专训2.2 三角函数与解三角形（解析版） 试卷

专训2.2  三角函数与解三角形

1．（2020·全国高三其他模拟）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充到下面问题中，并解答问题．

在中，内角，，的对边分别为，，，且______．

（1）求；

（2）若，，求的面积．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【解析】（1）方案一：若选①．

由已知及正弦定理得，，

所以，

所以，

又，所以，

所以，所以．

方案二：若选②．

由已知及倍角公式得，

所以，

所以，

由正弦定理得，

由余弦定理得，

又，所以．

方案三：若选③．

由已知及正弦定理得，

所以，

因为，所以，所以，

又，所以．

（2）由余弦定理，，，得，

即．

因为，所以，

所以．

2．（2020·海南高三一模）在中，角，，所对的边分别为，，.已知，，且的面积为.

（1）求；

（2）求的值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），，又，得，

又，所以.

（2）由余弦定理得，即，解得.

由正弦定理可得，

故.

3．（2020·全国高三其他模拟）在①，②，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．

问题：在中，角，，的对边分别为，，，，边上的中线长为，______，求的面积．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

【答案】答案见解析.

【解析】方案一：选条件①.

因为，所以由正弦定理，得，

易知，所以，所以.

因为，所以.

设为的中点，，

在中，由余弦定理，得，

解得（舍去负值）.

所以，

所以的面积.

方案二：选条件②.

因为，所以由正弦定理，得，

易知，所以，

所以，即，

因为，所以，所以.

设为的中点，，

在中，由余弦定理，得，

解得（舍去负值）.所以，

所以的面积.

方案三：选条件③.

易知，化简可得，

由余弦定理，得，

因为，所以.

设为的中点，，

在中，由余弦定理，得，

解得（舍去负值）.

所以，

所以的面积.

4．（2020·云南曲靖一中高三其他模拟（理））已知向量，，函数.

（1）求函数的最大值，并指出取最大值时的取值集合；

（2）若，为锐角，，，求的值.

【答案】（1）最大值为2，的取值集合为；（2）.

【解析】（1），

令，得，，

所以最大值为2，此时的取值集合为

（2）由，为锐角，，得，

由得

∵，∴，

又，

∴，∴，

∴

，

∴.

5．（2020·云南曲靖一中高三其他模拟）在中，角，，的对边分别为，，，若，且.

（1）求角的值；

（2）若，且的面积为，求边上的中线的长.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）因为，

由正弦定理边角互化得，

由于，

所以，

即，得.

又，所以，所以.

（2）由（1）知，若，故，

则，

所以，（舍）.

又在中，，

所以，

所以.

6．（2020·江西高三二模（理））在△ABC中，，，点D在BC上，.

（1）求AD的长；

（2）若△ABD的面积为，求AB的长；

【答案】（1）3； （2）9.

【解析】（1）∵,且

∴，

正弦定理有，得；

（2）∵，

，

∴，得，

又∵，

由余弦定理得，

∴．

7．（2020·陕西高新一中高三期末（理））已知函数.

（1）求的最小正周期和单调递增区间；

（2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M为BC边上一点，，若，，求AM.

【答案】（1）最小正周期为；增区间为（2）

【解析】（1）

.

令，

所以增区间为；

（2），

，

，

，

所以.

8．（2020·湖南雅礼中学高三月考）如图，在直角中，，，，点在线段上.

（1）若，求的长；

（2）点是线段上一点，，且，求的值.

【答案】（1）3；（2）.

【解析】（1）在中，已知，，，由正弦定理，

得，解得.

（2）因为，所以，解得.

在中，由余弦定理得，

，

即，

，

故.

9．（2020·吉林高三其他模拟）如图，与在同一个平面内，，，．

（1）求；

（2）若，且的面积为3，求的长．

【答案】（1）；（2）．

【解析】（1）因为，，

所以，

,

又因为，

故．

（2）因为，所以，

又因为，

所以，

整理得，

解得或（舍去）．

因为，所以，

由余弦定理得，

所以．

10．（2020·重庆八中高三月考）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.

（1）求A；

（2）若，求面积的最大值.

【答案】（1）；（2）

【解析】（1）由可得：，

由正弦定理可得：

∴，

∵，

∴，

∵，

∴；

（2）由（1）知，由余弦定理得，

即

∵，所以（当且仅当时取等号）

∴，

所以面积的最大值为.