋cs2α－eq \r(3)tan(α＋15°)的值．
17．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果eq \f(AB,BC)=eq \f(2,3)，求tan∠DCF的值．
18．阅读材料：
关于三角函数有如下的公式：
sin(α±β)=sinαcsβ±csαsinβ，
tan(α±β)=eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°=tan(45°－30°)=eq \f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)=eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋1×\f(\r(3),3))=eq \f(（3－\r(3)）（3－\r(3)）,（3＋\r(3)）（3－\r(3)）)
=eq \f(12－6\r(3),6)=2－eq \r(3).
根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算sin15°的值；
19．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；
(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间．(结果精确到0.1小时．参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)
20．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cs25°≈0.9，tan25°≈0.5，eq \r(3)≈1.7)
21．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A，B两船相距100(√3+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.
（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果结果有根号，请保留根号）；
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据:√2≈1.41，√3≈1.73）
22．如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB=BD=600 m，α=75°，β=45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，eq \r(2)≈1.41)
23． 已知：如图，直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．
（1）求AE的长及sin∠BEC的值；
（2）求△CDE的面积．
得 分
评卷人
参 考 答 案
姓名 成绩
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）
1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D.若AC=eq \r(5)，BC=2，则sin∠ACD的值为（ A ）
第1题图 第3题图 第4题图
2．在△ABC中，若|sinA-12|+(csB- SKIPIF 1 < 0 )2=0，则∠C=（ D ）
3．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=eq \f(1,2)，则AB的长是（ C ）
4．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD、BC相交于P点，那么 SKIPIF 1 < 0 的值为（ B ）
5．已知抛物线y=－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan∠CAB的值为（ D ）
6．在△ABC中，若|sinA－eq \f(1,2)|＋(csB－eq \f(1,2))2=0，则∠C的度数是（ D ）
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ C ）
第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（ C ）
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（ B ）
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=12．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ B ）
A． B． C． D．
得 分
评卷人
二、填空题（每题5分，共20分）
11．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF= eq \f(4,5) ．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF 为折痕．若AE=3，则sin∠BFD的值为 eq \f(1,3) ．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=eq \f(1,4)，则线段AC的长为 2 ．
14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=eq \r(6)，则AE= 2 ．
得 分
评卷人
三、解答题（共90分）
15．计算：
|－eq \r(3)|＋eq \r(2)sin45°＋tan60°－(－eq \f(1,3))－1－eq \r(12)＋(π－3)0.
解：原式=eq \r(3)＋eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \r(3)－(－3)－2eq \r(3)＋1
=eq \r(3)＋1＋eq \r(3)＋3－2eq \r(3)＋1
=5.
16．已知α为锐角，且tanα是方程x2＋2x－3=0的一个根，求2sin2α＋cs2α－eq \r(3)tan(α＋15°)的值．
解：解方程x2＋2x－3=0，得x1=1，x2=－3.
∵tanα＞0，∴tanα=1.∴α=45°.
∴2sin2α＋cs2α－eq \r(3)tan(α＋15°)
=2sin245°＋cs245°－eq \r(3)tan(45°＋15°)
=2sin245°＋cs245°－eq \r(3)tan60°
=2×(eq \f(\r(2),2))2＋(eq \f(\r(2),2))2－eq \r(3)×eq \r(3)
=－eq \f(3,2).
17．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果eq \f(AB,BC)=eq \f(2,3)，求tan∠DCF的值．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠D=90°.
∵eq \f(AB,BC)=eq \f(2,3)，且由折叠知CF=BC，
∴eq \f(CD,CF)=eq \f(2,3).
设CD=2x，CF=3x(x>0)，
∴DF=eq \r(CF2－CD2)=eq \r(5)x.
∴tan∠DCF=eq \f(DF,CD)=eq \f(\r(5)x,2x)=eq \f(\r(5),2).
18．阅读材料：
关于三角函数有如下的公式：
sin(α±β)=sinαcsβ±csαsinβ，
tan(α±β)=eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°=tan(45°－30°)=eq \f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)=eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋1×\f(\r(3),3))=eq \f(（3－\r(3)）（3－\r(3)）,（3＋\r(3)）（3－\r(3)）)
=eq \f(12－6\r(3),6)=2－eq \r(3).
根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算sin15°的值；
解：sin15°=sin(45°－30°)=sin45°cs30°－cs45°sin30°
=eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)=eq \f(\r(6)－\r(2),4).
19．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；
(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间．(结果精确到0.1小时．参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)
解：(1)过点M作MD⊥AB于点D，
∵∠AME=45°，
∴∠AMD=∠MAD=45°.
∵AM=180海里，
∴MD=AMcs45°=90eq \r(2)(海里)．
答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90eq \r(2)海里．
(2)在Rt△DMB中，∵∠BMF=60°，
∴∠DMB=30°.
∵MD=90eq \r(2)海里，∴MB=eq \f(MD,cs30°)=60eq \r(6)(海里)．
∴60eq \r(6)÷20=3eq \r(6)≈3×2.45=7.35≈7.4(小时)．
答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．
20．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，
某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面
的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精
确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cs25°≈0.9，tan25°≈0.5，eq \r(3)≈1.7)
解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．
Rt△ADC中，∠DAC=25°，tan25°=eq \f(CD,AD)=0.5，∴AD=eq \f(CD,0.5)=2x.
Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°=eq \f(x,2x－4)=eq \r(3)，解得x≈3.
∴生命迹象所在位置C的深度约为3米．
21．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A，B两船相距100(√3+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.
（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）；
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据:√2≈1.41，√3≈1.73）
解：（1）如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE·tan60°=√3x，在Rt△BCE中，BE=CE=√3x.
∴AE+BE=x+eq \r(3)x=100(eq \r(3)+1），
解得：x=100，
∴AC=2x=200.
在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°.
过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=eq \r(3)y，
∴AC=y+eq \r(3)y=200，
解得：y=100(eq \r(3)-1)，
∴AD=2y=200(eq \r(3)-1).
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200(eq \r(3)-1)海里.
（2）由（1）可知，DF=eq \r(3)AF=eq \r(3)×100(eq \r(3)-1)≈127（海里）
∵127＞100，
∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险.
22．如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB=BD=600 m，α=75°，β=45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，eq \r(2)≈1.41)
解：在Rt△ABC中，∵AB=600 m，∠ABC=75°，
∴BC=AB·cs75°≈600×0.26=156 (m)．
在Rt△BDF中，∵∠DBF=45°，
∴DF=BD·sin45°=600×eq \f(\r(2),2)≈300×1.41=423(m)．
∵四边形BCEF是矩形，
∴EF=BC=156 m.
∴DE=DF＋EF=423＋156=579(m)．
23． 已知：如图，直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A
点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．
（1）求AE的长及sin∠BEC的值；
（2）求△CDE的面积．
解：作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，
又∵点C是OB中点，
∴OC=BC=6，CF=BF=3 SKIPIF 1 < 0 ，
设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=12 SKIPIF 1 < 0 -3 SKIPIF 1 < 0 -x=9 SKIPIF 1 < 0 -x，
在RT△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（9 SKIPIF 1 < 0 -x）2+（3 SKIPIF 1 < 0 ）2，
解得：x=5 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得sin∠BEC=CFCE= SKIPIF 1 < 0 ，AE=5 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）过点E作EM⊥OA于点M，
则S△CDE=S△AED= SKIPIF 1 < 0 AD•EM
= SKIPIF 1 < 0 AD×AEsin∠EAM= SKIPIF 1 < 0 AD•AE×sin45°= SKIPIF 1 < 0 AD×AE，
设AD=y，则CD=y，OD=12-y，
在RT△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，
解得：y= SKIPIF 1 < 0 ，即AD= SKIPIF 1 < 0 ，
故S△CDE=S△AED= SKIPIF 1 < 0 AD×AE= SKIPIF 1 < 0 ．
A. eq \f(\r(5),3)
B. eq \f(2\r(5),5)
C. eq \f(\r(5),2)
D. eq \f(2,3)
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
A．4
B．2eq \r(3)
C．8
D．4eq \r(3)
A．sin∠APC
B．cs∠APC
C．tan∠APC
D． SKIPIF 1 < 0
A. eq \r(3)
B. eq \f(\r(5),5)
C. eq \f(2\r(5),5)
D．2
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．5 SKIPIF 1 < 0
A. eq \f(4,3)
B. eq \f(3,5)
C. eq \f(3,4)
D. eq \f(4,5)
A．2
B.eq \f(4\r(3),3)
C．2eq \r(2)
D．4eq \r(3)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
D
D
C
C
B
B
A. eq \f(\r(5),3)
B. eq \f(2\r(5),5)
C. eq \f(\r(5),2)
D. eq \f(2,3)
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
A．4
B．2eq \r(3)
C．8
D．4eq \r(3)
A．sin∠APC
B．cs∠APC
C．tan∠APC
D． SKIPIF 1 < 0
A. eq \r(3)
B. eq \f(\r(5),5)
C. eq \f(2\r(5),5)
D．2
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．5 SKIPIF 1 < 0
A. eq \f(4,3)
B. eq \f(3,5)
C. eq \f(3,4)
D. eq \f(4,5)
A．2
B.eq \f(4\r(3),3)
C．2eq \r(2)
D．4eq \r(3)
1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D.若AC=eq \r(5)，BC=2，则sin∠ACD的值为（ ）
2．在△ABC中，若|sinA-12|+(csB- SKIPIF 1 < 0 )2=0，则∠C=（ ）
3．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=eq \f(1,2)，则AB的长是（ ）
4．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD、BC相交于P点，那么 SKIPIF 1 < 0 的值为（ ）
5．已知抛物线y=－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan∠CAB的值为（ ）
6．在△ABC中，若|sinA－eq \f(1,2)|＋(csB－eq \f(1,2))2=0，则∠C的度数是（ ）
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ ）
8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（ ）
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（ ）
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=12．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF= ．
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF 为折痕．若AE=3，则sin∠BFD的值为 ．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=eq \f(1,4)，则线段AC的长为 ．
14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=eq \r(6)，则AE= ．
三、解答题
15．计算：|－eq \r(3)|＋eq \r(2)sin45°＋tan60°－(－eq \f(1,3))－1－eq \r(12)＋(π－3)0.
16．已知α为锐角，且tanα是方程x2＋2x－3=0的一个根，求2sin2α＋cs2α－eq \r(3)tan(α＋15°)的值．
17．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果eq \f(AB,BC)=eq \f(2,3)，求tan∠DCF的值．
18．阅读材料：
关于三角函数有如下的公式：
sin(α±β)=sinαcsβ±csαsinβ，
tan(α±β)=eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°=tan(45°－30°)=eq \f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)=eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋1×\f(\r(3),3))=eq \f(（3－\r(3)）（3－\r(3)）,（3＋\r(3)）（3－\r(3)）)
=eq \f(12－6\r(3),6)=2－eq \r(3).
根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算sin15°的值；
19．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；
(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间．(结果精确到0.1小时．参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)
20．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cs25°≈0.9，tan25°≈0.5，eq \r(3)≈1.7)
21．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A，B两船相距100(√3+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.
（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果结果有根号，请保留根号）；
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据:√2≈1.41，√3≈1.73）
22．如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB=BD=600 m，α=75°，β=45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，eq \r(2)≈1.41)
23． 已知：如图，直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．
（1）求AE的长及sin∠BEC的值；
（2）求△CDE的面积．
得 分
评卷人
参 考 答 案
姓名 成绩
一、选择题（本大题10小题，每小题4分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题意的，请将该选项的标号填入表格内）
1．如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D.若AC=eq \r(5)，BC=2，则sin∠ACD的值为（ A ）
第1题图 第3题图 第4题图
2．在△ABC中，若|sinA-12|+(csB- SKIPIF 1 < 0 )2=0，则∠C=（ D ）
3．如图，以点O为圆心的两个圆中，大圆的弦AB切小圆于点C，OA交小圆于点D，若OD=2，tan∠OAB=eq \f(1,2)，则AB的长是（ C ）
4．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦AD、BC相交于P点，那么 SKIPIF 1 < 0 的值为（ B ）
5．已知抛物线y=－x2－2x＋3与x轴交于A，B两点，将这条抛物线的顶点记为C，连接AC，BC，则tan∠CAB的值为（ D ）
6．在△ABC中，若|sinA－eq \f(1,2)|＋(csB－eq \f(1,2))2=0，则∠C的度数是（ D ）
7．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，E为AB上一点且AE：EB=4：1，EF⊥AC于F，连接FB，则tan∠CFB的值等于（ C ）
第7题图 第8题图 第9题图
8．如图，在矩形ABCD中，点E在AB边上，沿CE折叠矩形ABCD，使点B落在AD边上的点F处，若AB=4，BC=5，则tan∠AFE的值为（ C ）
9．如图，在△ABC中，∠C=90°，∠B=60°，D是AC上一点，DE⊥AB于E，且CD=2，DE=1，则BC的长为（ B ）
10．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AB=10，tanA=12．点P是斜边AB上一个动点．过点P作PQ⊥AB，垂足为P，交边AC（或边CB）于点Q，设AP=x，△APQ的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（ B ）
A． B． C． D．
得 分
评卷人
二、填空题（每题5分，共20分）
11．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin∠ECF= eq \f(4,5) ．
第11题图 第12题图 第13题图 第14题图
12．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，将△ABC折叠，使点A落在BC边上的点D处，EF 为折痕．若AE=3，则sin∠BFD的值为 eq \f(1,3) ．
13．如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD是⊙O的直径，若⊙O的半径是4，sinB=eq \f(1,4)，则线段AC的长为 2 ．
14．如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，∠DAB=∠CDB=90°，∠ABD=45°，∠DCA=30°，AB=eq \r(6)，则AE= 2 ．
得 分
评卷人
三、解答题（共90分）
15．计算：
|－eq \r(3)|＋eq \r(2)sin45°＋tan60°－(－eq \f(1,3))－1－eq \r(12)＋(π－3)0.
解：原式=eq \r(3)＋eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＋eq \r(3)－(－3)－2eq \r(3)＋1
=eq \r(3)＋1＋eq \r(3)＋3－2eq \r(3)＋1
=5.
16．已知α为锐角，且tanα是方程x2＋2x－3=0的一个根，求2sin2α＋cs2α－eq \r(3)tan(α＋15°)的值．
解：解方程x2＋2x－3=0，得x1=1，x2=－3.
∵tanα＞0，∴tanα=1.∴α=45°.
∴2sin2α＋cs2α－eq \r(3)tan(α＋15°)
=2sin245°＋cs245°－eq \r(3)tan(45°＋15°)
=2sin245°＋cs245°－eq \r(3)tan60°
=2×(eq \f(\r(2),2))2＋(eq \f(\r(2),2))2－eq \r(3)×eq \r(3)
=－eq \f(3,2).
17．如图，将矩形ABCD沿CE折叠，点B恰好落在边AD的F处，如果eq \f(AB,BC)=eq \f(2,3)，求tan∠DCF的值．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB=CD，∠D=90°.
∵eq \f(AB,BC)=eq \f(2,3)，且由折叠知CF=BC，
∴eq \f(CD,CF)=eq \f(2,3).
设CD=2x，CF=3x(x>0)，
∴DF=eq \r(CF2－CD2)=eq \r(5)x.
∴tan∠DCF=eq \f(DF,CD)=eq \f(\r(5)x,2x)=eq \f(\r(5),2).
18．阅读材料：
关于三角函数有如下的公式：
sin(α±β)=sinαcsβ±csαsinβ，
tan(α±β)=eq \f(tanα±tanβ,1∓tanαtanβ).
利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值．
例：tan15°=tan(45°－30°)=eq \f(tan45°－tan30°,1＋tan45°tan30°)=eq \f(1－\f(\r(3),3),1＋1×\f(\r(3),3))=eq \f(（3－\r(3)）（3－\r(3)）,（3＋\r(3)）（3－\r(3)）)
=eq \f(12－6\r(3),6)=2－eq \r(3).
根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算sin15°的值；
解：sin15°=sin(45°－30°)=sin45°cs30°－cs45°sin30°
=eq \f(\r(2),2)×eq \f(\r(3),2)－eq \f(\r(2),2)×eq \f(1,2)=eq \f(\r(6)－\r(2),4).
19．如图，一艘渔船位于小岛M的北偏东45°方向、距离小岛180海里的A处，渔船从A处沿正南方向航行一段距离后，到达位于小岛南偏东60°方向的B处．
(1)求渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离(结果用根号表示)；
(2)若渔船以20海里/小时的速度从B沿BM方向行驶，求渔船从B到达小岛M的航行时间．(结果精确到0.1小时．参考数据：eq \r(2)≈1.41，eq \r(3)≈1.73，eq \r(6)≈2.45)
解：(1)过点M作MD⊥AB于点D，
∵∠AME=45°，
∴∠AMD=∠MAD=45°.
∵AM=180海里，
∴MD=AMcs45°=90eq \r(2)(海里)．
答：渔船从A到B的航行过程中与小岛M之间的最小距离是90eq \r(2)海里．
(2)在Rt△DMB中，∵∠BMF=60°，
∴∠DMB=30°.
∵MD=90eq \r(2)海里，∴MB=eq \f(MD,cs30°)=60eq \r(6)(海里)．
∴60eq \r(6)÷20=3eq \r(6)≈3×2.45=7.35≈7.4(小时)．
答：渔船从B到达小岛M的航行时间约为7.4小时．
20．某国发生8.1级强烈地震，我国积极组织抢险队赴地震灾区参与抢险工作．如图，
某探测队在地面A，B两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面
的夹角分别是25°和60°，且AB=4米，求该生命迹象所在位置C的深度．(结果精
确到1米．参考数据：sin25°≈0.4，cs25°≈0.9，tan25°≈0.5，eq \r(3)≈1.7)
解：作CD⊥AB交AB延长线于D，设CD=x米．
Rt△ADC中，∠DAC=25°，tan25°=eq \f(CD,AD)=0.5，∴AD=eq \f(CD,0.5)=2x.
Rt△BDC中，∠DBC=60°，由tan 60°=eq \f(x,2x－4)=eq \r(3)，解得x≈3.
∴生命迹象所在位置C的深度约为3米．
21．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A，B两艘巡逻船，现均收到故障船C的求救信号.已知A，B两船相距100(√3+1)海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上.
（1）分别求出A与C，A与D间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）；
（2）已知距观测点D处100海里范围内有暗礁，若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触礁的危险？（参考数据:√2≈1.41，√3≈1.73）
解：（1）如图，作CE⊥AB，由题意得：∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE·tan60°=√3x，在Rt△BCE中，BE=CE=√3x.
∴AE+BE=x+eq \r(3)x=100(eq \r(3)+1），
解得：x=100，
∴AC=2x=200.
在△ACD中，∠DAC=60°，∠ADC=75°，则∠ACD=45°.
过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=eq \r(3)y，
∴AC=y+eq \r(3)y=200，
解得：y=100(eq \r(3)-1)，
∴AD=2y=200(eq \r(3)-1).
答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200(eq \r(3)-1)海里.
（2）由（1）可知，DF=eq \r(3)AF=eq \r(3)×100(eq \r(3)-1)≈127（海里）
∵127＞100，
∴巡逻船A沿直线AC航线，在去营救的途中没有触暗礁危险.
22．如图，游客在点A处坐缆车出发，沿A－B－D的路线可至山顶D处，假设AB和BD都是直线段，且AB=BD=600 m，α=75°，β=45°，求DE的长．(参考数据：sin75°≈0.97，cs75°≈0.26，eq \r(2)≈1.41)
解：在Rt△ABC中，∵AB=600 m，∠ABC=75°，
∴BC=AB·cs75°≈600×0.26=156 (m)．
在Rt△BDF中，∵∠DBF=45°，
∴DF=BD·sin45°=600×eq \f(\r(2),2)≈300×1.41=423(m)．
∵四边形BCEF是矩形，
∴EF=BC=156 m.
∴DE=DF＋EF=423＋156=579(m)．
23． 已知：如图，直线y=-x+12分别交x轴、y轴于A、B点，将△AOB折叠，使A
点恰好落在OB的中点C处，折痕为DE．
（1）求AE的长及sin∠BEC的值；
（2）求△CDE的面积．
解：作CF⊥BE于F点，由函数解析式可得点B（0，12），点A（12，0），∠A=∠B=45°，
又∵点C是OB中点，
∴OC=BC=6，CF=BF=3 SKIPIF 1 < 0 ，
设AE=CE=x，则EF=AB-BF-AE=12 SKIPIF 1 < 0 -3 SKIPIF 1 < 0 -x=9 SKIPIF 1 < 0 -x，
在RT△CEF中，CE2=CF2+EF2，即x2=（9 SKIPIF 1 < 0 -x）2+（3 SKIPIF 1 < 0 ）2，
解得：x=5 SKIPIF 1 < 0 ，
故可得sin∠BEC=CFCE= SKIPIF 1 < 0 ，AE=5 SKIPIF 1 < 0 ；
（2）过点E作EM⊥OA于点M，
则S△CDE=S△AED= SKIPIF 1 < 0 AD•EM
= SKIPIF 1 < 0 AD×AEsin∠EAM= SKIPIF 1 < 0 AD•AE×sin45°= SKIPIF 1 < 0 AD×AE，
设AD=y，则CD=y，OD=12-y，
在RT△OCD中，OC2+OD2=CD2，即62+（12-y）2=y2，
解得：y= SKIPIF 1 < 0 ，即AD= SKIPIF 1 < 0 ，
故S△CDE=S△AED= SKIPIF 1 < 0 AD×AE= SKIPIF 1 < 0 ．
A. eq \f(\r(5),3)
B. eq \f(2\r(5),5)
C. eq \f(\r(5),2)
D. eq \f(2,3)
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
A．4
B．2eq \r(3)
C．8
D．4eq \r(3)
A．sin∠APC
B．cs∠APC
C．tan∠APC
D． SKIPIF 1 < 0
A. eq \r(3)
B. eq \f(\r(5),5)
C. eq \f(2\r(5),5)
D．2
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．5 SKIPIF 1 < 0
A. eq \f(4,3)
B. eq \f(3,5)
C. eq \f(3,4)
D. eq \f(4,5)
A．2
B.eq \f(4\r(3),3)
C．2eq \r(2)
D．4eq \r(3)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
A
D
C
B
D
D
C
C
B
B
A. eq \f(\r(5),3)
B. eq \f(2\r(5),5)
C. eq \f(\r(5),2)
D. eq \f(2,3)
A. 30°
B. 60°
C. 90°
D. 120°
A．4
B．2eq \r(3)
C．8
D．4eq \r(3)
A．sin∠APC
B．cs∠APC
C．tan∠APC
D． SKIPIF 1 < 0
A. eq \r(3)
B. eq \f(\r(5),5)
C. eq \f(2\r(5),5)
D．2
A．30°
B．45°
C．60°
D．90°
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0
D．5 SKIPIF 1 < 0
A. eq \f(4,3)
B. eq \f(3,5)
C. eq \f(3,4)
D. eq \f(4,5)
A．2
B.eq \f(4\r(3),3)
C．2eq \r(2)
D．4eq \r(3)
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