2021泰安肥城高三下学期高考适应性训数学试题（一）含答案

这是一份2021泰安肥城高三下学期高考适应性训数学试题（一）含答案，共21页。试卷主要包含了 的展开式中项的系数等内容，欢迎下载使用。
2021年高考适应性训练
数 学 试 题 （一）

注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1． 已知全集，集合是的非空子集，且，则必有
A． B． C． D．
2． 若复数，则
A．1 B． C． D．
3． 已知向量，的夹角为，且，，则
A． B． C． D．
4． 的展开式中项的系数
A． B． C． D．
5． 劳动教育是中国特色社会主义教育制度的重要内容，直接决定了社会主义建设者和接班人的劳动价值取向、劳动精神面貌和劳动技能水平．新学期到来，某大学开出了烹饪选修课，共18学时，面向2020级本科生和强基计划学生开放．该校学生小华选完内容后，其他三位同学根据小华的兴趣爱好对他选择的内容进行猜测．
甲说：“小华选的不是川菜干烧大虾，选的是烹制中式面食．”乙说：“小华选的不是烹制中式面食，选的是烹制西式点心．”丙说：“小华选的不是烹制中式面食，也不是青椒土豆丝．”已知三人中有一个人说的全对，有一个人说的对了一半，剩下的一个人说的全不对，由此推断小华选择的内容
A．可能是青椒土豆丝 B．可能是川菜干烧大虾
C．可能是烹制西式点心 D．一定是烹制中式面食
A
B
C
D
E
F
6． 《九章算术》中，将两底面为直角三角形的正柱体，亦即长方体的斜截平分体，称为堑堵. 今有如图所示的堑堵形状容器装满水，当水量使用了一半时，水面高度占的
A． B．
C． D．
7． 已知､分别是双曲线的左､右焦点，双曲线的右支上一点满足，直线与该双曲线的左支交于点，且恰好为线段的中点，则双曲线的渐近线方程为
A． B． C． D．
8． 已知函数，，若，且对任意恒成立，则的最大值为
A．2 B．3 C．4 D．5
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
9．已知线段是圆的一条动弦，为弦的中点，，直线与直线相交于点，下列说法正确的是
A．弦的中点轨迹是圆
B．直线的交点在定圆上
C．线段长的最大值为
D．的最小值
10．如图，四棱锥的底面是边长为正方形，底面，，分别为的中点，过的平面与交于点，则
P
A
B
C
D
E
F
·
A．
B．
C．以为球心，为半径的球面与底面的
交线长为
D．四棱锥外接球体积为
11．已知，则
A．的最大值是 B．的最小值是
C． D．
12．巴塞尔问题是一个著名的数论问题，这个问题首先由皮耶特罗·门戈利在1644年提出，由欧拉在1735年解决. 由于这个问题难倒了以前许多的数学家，欧拉一解出这个问题，马上就出名了，当时他28岁. 这个问题是精确计算所有平方数倒数的和，也就是以下级数的和. 巴塞尔问题是寻找这个数的准确值，欧拉发现的准确值是. 不过遗憾的是：若把上式中的指数换成其他的数，例如，则的精确值为多少，至今未解决.下列说法正确的是
A．所有正奇数的平方倒数和为
B．记，则的值为
C．的值不超过
D．记，则存在正常数，使得对任意正整数，恒有

三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20 分。
13．已知为第四象限角，，则的值为 ．
14．某新闻采访组由名记者组成，其中甲、乙、丙、丁为成员，戊为组长. 甲、乙、丙、丁分别来自四个地区. 现在该新闻采访组要到四个地区去采访，在安排采访时要求：一地至少安排一名记者采访且组长不单独去采访；若某记者要到自己所在地区采访时必须至少有一名记者陪同. 则所有采访的不同安排方法有 种．
15．设抛物线的焦点为，过的直线交抛物线于两点，过的中点 作轴的垂线与抛物线交于点，若，则直线的方程为__________．
16．某校数学兴趣小组，在研究随机变量的概率分布时，发现离散型随机变量的取值与其概率的函数关系为，则这个随机变量的数学期望______________________．
四、解答题：本题共6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知为等比数列的前n项和，若，且是等差数列的前三项.
（1）求数列的前n项和；
（2）求数列的通项公式，并求使得的的取值范围.

18．（12分）
在中，内角的对边分别为，且满足
.
（1）求A；
（2）若，求周长的取值范围.

19．（12分）
请从下面三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并作答．
①；②；③点在平面的射影在直线上．
如图，平面五边形中，是边长为的等边三角形，，，，将沿翻折成四棱锥，是棱上的动点（端点除外），分别是的中点，且 .
（1）求证：；
（2）当与平面所成角最大时，求平面与平面所成的锐二面角的余弦值.
B
A
P
C
D
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
M
E
F
A
B
C
P
D













20．（12分）
平面上一动点的坐标为.
（1）求点轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线相交于不同的两点，线段的中垂线与直线相交于点，与直线相交于点. 当时，求直线的方程.

21．（12分）
十三届全国人大四次会议3月11日表决通过了关于国民经济和社会发展第十四个五年规划和2035年远景目标纲要的决议，决定批准这个规划纲要. 纲要指出：“加强原创性引领性科技攻关”. 某企业集中科研骨干，攻克系列“卡脖子”技术，已成功实现离子注入机全谱系产品国产化，包括中束流、大束流、高能、特种应用及第三代半导体等离子注入机，工艺段覆盖至28nm，为我国芯片制造产业链补上重要一环，为全球芯片制造企业提供离子注入机一站式解决方案. 此次技术的突破可以说为国产芯片的制造做出了重大贡献. 该企业使用新技术对某款芯片进行试生产.
（1）在试产初期，该款芯片的批次生产有四道工序，前三道工序的生产互不影响，第四道是检测评估工序，包括智能自动检测与人工抽检. 已知该款芯片在生产中，前三道工序的次品率分别为，，.
①求批次芯片的次品率；
②第四道工序中智能自动检测为次品的芯片会被自动淘汰，合格的芯片进入流水线并由工人进行抽查检验. 已知批次的芯片智能自动检测显示合格率为，求工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品的概率（百分号前保留两位小数）.
（2）已知某批次芯片的次品率为，设个芯片中恰有个不合格品的概率为，记的最大值点为，改进生产工艺后批次的芯片的次品率. 某手机生产厂商获得批次与批次的芯片，并在某款新型手机上使用. 现对使用这款手机的用户回访，对开机速度进行满意度调查. 据统计，回访的名用户中，安装批次有部，其中对开机速度满意的有人；安装批次有部，其中对开机速度满意的有人. 求，并判断是否有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关？
附：
.















22．（12分）
已知函数.
（1） 当时，讨论函数的单调性，并证明：
；
（2） 若函数与的图象恰有三个不同的交点，求实数的取值范围.
2021年高考适应性训练数学试题（一）
参考答案及评分标准

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
A
A
C
D
B
C
C
B
U
P
S
解析：
1. 依据题意画出Venn图，观察可知，故选A.
2. ，所以，故选A.
3. 因为，所以，故选C.
4. ，则项的系数为，故选D.
5. 若小华选择的青椒土豆丝，则甲、乙、丙都各对一半，排除；若小华选择的川菜干烧大虾，则甲全不对，乙对一半，丙全对，符合；若小华选择的制西式点心，则甲对一半，乙全对，丙全对，不符合，排除；若小华选择的烹制中式面食，则甲全对，乙全不对，丙对一半，符合；由此推断小华选择的内容可能是川菜干烧大虾或烹制中式面食. 所以选B.
6. 水的一半就是体积的一半，柱体体积公式是底面积乘高，高没变，底面积变为一半，底面是等腰直角三角形，所以边长变为AB的，所以水面高度占AB的，故选C.
7. 依题意可得， 所以.
设，则，，
由得；
由得；
在中，由得，
得.
在中，由得，
将代入得，即.
又，所以，即，所以，
所以双曲线C的渐近线方程为，故选C.
8. ，即. 由于对任意恒成立，
所以. 令，，.
令，，
所以在上单调递增，所以，可得，所以在上单调递增.
所以.
又，所以，故选B.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分。
题号
9
10
11
12
答案
ABD
AC
BC
ABC
解析：
9. 对于选项A：设，因为，为弦的中点，
所以.而，半径为，
则圆心到弦的距离为.
又圆心，所以，
即弦中点的轨迹是圆，故选项A正确；
对于选项B：由，消去可得，
得，选项B不正确；
对于选项C：由选项A知，点的轨迹方程为：，
又由选项B知，点的轨迹方程为：，
所以，
线段，故选项C正确；
对于选项D：
，故，
由选项C知，，

M
A
P
B
C
D
H
E
F
G
所以，故选项D正确.
综上选ABD.
10. 对于选项A，延长交延长线于点，
连接交于点，取中点，
连接，所以，，
，，所以选项A对；
对于选项B，因为是中点，是靠近点的三等分点，所以选项B错；
对于选项C，为球心，为半径，，平面，为截面圆心，交线是半径为的圆的，交线长为，所以选项C正确.
对于选项D，是正方体的一部分，体对角线长为，体积为，所以选项D错.
综上选AC.
11. 对于选项A，因为，所以
，选项A错误；
对于选项B，因为，当且仅当，
即时等号成立，所以选项B正确；
对于选项C，因为，所以，，故选项C正确；
对于选项D，设，则，所以在上单调递增；因为，所以，即，所以，即，故选项D错误. 综上选BC.
12. 对于选项A，记，
，所以，，选项A正确；
对于选项B，，选项B正确；
对于选项C，注意到时，
，
，
选项C正确；
对于选项D，因为，令，得，所以，即
，所以选项D错. 综上选ABC.
三、填空题：本题共 4小题，每小题5分，共20 分。
13. 13. 15. 16.
解析：
13. 由，展开得，平方得，
所以，从而.
因为为第四象限角，所以，
解得，，则.
14. 分两类：
①甲，乙，丙，丁都不到自己的地区，组长可任选一地有；
②甲，乙，丙，丁中只一人到自己的地区，并有组长陪同有.
所以总数.
15. 因为抛物线方程为，所以焦点，准线.
设，直线方程为，
代入抛物线方程消去，得，
所以.
又过的中点作准线的垂线与抛物线交于点，
设，可得，
因为，
所以，
得到，所以.
因为，所以，解之得，
所以，直线方程为，即.
16. 由离散型随机变量分布列性质：
，
，即，所以.
则，
所以， ①
，②
由①+②得：
，
，
，
所以.
四、解答题：本题共6小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（10分）
解：（1）设等比数列的公比为，
由是等差数列的前三项，得，
即， ………………………………………………2分
所以，
整理得，解得. ………………………………………………3分
由，得，所以， ……………………………………………4分
所以. ………………………………………………5分
（2）由（1）得，
所以，，
所以等差数列的前三项为，
所以. ……………………………………………6分
由，得，即. ……………………………7分
令，
故有.
当时，，即； ………………………………8分
当时，，即，
而.
所以使得的的取值范围是，.…………………………………10分
18.（12分）
解：（1）由条件知，……………………1分
所以， ……………………………2分
即，
解得. ……………………………………………………………………3分
因为，所以. ……………………………………………4分
（2）由正弦定理得， ……………………………5分
所以， ………………………………………………………6分
所以 …………………7分

. ………………………………………………9分
因为，所以， ……………………………………10分
所以，……………………………………………………………11分
所以. ……………………………………………………………12分

19.（12分）
解：（1）取的中点分别为，连接.
选择①：
因为，，
所以，即. ………………………………………………1分
又，，
所以平面. ………………………………………………2分
因为分别为的中点，
所以，且平面，平面，
所以平面. ………………………………………………3分
同理可得：平面.
因为，
所以平面平面， ………………………………………………4分
所以平面. ………………………………………………5分
又平面，
所以. ……………………………………………6分
选择②：
连接，则，，
因为，
所以. ………………………………………………1分
又，，
所以平面. ………………………………………………2分
因为分别为的中点，
所以，且平面，平面，
所以平面. ………………………………………………3分
同理可得：平面.
因为，
所以平面平面， ………………………………………………4分
所以平面. ………………………………………………5分
又平面，
所以. ……………………………………………6分
选择③：
因为点在平面的射影在直线上，
所以平面平面. ………………………………………………1分
因为平面平面，平面，，
所以平面，
所以. ………………………………………………2分
又，，
所以平面. ………………………………………………3分
因为分别为的中点，
所以，且平面，平面，
所以平面. ………………………………………………4分
同理可得：平面.
因为，
所以平面平面， ………………………………………………5分
所以平面.
又平面，
所以. ……………………………………………6分
x
M
E
F
A
B
C
P
D
O
G
y
z
M
E
F
A
B
C
P
D
O
G










（2）连接，由（1）可知：平面，
所以即为与平面所成的角.
因为，所以当最小时，最大，
所以当，即为中点，最小. ……………………………………7分
以点为坐标原点，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则.
所以，. …………………………8分
设平面的法向量为，
则，令，得. …………………………9分
由题意可知：平面的法向量为， ……………………………10分
所以， …………………………………………11分
所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为. …………………12分
20.（12分）
解：（1）设，
则，即， ………………………………………1分
所以，
所以的方程为. …………………………………………………2分
（2）由题意知，直线的斜率不为，设直线，
.
联立 ，消去，得， ……………………3分
此时，且，.…………………4分
又由弦长公式得，
整理得. …………………………………………6分
又，所以， ……………………………7分
所以， ………………………………9分
所以，
所以，即. …………………………………………………11分
综上，当，即直线的斜率为时，，
此时直线为. ……………………………………………………………12分
21.（12分）
解：（1）①Ⅰ批次芯片的次品率为
. ………………………2分
②设批次Ⅰ的芯片智能自动检测合格为事件，人工抽检合格为事件，
由己知得，， ………………………3分
则工人在流水线进行人工抽检时，抽检一个芯片恰为合格品为事件，
. ………………………5分
（2）个芯片中恰有个不合格的概率.
因此，
令，得.
当时，；当时，.
所以的最大值点为. …………………………………7分
由（1）可知，，，故批次芯片的次品率低于批次，故批次的芯片质量优于批次.
由数据可建立2×2列联表如下：（单位：人）
开机速度满意度
芯片批次
合计
I
J
不满意
12
3
15
满意
28
57
85
合计
40
60
100
………………………………8分
根据列联表得
………………………9分
. …………………………11分
因此，有的把握认为芯片质量与用户对开机速度满意度有关. ………12分
22.（12分）
解：（1）当时，.
所以，
所以在上是单调递减函数. ……………………………………………1分
又，
所以当时，，即. ………………………………2分
令，则

， ……………………………………………………3分
从而

， ……………………………………………………4分
所以. …………………5分
（2）令，
所以.
设，则.
①当，即时，，所以在单调递减，
所以不可能有三个不同的零点；…………………………………………………6分
②当，即时，有两个零点，，
所以.
又因为开口向下，
所以当时，，即，所以在上单调递减；
当时，，即，所以在上单调递增；
当时，，即，所以在上单调递减.
…………………………………………………7分
因为，且，所以，
所以. …………………………………………………8分
因为，
所以令，
则.
所以在单调递增，
所以，
即.
又，
所以，
所以由零点存在性定理知，在区间上有唯一的一个零点.
…………………………………………………10分
因为，且，所以. …………………………………………………11分
又，
所以，
所以在区间上有唯一的一个零点，
故当时，存在三个不同的零点.
故实数的取值范围是. …………………………………………………12分