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2021年九年级中考数学复习试卷三（含答案）
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2021年九年级中考数学复习试卷
一、选择题
1．下列二次根式中，的同类根式是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2=19 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+4）2=19
3．圆锥体是由下列哪个图形绕自身的对称轴旋转一周得到的（ ）
A．正方形 B．等腰三角形 C．圆 D．等腰梯形
4．在下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A．了解我省中学生的视力情况
B．了解七（1）班学生校服的尺码情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命
D．调查安徽卫视《第一时间》栏目的收视率
5．已知抛物线y=x2+x﹣1经过点P（m，5），则代数式m2+m+2016的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
6．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（ ）
A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2
7．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADC与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．CB2=CD•CA D．AB2=AD•AC
8．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）
A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高
9．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③
二、填空题
11．用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过4×10﹣5秒到达另一座山峰，已知光速为3×108米/秒，则这两座山峰之间的距离用科学记数法表示为 米．
12．一个正偶数的算术平方根是m，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 ．
13．函数的自变量x的取值范围是 ．
14．已知一个二次函数的图象在y轴左侧部分是上升的，在y轴右侧部分是下降的，又经过点A（1，1）．那么这个二次函数的解析式可以是 （写出符合要求的一个解析式即可）．
15．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是 ．
16．⊙O的半径为5cm，两条弦AB∥CD，AB=8cm、CD=6cm，则两条弦之间的距离为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，斜边上的高AD=3，cosB=，则AC= ．
18．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m．
19．某商品经过两次降价，零售价降为原来的一半．若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ．
三、解答题
21．计算：
（1） （2）+|﹣2|
22．解方程：2（x﹣2）2=（x﹣2）
23．先化简，再求值：，其中x=﹣1．
24．如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（﹣4，4），
（﹣1，3），并写出点B的坐标为 ；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；
（3）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
25．自从北京获得2008年夏季奥运会申办权以来，奥运知识在我国不断传播，小刚就本班学生的对奥运知识的了解程度进行了一次调查统计．A：熟悉，B：了解较多，C：一般了解．图1和图2是他采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）求该班共有多少名学生？
（2）在条形图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果全年级共1000名同学，请你估算全年级对奥运知识“了解较多”的学生人数．
26．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+sin2B1= ；sin2A2+sin2B2= ；sin2A3+sin2B3= ．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= ．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．
27．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，且E是BF中点，连接DE，CF交AD于G，．
（1）求证：△AFG∽△AED；
（2）若FG=3，G为AD中点，求CG的长．
28．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值．
29．人民商场经营某种品牌的服装，购进时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是50元时，销售量是400件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件服装．
（1）设该种品牌服装的销售单价为x元（x＞50），销售量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
（2）若商场获得了6000元销售利润，该服装销售单价x应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若该商场要完成不少于350件的销售任务，求商场销售该品牌服装获得的最大利润是多少？
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
（3）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．下列二次根式中，的同类根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为2者即可．
【解答】解：A、=2，与的被开方数不同，故本选项错误；
B、与的被开方数不同，故本选项错误；
C、=2，与的被开方数相同，故本选项正确；
D、与的被开方数不同，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了同类二次根式的知识，要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断．
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2=19 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+4）2=19
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】移项，再配方，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣4x﹣3=0，
x2﹣4x=3，
x2﹣4x+4=3+4，
（x﹣2）2=7，
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，难度适中．
3．圆锥体是由下列哪个图形绕自身的对称轴旋转一周得到的（ ）
A．正方形 B．等腰三角形 C．圆 D．等腰梯形
【考点】点、线、面、体．
【分析】根据圆锥柱体的特征得出沿着等腰三角形的一条对称轴旋转一周得到的立休图形是一个圆锥柱．
【解答】解：沿着等腰三角形的一条对称轴旋转一周得到的立休图形是一个圆锥体；
故选：B．
【点评】此题主要考查圆锥的特征，明确等腰三角形绕对称轴旋转一周，可以得到一个圆锥．
4．在下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A．了解我省中学生的视力情况
B．了解七（1）班学生校服的尺码情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命
D．调查安徽卫视《第一时间》栏目的收视率
【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解我省中学生的视力情况，调查范围广，适合抽样调查，故A错误；
B、了解七（1）班学生校服的尺码情况，适合普查，故B正确；
C、检测一批电灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误；
D、调查安徽卫视《第一时间》栏目的收视率，调查范围广，适合抽样调查，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．已知抛物线y=x2+x﹣1经过点P（m，5），则代数式m2+m+2016的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把点P的坐标代入抛物线解析式求出m2+m的值，然后求解即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2+x﹣1经过点P（m，5），
∴m2+m﹣1=5，
∴m2+m=6，
∴m2+m+2016=6+2016=2022．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把m2+m看作一个整体并求出其值是解题的关键．
6．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（ ）
A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2
【考点】切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．
【专题】应用题．
【分析】由BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，得到OA⊥CA，OB⊥BC，又∠C=90°，OA=OB，推出四边形AOBC是正方形，得到OA=AC=4，故A，B正确；根据扇形的弧长、面积的计算公式求出结果即可进行判断．
【解答】解：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，
∴OA⊥CA，OB⊥BC，
又∵∠C=90°，OA=OB，
∴四边形AOBC是正方形，
∴OA=AC=4，故A，B正确；
∴的长度为： =2π，故C错误；
S扇形OAB==4π，故D正确．
故选C．
【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，扇形的弧长、面积的计算，熟记计算公式是解题的关键．
7．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADC与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．CB2=CD•CA D．AB2=AD•AC
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当=时，即AB2=AD•AC，则△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故D正确；
当=时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
故C错误．
故选C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
8．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）
A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】利用所给角的正弦值求出每个小朋友放的风筝高度，比较即可．
【解答】解：甲放的高度为：300×sin30°=150米．
乙放的高度为：250×sin45°=125≈176.75米．
丙放的高度为：200×sin60°=100≈173.2米．
所以乙的最高．
故选D．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的运用及多方案的选择能力．
9．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD
【考点】垂径定理；圆周角定理．
【分析】根据垂径定理得出=， =，根据以上结论判断即可．
【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AC=AB，故A选项错误；
B、∵直径CD⊥弦AB，
∴=，
∵对的圆周角是∠C，对的圆心角是∠BOD，
∴∠BOD=2∠C，故B选项正确；
C、不能推出∠C=∠B，故C选项错误；
D、不能推出∠A=∠BOD，故D选项错误；
故选：B
【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是根据学生的推理能力和辨析能力来分析．
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
故①正确
由图象可知：对称轴x=﹣=﹣1，
∴2a﹣b=0，
故②错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0
由图象可知：当x=1时y=0，
∴a+b+c=0；
故③错误；
由图象可知：若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
故④正确．
故选B
【点评】此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题
11．用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过4×10﹣5秒到达另一座山峰，已知光速为3×108米/秒，则这两座山峰之间的距离用科学记数法表示为 1.2×104 米．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4×10﹣5×3×108=1.2×104，
故答案为：1.2×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．一个正偶数的算术平方根是m，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 ．
【考点】算术平方根．
【分析】设这个正偶数为x，根据题意得到=m，则x=m2，易得和这个正偶数相邻的下一个偶数为m2+2，再根据算术平方根的定义易得和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根．
【解答】解：设这个正偶数为x，则=m，
所以x=m2，
则和这个正偶数相邻的下一个偶数为m2+2，
所以和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根，
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，解决本题的关键是熟记一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根．
13．函数的自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠1 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x+4≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
14．已知一个二次函数的图象在y轴左侧部分是上升的，在y轴右侧部分是下降的，又经过点A（1，1）．那么这个二次函数的解析式可以是 y=﹣x2+2（答案不唯一） （写出符合要求的一个解析式即可）．
【考点】二次函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】设出符合条件的函数解析式，再根据二次函数的图象在y轴左侧部分是上升的，在y轴右侧部分是下降的可知该函数图象的开口向下，对称轴为y轴，即a＜0，b=0，再把A（1，1）代入，得出符合条件的函数解析式即可．
【解答】解：设出符合条件的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），
∵二次函数的图象在y轴左侧部分是上升的，在y轴右侧部分是下降的，
∴该函数图象的开口向下，对称轴为y轴，即a＜0，b=0，
∵函数图象经过A（1，1），
∴a+c=1，
∴a=﹣1时，c=2，
∴符合条件的二次函数解析式可以为：y=﹣x2+2（答案不唯一）．
故答案为：y=﹣x2+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，先根据题意设出函数解析式，再根据二次函数的性质判断出a的符号及对称轴是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一．
15．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是 ．
【考点】概率公式；中心对称图形．
【分析】让有中心对称图案的卡片的情况数除以总情况数即为所求的概率
【解答】解：根据概率的求简单事件的概率的计算及中心对称图形概念的理解；理论上抽到中心对称图案卡片的概率是中心对称图案的卡片的个数除以所有所有卡片的个数，而中心对称图案有圆、矩形、菱形、正方形，所以概率为．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．绕某个点旋转180°后能与自身重合的图形叫中心对称图形．
16．⊙O的半径为5cm，两条弦AB∥CD，AB=8cm、CD=6cm，则两条弦之间的距离为 1cm或7cm ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】此题分为两种情况：两条平行弦在圆心的同侧或两条平行弦在圆心的两侧．根据垂径定理分别求得两条弦的弦心距，进一步求得两条平行弦间的距离．
【解答】解：如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD．
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=AB=4cm，CF=CD=3cm．
根据勾股定理，得
OE==3cm；OF==4cm，
①当AB和CD在圆心的同侧时，如图1，则EF=OF﹣OE=1cm；
②当AB和CD在圆心的两侧时，如图2，则EF=OE+OF=7cm；
则AB与CD间的距离为1cm或7cm．
故答案为1cm或7cm．
【点评】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意此题要考虑两种情况．
17．如图，在Rt△ABC中，斜边上的高AD=3，cosB=，则AC= ．
【考点】解直角三角形．
【分析】先根据等角的余角相等得到∠DAC=∠B，则cos∠DAC=cosB，在Rt△ADC中，根据余弦的定义得cos∠DAC==，然后把AD=3代入计算即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠B，
∴cos∠DAC=cosB，
在Rt△ADC中，cos∠DAC==，
而AD=3，
∴AC=．
故答案为．
【点评】本题考查了解直角三角形，解题的关键是将∠B的余弦值转化为∠DAC余弦值，从而将已知条件融合到一个直角三角形中求解．
18．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m．
【考点】平行投影；相似三角形的应用．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．
【解答】解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，
∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有=；即DC2=ED•FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故答案为：4．
【点评】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
19．某商品经过两次降价，零售价降为原来的一半．若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 （1﹣x）2= ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】设降价前的零售价为1，则降价后的零售价为，根据增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列出方程即可．
【解答】解：设降价前的零售价为1，则降价后的零售价为，
根据题意得：（1﹣x）2=，
故答案为：（1﹣x）2=．
【点评】此题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【考点】规律型：点的坐标．
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2015÷10=201…5，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第5个单位长度的位置，
即点C的位置，点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2015个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
三、解答题（90分）
21．计算：
（1）
（2）+|﹣2|
【考点】实数的运算．
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式利用特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=﹣4﹣3﹣3=﹣10；
（2）原式=﹣1+2﹣=﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．解方程：2（x﹣2）2=（x﹣2）
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】把右边的项移到左边后，利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：2（x﹣2）2=（x﹣2），
原方程化为2（x﹣2）2﹣（x﹣2）=0，
因式分解得：（x﹣2）（2x﹣4﹣1）=0，
因此：（x﹣2）=0，或（2x﹣4﹣1）=0，
解得：x1=2，x2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法﹣因式分解法；熟练掌握提取公因式法分解因式是解决问题的关键．
23．先化简，再求值：，其中x=﹣1．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】先利用因式分解把分式化简，再把数代入求值．
【解答】解：．
当x=﹣1时，原式=﹣1+1=．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．
24．如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（﹣4，4），
（﹣1，3），并写出点B的坐标为 （﹣2，1） ；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；
（3）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点作出坐标系，写出点B的坐标；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点，然后顺次连接，写出B1点的坐标；
（3）作点B关于y轴的对称点，连接AB1，与y轴的交点即为点P．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
B（﹣2，1）；
（2）所作图形如图所示：
B1（2，1）；
（3）所作的点如图所示，
P（0，2）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
25．自从北京获得2008年夏季奥运会申办权以来，奥运知识在我国不断传播，小刚就本班学生的对奥运知识的了解程度进行了一次调查统计．A：熟悉，B：了解较多，C：一般了解．图1和图2是他采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）求该班共有多少名学生？
（2）在条形图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果全年级共1000名同学，请你估算全年级对奥运知识“了解较多”的学生人数．
【考点】扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．
【专题】图表型．
【分析】（1）利用A所占的百分比和相应的频数即可求出；
（2）利用C所占的百分比和总人数求出C的频数即可；
（3）求出“了解较多”部分所占的比例，即可求出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（4）利用样本估计总体，即可求出全年级对奥运知识“了解较多”的学生大约有1000×（1﹣50%﹣20%）=300人．
【解答】解：（1）∵20÷50%=40（人），
答：该班共有40名学生；
（2）C：一般了解的人数为：40×20%=8（人），补充图如图所示：
（3）360°×（1﹣50%﹣20%）=108°，
所以在扇形统计图中，“了解较多”部分所对应的圆心角的度数为108°；
（4）1000×（1﹣50%﹣20%）=300，
所以全年级对奥运知识“了解较多”的学生大约有300人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图则能直接反映部分占总体的百分比大小．
26．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+sin2B1= 1 ；sin2A2+sin2B2= 1 ；sin2A3+sin2B3= 1 ．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= 1 ．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．
【考点】勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形．
【专题】几何综合题；规律型．
【分析】（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；
（3）利用关系式sin2A+sin2B=1，结合已知条件sinA=，进行求解．
【解答】解：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；
sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；
sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．
观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=，sinB=，
∴sin2A+sin2B=，
∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴sin2A+sin2B=1．
（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，
∴sinB==．
【点评】本题考查了在直角三角形中互余两角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．
27．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，且E是BF中点，连接DE，CF交AD于G，．
（1）求证：△AFG∽△AED；
（2）若FG=3，G为AD中点，求CG的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据AD是BC边上的中线，点E是BF中点，得到BD=CD，BE=EF，根据三角形的中位线的性质得到DE∥CF，即可得到结论；
（2）由G为AD中点，FG∥DE，得到AF=EF，求得DE=2FG=6，根据三角形的中位线的性质得到CF=2DE=12，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，点E是BF中点，
∴BD=CD，BE=EF，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥CF，
∴DE∥FG，
∴△AFG∽△AED；
（2）解：∵G为AD中点，FG∥DE，
∴AF=EF，
∴FG是△ADE的中位线，
∴DE=2FG=6，
∴CF=2DE=12，
∴CG=FC﹣FG=12﹣3=9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
28．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值．
【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】（1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由=，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，可得OC是△ABE的中位线，进而可得BE∥OP，BE=2OC=8，进而可证△DBE∽△DPO，进而可得：，从而求出BD的值，进而即可求出tanD的值．
【解答】（1）证明：连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，
即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵=，且OC=4，
∴AC=6，
∴AB=12，
在Rt△ACO中，
由勾股定理得：AO==2，
∴AE=2OA=4，OB=OA=2，
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴AC2=OC•PC，
解得：PC=9，
∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3，
∴PB=PA=3，
∵AC=BC，OA=OE，
∴OC=BE，OC∥BE，
∴BE=2OC=8，BE∥OP，
∴△DBE∽△DPO，
∴，
即，
解得：BD=，
在Rt△OBD中，
tan∠D===．
【点评】本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
29．盐阜人民商场经营某种品牌的服装，购进时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是50元时，销售量是400件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件服装．
（1）设该种品牌服装的销售单价为x元（x＞50），销售量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
（2）若商场获得了6000元销售利润，该服装销售单价x应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若该商场要完成不少于350件的销售任务，求商场销售该品牌服装获得的最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）直接利用销售单价是50元时，销售量是400件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件服装得出y与x值间的关系；
（2）利用销量×每件利润=6000，进而求出答案；
（3）利用销量×每件利润=总利润，再利用该商场要完成不少于350件的销售任务得出x的取值范围，进而得出二次函数最值．
【解答】解：（1）由题意可得：y=400﹣10（x﹣50）=900﹣10x；
（2）由题意可得：（900﹣10x）（x﹣40）=6000，
整理得：﹣10x2+1300x﹣36000=6000，
解得：x1=60，x2=70，
答：服装销售单价x应定为60元或70元时，商场可获得6000元销售利润；
（3）设利润为W，则
W=﹣10x2+1300x﹣36000
=﹣10（x﹣65）2+6250，
∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，
900﹣10x≥350，
解得：x≤55，
∴当50＜x≤55时，W随x增大而增大，
∴当x=55时，W最大值=5250（元），
答：商场销售该品牌服装获得的最大利润是5250元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法等知识，正确利用二次函数的性质得出二次函数最值是解题关键．
30．物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
（3）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将y=mx2﹣2mx﹣3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．
（3）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值．
【解答】解：（1）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y=0时，x1=﹣1，x2=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣1）2﹣4m，
顶点M坐标（1，﹣4m），
当x=0时，y=﹣3m，
∴D（0，﹣3m），B（3，0），
∴DM2=（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2=m2+1，
MB2=（3﹣1）2+（0+4m）2=16m2+4，
BD2=（3﹣0）2+（0+3m）2=9m2+9，
当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．
①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，
解得m=﹣1（∵m＜0，∴m=1舍去）；
②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，
解得m=﹣（m=舍去）．
综上，m=﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．
（3）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：
，解得，
故C1：y=x2﹣x﹣．
如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=x﹣，BC=．
设P（x， x2﹣x﹣），则Q（x， x﹣），
PQ=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，
S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•BC=×（﹣x2+x）×=﹣（x﹣）2+，
当x=时，S△PBC有最大值，Smax=，×（）2﹣﹣=﹣，
P（，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
一、选择题
1．下列二次根式中，的同类根式是（ ）
A． B． C． D．
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2=19 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+4）2=19
3．圆锥体是由下列哪个图形绕自身的对称轴旋转一周得到的（ ）
A．正方形 B．等腰三角形 C．圆 D．等腰梯形
4．在下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A．了解我省中学生的视力情况
B．了解七（1）班学生校服的尺码情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命
D．调查安徽卫视《第一时间》栏目的收视率
5．已知抛物线y=x2+x﹣1经过点P（m，5），则代数式m2+m+2016的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
6．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（ ）
A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2
7．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADC与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．CB2=CD•CA D．AB2=AD•AC
8．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）
A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高
9．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③
二、填空题
11．用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过4×10﹣5秒到达另一座山峰，已知光速为3×108米/秒，则这两座山峰之间的距离用科学记数法表示为 米．
12．一个正偶数的算术平方根是m，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 ．
13．函数的自变量x的取值范围是 ．
14．已知一个二次函数的图象在y轴左侧部分是上升的，在y轴右侧部分是下降的，又经过点A（1，1）．那么这个二次函数的解析式可以是 （写出符合要求的一个解析式即可）．
15．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是 ．
16．⊙O的半径为5cm，两条弦AB∥CD，AB=8cm、CD=6cm，则两条弦之间的距离为 ．
17．如图，在Rt△ABC中，斜边上的高AD=3，cosB=，则AC= ．
18．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 m．
19．某商品经过两次降价，零售价降为原来的一半．若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 ．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 ．
三、解答题
21．计算：
（1） （2）+|﹣2|
22．解方程：2（x﹣2）2=（x﹣2）
23．先化简，再求值：，其中x=﹣1．
24．如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（﹣4，4），
（﹣1，3），并写出点B的坐标为 ；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；
（3）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
25．自从北京获得2008年夏季奥运会申办权以来，奥运知识在我国不断传播，小刚就本班学生的对奥运知识的了解程度进行了一次调查统计．A：熟悉，B：了解较多，C：一般了解．图1和图2是他采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）求该班共有多少名学生？
（2）在条形图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果全年级共1000名同学，请你估算全年级对奥运知识“了解较多”的学生人数．
26．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+sin2B1= ；sin2A2+sin2B2= ；sin2A3+sin2B3= ．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= ．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．
27．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，且E是BF中点，连接DE，CF交AD于G，．
（1）求证：△AFG∽△AED；
（2）若FG=3，G为AD中点，求CG的长．
28．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值．
29．人民商场经营某种品牌的服装，购进时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是50元时，销售量是400件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件服装．
（1）设该种品牌服装的销售单价为x元（x＞50），销售量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
（2）若商场获得了6000元销售利润，该服装销售单价x应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若该商场要完成不少于350件的销售任务，求商场销售该品牌服装获得的最大利润是多少？
30．如图，在平面直角坐标系xOy中，A、B为x轴上两点，C、D为y轴上的两点，经过点A、C、B的抛物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
（3）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
一、选择题
1．下列二次根式中，的同类根式是（ ）
A． B． C． D．
【考点】同类二次根式．
【分析】根据同类二次根式的意义，将选项中的根式化简，找到被开方数为2者即可．
【解答】解：A、=2，与的被开方数不同，故本选项错误；
B、与的被开方数不同，故本选项错误；
C、=2，与的被开方数相同，故本选项正确；
D、与的被开方数不同，故本选项错误；
故选C．
【点评】本题考查了同类二次根式的知识，要判断几个根式是不是同类二次根式，须先化简根号里面的数，把非最简二次根式化成最简二次根式，然后判断．
2．用配方法解方程x2﹣4x﹣3=0，下列配方结果正确的是（ ）
A．（x﹣4）2=19 B．（x﹣2）2=7 C．（x+2）2=7 D．（x+4）2=19
【考点】解一元二次方程﹣配方法．
【分析】移项，再配方，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣4x﹣3=0，
x2﹣4x=3，
x2﹣4x+4=3+4，
（x﹣2）2=7，
故选B．
【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能正确配方，即方程两边都加上一次项系数一半的平方，难度适中．
3．圆锥体是由下列哪个图形绕自身的对称轴旋转一周得到的（ ）
A．正方形 B．等腰三角形 C．圆 D．等腰梯形
【考点】点、线、面、体．
【分析】根据圆锥柱体的特征得出沿着等腰三角形的一条对称轴旋转一周得到的立休图形是一个圆锥柱．
【解答】解：沿着等腰三角形的一条对称轴旋转一周得到的立休图形是一个圆锥体；
故选：B．
【点评】此题主要考查圆锥的特征，明确等腰三角形绕对称轴旋转一周，可以得到一个圆锥．
4．在下列调查中，适宜采用全面调查的是（ ）
A．了解我省中学生的视力情况
B．了解七（1）班学生校服的尺码情况
C．检测一批电灯泡的使用寿命
D．调查安徽卫视《第一时间》栏目的收视率
【考点】全面调查与抽样调查．
【分析】由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．
【解答】解：A、了解我省中学生的视力情况，调查范围广，适合抽样调查，故A错误；
B、了解七（1）班学生校服的尺码情况，适合普查，故B正确；
C、检测一批电灯泡的使用寿命，调查具有破坏性，适合抽样调查，故C错误；
D、调查安徽卫视《第一时间》栏目的收视率，调查范围广，适合抽样调查，故D错误；
故选：B．
【点评】本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．
5．已知抛物线y=x2+x﹣1经过点P（m，5），则代数式m2+m+2016的值为（ ）
A．2021 B．2022 C．2023 D．2024
【考点】二次函数图象上点的坐标特征．
【分析】把点P的坐标代入抛物线解析式求出m2+m的值，然后求解即可．
【解答】解：∵抛物线y=x2+x﹣1经过点P（m，5），
∴m2+m﹣1=5，
∴m2+m=6，
∴m2+m+2016=6+2016=2022．
故选B．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，把m2+m看作一个整体并求出其值是解题的关键．
6．如图，圆形铁片与直角三角尺、直尺紧靠在一起平放在桌面上．已知铁片的圆心为O，三角尺的直角顶点C落在直尺的10cm处，铁片与直尺的唯一公共点A落在直尺的14cm处，铁片与三角尺的唯一公共点为B，下列说法错误的是（ ）
A．圆形铁片的半径是4cm B．四边形AOBC为正方形
C．弧AB的长度为4πcm D．扇形OAB的面积是4πcm2
【考点】切线的性质；正方形的判定与性质；弧长的计算；扇形面积的计算．
【专题】应用题．
【分析】由BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，得到OA⊥CA，OB⊥BC，又∠C=90°，OA=OB，推出四边形AOBC是正方形，得到OA=AC=4，故A，B正确；根据扇形的弧长、面积的计算公式求出结果即可进行判断．
【解答】解：由题意得：BC，AC分别是⊙O的切线，B，A为切点，
∴OA⊥CA，OB⊥BC，
又∵∠C=90°，OA=OB，
∴四边形AOBC是正方形，
∴OA=AC=4，故A，B正确；
∴的长度为： =2π，故C错误；
S扇形OAB==4π，故D正确．
故选C．
【点评】本题考查了切线的性质，正方形的判定和性质，扇形的弧长、面积的计算，熟记计算公式是解题的关键．
7．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADC与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（ ）
A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C．CB2=CD•CA D．AB2=AD•AC
【考点】相似三角形的判定．
【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．
【解答】解：∵∠A是公共角，
∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似）；
故A与B正确；
当=时，即AB2=AD•AC，则△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似）；
故D正确；
当=时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，
故C错误．
故选C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定．此题难度不大，注意掌握有两角对应相等的三角形相似与两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似定理的应用．
8．身高相同的三个小朋友甲、乙、丙放风筝，他们放出的线长分别为300m，250m，200m；线与地面所成的角度分别为30°，45°，60°（假设风筝线是拉直的），则三人所放的风筝（ ）
A．甲的最高 B．乙的最低 C．丙的最低 D．乙的最高
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．
【分析】利用所给角的正弦值求出每个小朋友放的风筝高度，比较即可．
【解答】解：甲放的高度为：300×sin30°=150米．
乙放的高度为：250×sin45°=125≈176.75米．
丙放的高度为：200×sin60°=100≈173.2米．
所以乙的最高．
故选D．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的运用及多方案的选择能力．
9．如图，在⊙O中，直径CD⊥弦AB，则下列结论中正确的是（ ）
A．AC=AB B．∠C=∠BOD C．∠C=∠B D．∠A=∠BOD
【考点】垂径定理；圆周角定理．
【分析】根据垂径定理得出=， =，根据以上结论判断即可．
【解答】解：A、根据垂径定理不能推出AC=AB，故A选项错误；
B、∵直径CD⊥弦AB，
∴=，
∵对的圆周角是∠C，对的圆心角是∠BOD，
∴∠BOD=2∠C，故B选项正确；
C、不能推出∠C=∠B，故C选项错误；
D、不能推出∠A=∠BOD，故D选项错误；
故选：B
【点评】本题考查了垂径定理的应用，关键是根据学生的推理能力和辨析能力来分析．
10．如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A（﹣3，0），对称轴为直线x=﹣1，给出四个结论：
①b2＞4ac；②2a+b=0；③a+b+c＞0；④若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
其中正确结论是（ ）
A．②④ B．①④ C．①③ D．②③
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【专题】压轴题．
【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
【解答】解：∵抛物线的开口方向向下，
∴a＜0；
∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2﹣4ac＞0，即b2＞4ac，
故①正确
由图象可知：对称轴x=﹣=﹣1，
∴2a﹣b=0，
故②错误；
∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，
∴c＞0
由图象可知：当x=1时y=0，
∴a+b+c=0；
故③错误；
由图象可知：若点B（﹣，y1）、C（﹣，y2）为函数图象上的两点，则y1＜y2，
故④正确．
故选B
【点评】此题考查二次函数的性质，解答本题关键是掌握二次函数y=ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题
11．用激光测距仪测量两座山峰之间的距离，从一座山峰发出的激光经过4×10﹣5秒到达另一座山峰，已知光速为3×108米/秒，则这两座山峰之间的距离用科学记数法表示为 1.2×104 米．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．
【解答】解：4×10﹣5×3×108=1.2×104，
故答案为：1.2×104．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
12．一个正偶数的算术平方根是m，则和这个正偶数相邻的下一个正偶数的算术平方根是 ．
【考点】算术平方根．
【分析】设这个正偶数为x，根据题意得到=m，则x=m2，易得和这个正偶数相邻的下一个偶数为m2+2，再根据算术平方根的定义易得和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根．
【解答】解：设这个正偶数为x，则=m，
所以x=m2，
则和这个正偶数相邻的下一个偶数为m2+2，
所以和这个正偶数相邻的下一个偶数的算术平方根，
故答案为：．
【点评】本题考查了算术平方根的定义，解决本题的关键是熟记一个正数的正的平方根叫这个数的算术平方根．
13．函数的自变量x的取值范围是 x≥﹣2且x≠1 ．
【考点】函数自变量的取值范围．
【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．
【解答】解：根据题意得，2x+4≥0且x﹣1≠0，
解得x≥﹣2且x≠1．
故答案为：x≥﹣2且x≠1．
【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：
（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；
（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；
（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负数．
14．已知一个二次函数的图象在y轴左侧部分是上升的，在y轴右侧部分是下降的，又经过点A（1，1）．那么这个二次函数的解析式可以是 y=﹣x2+2（答案不唯一） （写出符合要求的一个解析式即可）．
【考点】二次函数的性质．
【专题】开放型．
【分析】设出符合条件的函数解析式，再根据二次函数的图象在y轴左侧部分是上升的，在y轴右侧部分是下降的可知该函数图象的开口向下，对称轴为y轴，即a＜0，b=0，再把A（1，1）代入，得出符合条件的函数解析式即可．
【解答】解：设出符合条件的函数解析式为：y=ax2+bx+c（a≠0），
∵二次函数的图象在y轴左侧部分是上升的，在y轴右侧部分是下降的，
∴该函数图象的开口向下，对称轴为y轴，即a＜0，b=0，
∵函数图象经过A（1，1），
∴a+c=1，
∴a=﹣1时，c=2，
∴符合条件的二次函数解析式可以为：y=﹣x2+2（答案不唯一）．
故答案为：y=﹣x2+2（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是二次函数的性质，先根据题意设出函数解析式，再根据二次函数的性质判断出a的符号及对称轴是解答此题的关键，此题属开放性题目，答案不唯一．
15．有五张分别印有圆、等腰三角形、矩形、菱形、正方形图案的卡片（卡片中除图案不同外，其余均相同），现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到有中心对称图案的卡片的概率是 ．
【考点】概率公式；中心对称图形．
【分析】让有中心对称图案的卡片的情况数除以总情况数即为所求的概率
【解答】解：根据概率的求简单事件的概率的计算及中心对称图形概念的理解；理论上抽到中心对称图案卡片的概率是中心对称图案的卡片的个数除以所有所有卡片的个数，而中心对称图案有圆、矩形、菱形、正方形，所以概率为．
【点评】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=．绕某个点旋转180°后能与自身重合的图形叫中心对称图形．
16．⊙O的半径为5cm，两条弦AB∥CD，AB=8cm、CD=6cm，则两条弦之间的距离为 1cm或7cm ．
【考点】垂径定理；勾股定理．
【专题】分类讨论．
【分析】此题分为两种情况：两条平行弦在圆心的同侧或两条平行弦在圆心的两侧．根据垂径定理分别求得两条弦的弦心距，进一步求得两条平行弦间的距离．
【解答】解：如图所示，连接OA，OC．作直线EF⊥AB于E，交CD于F，则EF⊥CD．
∵OE⊥AB，OF⊥CD，
∴AE=AB=4cm，CF=CD=3cm．
根据勾股定理，得
OE==3cm；OF==4cm，
①当AB和CD在圆心的同侧时，如图1，则EF=OF﹣OE=1cm；
②当AB和CD在圆心的两侧时，如图2，则EF=OE+OF=7cm；
则AB与CD间的距离为1cm或7cm．
故答案为1cm或7cm．
【点评】本题考查了垂径定理的知识，此题综合运用了垂径定理和勾股定理，特别注意此题要考虑两种情况．
17．如图，在Rt△ABC中，斜边上的高AD=3，cosB=，则AC= ．
【考点】解直角三角形．
【分析】先根据等角的余角相等得到∠DAC=∠B，则cos∠DAC=cosB，在Rt△ADC中，根据余弦的定义得cos∠DAC==，然后把AD=3代入计算即可．
【解答】解：∵AD⊥BC，
∴∠B+∠BAD=90°，
∵∠BAD+∠DAC=90°，
∴∠DAC=∠B，
∴cos∠DAC=cosB，
在Rt△ADC中，cos∠DAC==，
而AD=3，
∴AC=．
故答案为．
【点评】本题考查了解直角三角形，解题的关键是将∠B的余弦值转化为∠DAC余弦值，从而将已知条件融合到一个直角三角形中求解．
18．如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为 4 m．
【考点】平行投影；相似三角形的应用．
【专题】计算题．
【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案．
【解答】解：如图：过点C作CD⊥EF，
由题意得：△EFC是直角三角形，∠ECF=90°，
∴∠EDC=∠CDF=90°，
∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°，
∴∠E=∠DCF，
∴Rt△EDC∽Rt△CDF，
有=；即DC2=ED•FD，
代入数据可得DC2=16，
DC=4；
故答案为：4．
【点评】本题通过投影的知识结合三角形的相似，求解高的大小；是平行投影性质在实际生活中的应用．
19．某商品经过两次降价，零售价降为原来的一半．若设平均每次降价的百分率为x，则可列方程为 （1﹣x）2= ．
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【专题】增长率问题．
【分析】设降价前的零售价为1，则降价后的零售价为，根据增长率问题，一般增长后的量=增长前的量×（1+增长率）列出方程即可．
【解答】解：设降价前的零售价为1，则降价后的零售价为，
根据题意得：（1﹣x）2=，
故答案为：（1﹣x）2=．
【点评】此题主要考查了求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．
20．如图，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），把一根长为2015个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在A处，并按A→B→C→D→A…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的点的坐标是 （﹣1，﹣2） ．
【考点】规律型：点的坐标．
【分析】根据点的坐标求出四边形ABCD的周长，然后求出另一端是绕第几圈后的第几个单位长度，从而确定答案．
【解答】解：∵A（1，1），B（﹣1，1），C（﹣1，﹣2），D（1，﹣2），
∴AB=1﹣（﹣1）=2，BC=1﹣（﹣2）=3，CD=1﹣（﹣1）=2，DA=1﹣（﹣2）=3，
∴绕四边形ABCD一周的细线长度为2+3+2+3=10，
2015÷10=201…5，
∴细线另一端在绕四边形第202圈的第5个单位长度的位置，
即点C的位置，点的坐标为（﹣1，﹣2）．
故答案为：（﹣1，﹣2）．
【点评】本题利用点的坐标考查了数字变化规律，根据点的坐标求出四边形ABCD一周的长度，从而确定2015个单位长度的细线的另一端落在第几圈第几个单位长度的位置是解题的关键．
三、解答题（90分）
21．计算：
（1）
（2）+|﹣2|
【考点】实数的运算．
【专题】计算题；实数．
【分析】（1）原式利用乘方的意义，立方根定义，以及零指数幂、负整数指数幂法则计算即可得到结果；
（2）原式利用特殊角的三角函数值，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果．
【解答】解：（1）原式=﹣4﹣3﹣3=﹣10；
（2）原式=﹣1+2﹣=﹣．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
22．解方程：2（x﹣2）2=（x﹣2）
【考点】解一元二次方程﹣因式分解法．
【分析】把右边的项移到左边后，利用因式分解法解方程即可．
【解答】解：2（x﹣2）2=（x﹣2），
原方程化为2（x﹣2）2﹣（x﹣2）=0，
因式分解得：（x﹣2）（2x﹣4﹣1）=0，
因此：（x﹣2）=0，或（2x﹣4﹣1）=0，
解得：x1=2，x2=．
【点评】本题考查了解一元二次方程的方法﹣因式分解法；熟练掌握提取公因式法分解因式是解决问题的关键．
23．先化简，再求值：，其中x=﹣1．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】先利用因式分解把分式化简，再把数代入求值．
【解答】解：．
当x=﹣1时，原式=﹣1+1=．
【点评】本题主要考查分式的化简求值，式子化到最简是解题的关键．
24．如图，在8×8网格纸中，每个小正方形的边长都为1．
（1）请在网格纸中建立平面直角坐标系，使点A、C的坐标分别为（﹣4，4），
（﹣1，3），并写出点B的坐标为 （﹣2，1） ；
（2）画出△ABC关于y轴的对称图形△A1B1C1，并写出B1点的坐标；
（3）在y轴上求作一点P，使△PAB的周长最小，并直接写出点P的坐标．
【考点】作图﹣轴对称变换；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】（1）根据平面直角坐标系的特点作出坐标系，写出点B的坐标；
（2）分别作出点A、B、C关于y轴的对称的点，然后顺次连接，写出B1点的坐标；
（3）作点B关于y轴的对称点，连接AB1，与y轴的交点即为点P．
【解答】解：（1）所作图形如图所示：
B（﹣2，1）；
（2）所作图形如图所示：
B1（2，1）；
（3）所作的点如图所示，
P（0，2）．
故答案为：（﹣2，1）．
【点评】本题考查了根据轴对称变换作图，解答本题的关键是根据网格结构作出对应点的位置，然后顺次连接．
25．自从北京获得2008年夏季奥运会申办权以来，奥运知识在我国不断传播，小刚就本班学生的对奥运知识的了解程度进行了一次调查统计．A：熟悉，B：了解较多，C：一般了解．图1和图2是他采集数据后，绘制的两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答以下问题：
（1）求该班共有多少名学生？
（2）在条形图中，将表示“一般了解”的部分补充完整；
（3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（4）如果全年级共1000名同学，请你估算全年级对奥运知识“了解较多”的学生人数．
【考点】扇形统计图；用样本估计总体；条形统计图．
【专题】图表型．
【分析】（1）利用A所占的百分比和相应的频数即可求出；
（2）利用C所占的百分比和总人数求出C的频数即可；
（3）求出“了解较多”部分所占的比例，即可求出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数；
（4）利用样本估计总体，即可求出全年级对奥运知识“了解较多”的学生大约有1000×（1﹣50%﹣20%）=300人．
【解答】解：（1）∵20÷50%=40（人），
答：该班共有40名学生；
（2）C：一般了解的人数为：40×20%=8（人），补充图如图所示：
（3）360°×（1﹣50%﹣20%）=108°，
所以在扇形统计图中，“了解较多”部分所对应的圆心角的度数为108°；
（4）1000×（1﹣50%﹣20%）=300，
所以全年级对奥运知识“了解较多”的学生大约有300人．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图则能直接反映部分占总体的百分比大小．
26．如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：
sin2A1+sin2B1= 1 ；sin2A2+sin2B2= 1 ；sin2A3+sin2B3= 1 ．
（1）观察上述等式，猜想：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B= 1 ．
（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，利用三角函数的定义和勾股定理，证明你的猜想．
（3）已知：∠A+∠B=90°，且sinA=，求sinB．
【考点】勾股定理；互余两角三角函数的关系；解直角三角形．
【专题】几何综合题；规律型．
【分析】（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C=90°，都有sin2A+sin2B=1；
（2）在Rt△ABC中，∠C=90°．利用锐角三角函数的定义得出sinA=，sinB=，则sin2A+sin2B=，再根据勾股定理得到a2+b2=c2，从而证明sin2A+sin2B=1；
（3）利用关系式sin2A+sin2B=1，结合已知条件sinA=，进行求解．
【解答】解：（1）由图可知：sin2A1+sin2B1=（）2+（）2=1；
sin2A2+sin2B2=（）2+（）2=1；
sin2A3+sin2B3=（）2+（）2=1．
观察上述等式，可猜想：sin2A+sin2B=1．
（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°．
∵sinA=，sinB=，
∴sin2A+sin2B=，
∵∠C=90°，
∴a2+b2=c2，
∴sin2A+sin2B=1．
（3）∵sinA=，sin2A+sin2B=1，
∴sinB==．
【点评】本题考查了在直角三角形中互余两角三角函数的关系，勾股定理，锐角三角函数的定义，比较简单．
27．如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E、F在AB边上，且E是BF中点，连接DE，CF交AD于G，．
（1）求证：△AFG∽△AED；
（2）若FG=3，G为AD中点，求CG的长．
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据AD是BC边上的中线，点E是BF中点，得到BD=CD，BE=EF，根据三角形的中位线的性质得到DE∥CF，即可得到结论；
（2）由G为AD中点，FG∥DE，得到AF=EF，求得DE=2FG=6，根据三角形的中位线的性质得到CF=2DE=12，即可得到结论．
【解答】（1）证明：∵AD是BC边上的中线，点E是BF中点，
∴BD=CD，BE=EF，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE∥CF，
∴DE∥FG，
∴△AFG∽△AED；
（2）解：∵G为AD中点，FG∥DE，
∴AF=EF，
∴FG是△ADE的中位线，
∴DE=2FG=6，
∴CF=2DE=12，
∴CG=FC﹣FG=12﹣3=9．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的中位线的性质，平行线等分线段定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键．
28．如图，PB为⊙O的切线，B为切点，过B作OP的垂线BA，垂足为C，交⊙O于点A，连接PA、AO，并延长AO交⊙O于点E，与PB的延长线交于点D．
（1）求证：PA是⊙O的切线；
（2）若=，且OC=4，求PA的长和tanD的值．
【考点】切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形．
【专题】压轴题．
【分析】（1）连接OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP是线段AB的垂直平分线，进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，由=，且OC=4，可求AC，OA的值，然后根据射影定理可求PC的值，从而可求OP的值，然后根据勾股定理可求AP的值；由AC=BC，AO=OE，可得OC是△ABE的中位线，进而可得BE∥OP，BE=2OC=8，进而可证△DBE∽△DPO，进而可得：，从而求出BD的值，进而即可求出tanD的值．
【解答】（1）证明：连接OB，则OA=OB，
∵OP⊥AB，
∴AC=BC，
∴OP是AB的垂直平分线，
∴PA=PB，
在△PAO和△PBO中，
∵，
∴△PAO≌△PBO（SSS）
∴∠PBO=∠PAO，PB=PA，
∵PB为⊙O的切线，B为切点，
∴∠PBO=90°，
∴∠PAO=90°，
即PA⊥OA，
∴PA是⊙O的切线；
（2）连接BE，
∵=，且OC=4，
∴AC=6，
∴AB=12，
在Rt△ACO中，
由勾股定理得：AO==2，
∴AE=2OA=4，OB=OA=2，
在Rt△APO中，
∵AC⊥OP，
∴AC2=OC•PC，
解得：PC=9，
∴OP=PC+OC=13，
在Rt△APO中，由勾股定理得：AP==3，
∴PB=PA=3，
∵AC=BC，OA=OE，
∴OC=BE，OC∥BE，
∴BE=2OC=8，BE∥OP，
∴△DBE∽△DPO，
∴，
即，
解得：BD=，
在Rt△OBD中，
tan∠D===．
【点评】本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．要证某线是圆的切线，对于切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．
29．盐阜人民商场经营某种品牌的服装，购进时的单价是40元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是50元时，销售量是400件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件服装．
（1）设该种品牌服装的销售单价为x元（x＞50），销售量为y件，请写出y与x之间的函数关系式；
（2）若商场获得了6000元销售利润，该服装销售单价x应定为多少元？
（3）在（1）问条件下，若该商场要完成不少于350件的销售任务，求商场销售该品牌服装获得的最大利润是多少？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）直接利用销售单价是50元时，销售量是400件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件服装得出y与x值间的关系；
（2）利用销量×每件利润=6000，进而求出答案；
（3）利用销量×每件利润=总利润，再利用该商场要完成不少于350件的销售任务得出x的取值范围，进而得出二次函数最值．
【解答】解：（1）由题意可得：y=400﹣10（x﹣50）=900﹣10x；
（2）由题意可得：（900﹣10x）（x﹣40）=6000，
整理得：﹣10x2+1300x﹣36000=6000，
解得：x1=60，x2=70，
答：服装销售单价x应定为60元或70元时，商场可获得6000元销售利润；
（3）设利润为W，则
W=﹣10x2+1300x﹣36000
=﹣10（x﹣65）2+6250，
∵a=﹣10＜0，对称轴是直线x=65，
900﹣10x≥350，
解得：x≤55，
∴当50＜x≤55时，W随x增大而增大，
∴当x=55时，W最大值=5250（元），
答：商场销售该品牌服装获得的最大利润是5250元．
【点评】此题主要考查了二次函数的应用以及一元二次方程的解法等知识，正确利用二次函数的性质得出二次函数最值是解题关键．
30．物线的一部分C1与经过点A、D、B的抛物线的一部分C2组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线称为“蛋线”．已知点C的坐标为（0，），点M是抛物线C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）当△BDM为直角三角形时，求m的值．
（3）“蛋线”在第四象限上是否存在一点P，使得△PBC的面积最大？若存在，求出△PBC面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）将y=mx2﹣2mx﹣3m化为交点式，即可得到A、B两点的坐标；
（2）先表示出DM2，BD2，MB2，再分两种情况：①DM2+BD2=MB2时；②DM2+MB2=BD2时，讨论即可求得m的值．
（3）先用待定系数法得到抛物线C1的解析式，过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，用待定系数法得到直线BC的解析式，再根据三角形的面积公式和配方法得到△PBC面积的最大值．
【解答】解：（1）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣3）（x+1），
∵m≠0，
∴当y=0时，x1=﹣1，x2=3，
∴A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）y=mx2﹣2mx﹣3m=m（x﹣1）2﹣4m，
顶点M坐标（1，﹣4m），
当x=0时，y=﹣3m，
∴D（0，﹣3m），B（3，0），
∴DM2=（0﹣1）2+（﹣3m+4m）2=m2+1，
MB2=（3﹣1）2+（0+4m）2=16m2+4，
BD2=（3﹣0）2+（0+3m）2=9m2+9，
当△BDM为Rt△时有：DM2+BD2=MB2或DM2+MB2=BD2．
①DM2+BD2=MB2时有：m2+1+9m2+9=16m2+4，
解得m=﹣1（∵m＜0，∴m=1舍去）；
②DM2+MB2=BD2时有：m2+1+16m2+4=9m2+9，
解得m=﹣（m=舍去）．
综上，m=﹣1或﹣时，△BDM为直角三角形．
（3）设C1：y=ax2+bx+c，将A、B、C三点的坐标代入得：
，解得，
故C1：y=x2﹣x﹣．
如图：过点P作PQ∥y轴，交BC于Q，
由B、C的坐标可得直线BC的解析式为：y=x﹣，BC=．
设P（x， x2﹣x﹣），则Q（x， x﹣），
PQ=x﹣﹣（x2﹣x﹣）=﹣x2+x，
S△PBC=S△PCQ+S△PBQ=PQ•BC=×（﹣x2+x）×=﹣（x﹣）2+，
当x=时，S△PBC有最大值，Smax=，×（）2﹣﹣=﹣，
P（，﹣）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：抛物线的交点式，待定系数法求抛物线的解析式，待定系数法求直线的解析式，三角形的面积公式，配方法的应用，勾股定理，分类思想的运用，综合性较强，有一定的难度．
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