高考数学一轮复习总教案：6.1　数列的概念与简单表示法

第六章     数   列

高考导航

知识网络

6.1　数列的概念与简单表示法

[来源:数理化网]

典例精析

题型一　归纳、猜想法求数列通项

【例1】根据下列数列的前几项，分别写出它们的一个通项公式：

 (1)7,77,777,7 777，…

(2)，－，，－，…

(3)1,3,3,5,5,7,7,9,9，…

【解析】(1)将数列变形为·(10－1)，(102－1)，(103－1)，…，(10n－1)，

故an＝(10n－1).

(2)分开观察，正负号由(－1)n＋1确定，分子是偶数2n，分母是1×3,3×5,5×7， …，(2n－1)(2n＋1)，故数列的通项公式可写成an＝(－1)n＋1.

(3)将已知数列变为1＋0,2＋1,3＋0,4＋1,5＋0,6＋1,7＋0,8＋1,9＋0，….

故数列的通项公式为an＝n＋.

【点拨】联想与转换是由已知认识未知的两种有效的思维方法，观察归纳是由特殊到一般的有效手段，本例的求解关键是通过分析、比较、联想、归纳、转换获得项与项序数的一般规律，从而求得通项.

【变式训练1】如下表定义函数f(x)：

对于数列{an}，a1＝4，an＝f(an－1)，n＝2,3,4，…，则a2 008的值是(　　)

A.1     B.2     C.3     D.4

【解析】a1＝4，a2＝1，a3＝5，a4＝2，a5＝4，…，可得an＋4＝an.

所以a2 008＝a4＝2，故选B.

题型二　应用an＝求数列通项

【例2】已知数列{an}的前n项和Sn，分别求其通项公式：

(1)Sn＝3n－2；

(2)Sn＝(an＋2)2 (an＞0).

【解析】(1)当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1，

又a1＝1不适合上式，

故an＝

 (2)当n＝1时，a1＝S1＝(a1＋2)2，解得a1＝2，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(an＋2)2－(an－1＋2)2，

所以(an－2)2－(an－1＋2)2＝0，所以(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0，

又an＞0，所以an－an－1＝4，

可知{an}为等差数列，公差为4，

所以an＝a1＋(n－1)d＝2＋(n－1)·4＝4n－2，

a1＝2也适合上式，故an＝4n－2.

【点拨】本例的关键是应用an＝求数列的通项，特别要注意验证a1的值是否满足“n≥2”的一般性通项公式.

【变式训练2】已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是(　　)

A.2n－1    B.()n－1    C.n2     D.n

【解析】由an＝n(an＋1－an)⇒＝.

所以an＝××…×＝××…××＝n，故选D.

题型三　利用递推关系求数列的通项

【例3】已知在数列{an}中a1＝1，求满足下列条件的数列的通项公式：

(1)an＋1＝；(2)an＋1＝2an＋2n＋1.

【解析】(1)因为对于一切n∈N*，an≠0，

因此由an＋1＝得＝＋2，即－＝2.

所以{}是等差数列，＝＋(n－1)·2＝2n－1，即an＝.

(2)根据已知条件得＝＋1，即－＝1.

所以数列{}是等差数列，＝＋(n－1)＝，即an＝(2n－1)·2n－1.

【点拨】通项公式及递推关系是给出数列的常用方法，尤其是后者，可以通过进一步的计算，将其进行转化，构造新数列求通项，进而可以求得所求数列的通项公式.

【变式训练3】设{an}是首项为1的正项数列，且(n＋1)·a－na＋an＋1an＝0(n＝1,2,3，…)，求an.

【解析】因为数列{an}是首项为1的正项数列，

所以anan＋1≠0，所以－＋1＝0，

令＝t，所以(n＋1)t2＋t－n＝0，

所以[(n＋1)t－n](t＋1)＝0，

得t＝或t＝－1(舍去)，即＝.

所以····…·＝····…·，所以an＝.

总结提高

1.给出数列的前几项求通项时，常用特征分析法与化归法，所求通项不唯一.

2.由Sn求an时，要分n＝1和n≥2两种情况.

3.给出Sn与an的递推关系，要求an，常用思路是：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.

天星教育网  来源：天星教育 

Tesoon 

 www.shulihua.net

来源：天~星~教~育~网