专训2.3 统计概率（解析版） 试卷

专训2.3  统计概率

1．（2020·广西北海·高三一模）出于“健康､养生”的生活理念.某地的炊具有限公司的传统手工泥模工艺铸造的平底铁锅一直受到全国各地消费者的青睐.炊具有限公司下辖甲､乙两个车间，甲车间利用传统手工泥模工艺铸造型双耳平底锅，乙车间利用传统手工泥模工艺铸造型双耳平底锅，每一口双耳平底锅按照综合质量指标值(取值范围为划分为：综合质量指标值不低于70为合格品，低于70为不合格品.质检部门随机抽取这两种平底锅各100口，对它们的综合质量指标值进行测量，由测量结果得到如下的频率分布直方图：

将此样本的频率估计为总体的概率.生产一口型双耳平底锅，若是合格品可盈利40元，若是不合格品则亏损10元；生产一口型双耳平底锅，若是合格品可盈利50元，若是不合格品则亏损20元.

（1）记为生产一口T型双耳平底锅和一口型双耳平底锅所得的总利润，求随机变量的数学期望；

（2）炊具有限公司生产的和型双耳平底锅共计1000口，并且两种型号获得的利润相等，若将两种型号的合格品再按质量综合指标值分成3个等级，其中为三级品，为二级品，为一级品，试判断生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中哪种型号的一级品多？请说明理由.

【答案】（1）数学期望：；（2）生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多，理由见解析.

【解析】（1）根据频率分布直方图，

甲车间生产的一口T型双耳平底锅为合格品的概率为

；

乙车间生产的一口L型双耳平底锅为合格品的概率为

.

随机变量的所有取值为90，40，20，-30，则

；；

；.

所以.

（2）生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多，理由如下：

设生产的这1000口双耳平底锅中型的有口，型的有口，则生产口型双耳平底锅的利润为，

生产口型双耳平底锅的利润为.

由，即，又，

解得，.

由于型双耳平底锅一级品的概率为0.08，型双耳平底锅一级品的概率为0.06，

所以型双耳平底锅一级品的估计值等于，

型双耳平底锅一级品的估计值等于，

因此生产的这1000口两种型号的双耳平底锅中型号的一级品多.

2．（2020·黑龙江大庆实验中学高三月考）某公司研发了一种帮助家长解决孩子早教问题的萌宠机器人.萌宠机器人语音功能让它就像孩子的小伙伴一样和孩子交流，记忆功能还可以记住宝宝的使用习惯，很快找到宝宝想听的内容.同时提供快乐儿歌、国学经典、启蒙英语等早期教育内容，且云端内容可以持续更新.萌宠机器人一投放市场就受到了很多家长欢迎.为了更好地服务广大家长，该公司研究部门从流水线上随机抽取100件萌宠机器人（以下简称产品），统计其性能指数并绘制频率分布直方图（如图1）：

产品的性能指数在的适合托班幼儿使用（简称A类产品），在的适合小班和中班幼儿使用（简称B类产品），在的适合大班幼儿使用（简称C类产品），A，B，C，三类产品的销售利润分别为每件1.5，3.5，5.5（单位：元）.以这100件产品的性能指数位于各区间的频率代替产品的性能指数位于该区间的概率.

（1）求每件产品的平均销售利润；

（2）该公司为了解年营销费用（单位：万元）对年销售量（单位：万件）的影响，对近5年的年营销费用，和年销售量数据做了初步处理，得到的散点图（如图2）及一些统计量的值.

表中，，，.

根据散点图判断，可以作为年销售量（万件）关于年营销费用（万元）的回归方程.

（i）建立关于的回归方程；

（ii）用所求的回归方程估计该公司应投入多少营销费，才能使得该产品一年的收益达到最大？

（收益=销售利润-营销费用，取）.

参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，.

【答案】（1）每件产品的平均销售利润为4元（2）（i）（ii）该厂应投入256万元营销费.

【解析】（1）设每件产品的销售利润为元，则的所有可能取值为1.5，3.5，5.5，

由直方图可得，，，三类产品的频率分别为0.15、0.45、0.4，

所以，，，，

所以随机变量的分布列为：

所以，，

故每件产品的平均销售利润为4元；

（2）（i）由得，，

令，，，则，

由表中数据可得，，

则，

所以，，

即，

因为，所以，

故所求的回归方程为；

（ii）设年收益为万元，则，

设，，

则，

当时，，在单调递增，

当时，，在单调递减，

所以，当，即时，有最大值为768，

即该厂应投入256万元营销费，能使得该产品一年的收益达到最大768万元.

3．（2020·广西高三一模）某市在争取创建全国文明城市称号，创建文明城市简称创城.是极具价值的无形资产和重要城市品牌.“创城”期间，将有创城检查人员到学校随机找人进行提问.问题包含：中国梦内涵、社会主义核心价值观、精神文明“五大创建”活动、文明校园创建“六个好”、“五个礼让”共个问题，提问时将从中抽取个问题进行提问.某日，创城检查人员来到校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只背了个问题中的个，乙背了其中的个，丙背了其中的个.计一个问题答对加分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分分，达到分该学校为合格，达到分时该学校为优秀.

（1）求校优秀的概率（保留位小数）；

（2）求出校答对的问题总数的分布列，并求出校得分的数学期望；

（3）请你为创建全国文明城市提出两条合理的建议.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，校得分的数学期望为；（3）答案见解析.

【解析】（1）记校答对的题目个数为，记事件校优秀，则；

（2）由题意可知随机变量的可能取值为、、、、、，

，

，

，

，

，

，

所以，随机变量的分布列如下表所示：

随机变量的数学期望为，

因此，校得分的数学期望为；

（3）建议：①强化公民道德教育，提高市民文明程度；②加强基础设施建设，营造优美人居环境.

4．（2020·全国高三其他模拟）垃圾是人类日常生活和生产中产生的废弃物，由于排出量大，成分复杂多样，且具有污染性，所以需要无害化、减量化处理.某市为调查产生的垃圾数量，采用简单随机抽样的方法抽取20个县城进行了分析，得到样本数据，其中和分别表示第个县城的人口（单位：万人）和该县年垃圾产生总量（单位：吨），并计算得，，，，.

（1）请用相关系数说明该组数据中与之间的关系可用线性回归模型进行拟合；

（2）求关于的线性回归方程；

（3）某科研机构研发了两款垃圾处理机器，其中甲款机器每台售价100万元，乙款机器每台售价80万元，下表是以往两款垃圾处理机器的使用年限统计表：

根据以往经验可知，某县城每年可获得政府支持的垃圾处理费用为50万元，若仅考虑购买机器的成本和每台机器的使用年限（使用年限均为整年），以频率估计概率，该县城选择购买一台哪款垃圾处理机器更划算？

参考公式：相关系数，对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为：，.

【答案】（1）因为与的相关系数接近，所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合；（2）；（3）甲款.

【解析】（1）由题意知相关系数，

因为与的相关系数接近，

所以与之间具有较强的线性相关关系，可用线性回归模型进行拟合.

（2）由题意可得，，

，

所以.

（3）以频率估计概率，购买一台甲款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用（单位：万元）的分布列为：

（万元）.

购买一台乙款垃圾处理机器节约政府支持的垃圾处理费用（单位：万元）的分布列为：

（万元）.

因为，所以该县城选择购买一台甲款垃圾处理机器更划算.

5．（2020·全国高三其他模拟）某单位在2020年8月8日“全民健身日”举行了一场趣味运动会，其中一个项目为投篮游戏．游戏的规则如下：每个参与者投篮3次，若投中的次数多于未投中的次数，得3分，否则得1分．已知甲投篮的命中率为，且每次投篮的结果相互独立．

（1）求甲在一次游戏中投篮命中次数的分布列与期望；

（2）若参与者连续玩次投篮游戏获得的分数的平均值不小于2，即可获得一份大奖．现有和两种选择，要想获奖概率最大，甲应该如何选择？请说明理由．

【答案】（1）分布列见解析，；（2）甲选择玩10次投篮游戏的获奖概率最大．理由见解析.

【解析】（1）由题意知．

则，

，

，

，

所以的分布列为

．

（2）由（1）可知在一次游戏中，甲得3分的概率为，得1分的概率为．

若选择，此时要能获得奖品，则需10次游戏的总得分不小于20．

设10次游戏中，得3分的次数为，则，即．

易知，故此时获奖的概率．

若选择，此时要能获得奖品，则需15次游戏的总得分不小于30．

设15次游戏中，得3分的次数为，则，，又，所以．

易知，故此时获奖的概率．

因为，所以甲选择玩10次投篮游戏的获奖概率最大．

6．（2020·全国高三其他模拟）为了了解某类工程的工期，某公司随机选取了10个这类工程，得到如下数据（单位：天）：17，23，19，21，22，21，19，17，22，19．

（1）若该类工程的工期服从正态分布，用样本的平均数和标准差分别作为和的估计值．

（ⅰ）求和的值；

（ⅱ）由于疫情需要，要求在22天之内完成一项此类工程，估计能够在规定时间内完成该工程的概率（精确到0.01）．

（2）在上述10个这类工程的工期中任取2个工期，设这2个工期的差的绝对值为，求的分布列和数字期望．

附：若随机变量服从正态分布，则，，．

【答案】（1）（ⅰ），；（ⅱ）0.84；（2）分布列见解析，.

【解析】（1）（ⅰ）样本的平均数为，

样本的标准差为．

因此，．

（ⅱ）22天之内完成该工程的概率

，

所以估计能够在规定时间内完成该工程的概率为0.84．

（2）把这10个工期从小到大排列，为17，17，19，19，19，21，21，22，22，23，则的可能取值为0，1，2，3，4，5，6，

，

，

，

，

，

，

．

所以的分布列是

的数学期望是

．

7．（2020·广东湛江·高三其他模拟）为研究一种新药的耐受性，要对白鼠进行连续给药后观察是否出现症状的试验，该试验的设计为：对参加试验的每只白鼠每天给药一次，连续给药四天为一个给药周期，试验共进行三个周期．假设每只白鼠给药后当天出现症状的概率均为，且每次给药后是否出现症状与上次给药无关．

（1）从试验开始，若某只白鼠连续出现次症状即对其终止试验，求一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率；

（2）若在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状，则在这个给药周期后，对其终止试验，设一只白鼠参加的给药周期数为，求的分布列和数学期望．

【答案】（1）；（2）分布列见解析，.

【解析】（1）设“一只白鼠至少能参加一个给药周期”为事件，则的对立事件为一个给药周期也没有参加完．

设一次给药出现症状为事件，则一个给药周期也没有参加完的概率为，

所以一只白鼠至少能参加一个给药周期的概率为．

（2）设事件为“在一个给药周期中某只白鼠至少出现次症状”，

则，

则随机变量的取值为．

，

，

，

所以X的分布列为

所以随机变量的数学期望为．

8．（2020·北京北大附中高三其他模拟）某学校对甲、乙、丙、丁四支足球队进行了一次选拔赛，积分前两名的球队将代表学校参加上级比赛.选拔赛采用单循环制（每两个队比赛一场），胜一场积3分，平一场积1分，负一场积0分.经过三场比赛后，积分状况如下表所示：

根据以往的比赛情况统计，乙队与丙队比赛，乙队胜或平的概率均为，乙队与丁队比赛，乙队胜、平、负的概率均为，且四个队之间比赛结果相互独立.

（1）求选拔赛结束后，乙队与甲队并列第1名的概率；

（2）设随机变量为选拔赛结束后乙队的积分，求随机变量的分布列与数学期望；

（3）在目前的积分情况下，不论后面的比赛中丙队与丁队相互比赛的结果如何，乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是多少？说明理由.

【答案】（1）；（2）分布列见解析，；（3），理由见解析.

【解析】（1）设乙队胜、平、负丙队分别为事件，乙队胜、平、负丁队分别为事件，

则，，，

设事件C为“选拔赛结束后，乙队与丙队并列第一名”

由目前比赛积分榜可知，甲队一定是第一名，所以“乙队与甲队并列第一名”，

即乙队的积分为7分，即乙队胜丙队和丁对，

所以，

（2）随机变量的所有可能取值为1，2，3，4，5，7

；

；

；

；

；

；

随机变量的分布列为：

所以.

（3）乙队一定能代表学校参加上级比赛的概率是，理由如下：

当乙队积7分时，乙队与丙队并列第1名，满足题意；

当乙队积5分时，丙队或丁对的可能积分为4，3，2，1，0，乙队一定为第2名，满足题意；

当乙队积分小于5分时，丙队或丁对均有可能积分6分，不合题意，

所以，当乙队的积分为5分或7分时，一定能代表学校参加上级比赛，

其概率为：.

9．（2020·江西南昌二中高三其他模拟）2019年由袁隆平团队研发的第三代杂交水稻10月21日至22日首次公开测产，经测产专家组评定，最终亩产为1046.3公斤，第三代杂交水稻的综合优势可以推动我国的水稻生产向更加优质、高产、绿色和可持续方向发展.某企业引进一条先进的食品生产线，计划以第三代杂交水稻为原料进行深加工，创建一个新产品，已知该产品的质量以某项指标值为衡量标准，其质量指标的等级划分如表：

为了解该产品的生产效益，该企业先进行试生产，从中随机抽取了1000件产品，测量了每件产品的指标值，得到产品质量指标值的频率分布直方图如图.

（1）若从质量指标值不小于85的产品中利用分层抽样的方法抽取7件产品，并采集相关数据进行分析，然后从这7件产品中任取3件产品，求质量指标值，的件数的分布列及数学期望；

（2）若将频率视为概率，从该产品中有放回地随机抽取3件产品，记“抽出的产品中至少有1件为合格或合格以上等级“为事件，求事件发生的概率；

（3）若每件产品的质量指标值与利润（单位：元）的关系如表所示

请问生产该产品能否盈利？若不能，试说明理由；若能，试确定为何值时，利润达到最大（参考数值：，，.

【答案】（1）分布列见解析；期望为；（2）；（3）能；.

【解析】（1）由频率分布直方图得指标值不小于85的产品中，

，的频率为，

，的频率为，

，的频率为，

利用分层抽样抽取的7件产品中，，的有4件，

，的有2件，，的有1件，

从这7件产品中，任取3件，质量指标值，的件数的所有可能取值为0，1，2，

，

，

，

的分布列为：

.

（2）设事件的合格率为（A），则根据概率分布直方图得：

一件产品为合格或合格以上等级的概率为，

事件发生的概率（A）.

（3）由频率分布直方图可得该产品的质量指标值与利润（元的关系与表所示，

每件产品的利润：

，，

则，

令，解得，

当时，，函数单调递增，

当，时，，函数，单调递减，

当时，取最大值，为，

生产该产品能够实现盈利，当时，每件产品的利润取得最大值为0.5元.

10．（2020·内蒙古高三其他模拟）在考察疫情防控工作中，某区卫生防控中心提出了“要坚持开展爱国卫生运动，提倡文明健康、绿色环保的生活方式”的要求.某学生小组通过问卷调查，随机收集了和该区居民的日常生活习惯有关的六类数据.分别是：（1）卫生习惯；（2）垃圾处理；（3）体育锻炼；（4）心理健康；（5）膳食合理；（6）作息规律.经过数据整理，得如表：

假设每份调查问卷只调查上述六类状况之一，且各类调查的结果相互独立.

（1）从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，求这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者的概率；

（2）从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，估计恰有一份是具有良好习惯的概率；

（3）利用上述六类习惯调查的排序，即“卫生习惯”是第一类，“垃圾处理”是第二类“作息规律”是第六类用“”表示任选一位第类受访者是习惯良好者，“”表示任选一位第类受访者不是习惯良好者，2，3，4，5，.求出方差，，2，3，4，5，，并由小到大排序.

【答案】（1）；（2）；（3）见解析.

【解析】（1）记事件为：从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者“，从该小组收集的有效答卷中随机选取1份，

由数据整理统计表得这份试卷的调查结果是“垃圾处理”中习惯良好者的概率为：

（A）.

（2）从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，

设事件为：恰有一份是具有良好习惯，

从“体育锻炼”和“心理健康”两类中各随机选取一份，

由相互独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式估计恰有一份是具有良好习惯的概率为：（B）.

（3）由题意得：

，，

，，

，，

，，

，，

，，

.